21.1二次函数 教案
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文档简介
二次函数y=ax2
的图像与性质教学设计
东至县泥溪中学
许学君
一、教材分析：
本节是学生学习了二次函数的概念之后，对其图象及性质逐步进行探究的一个内容，在此之前学生已经对正比例函数、一次函数和反比例函数的概念及图象与性质进行了学习，因此在本节课的学习方法上学生已经有了一定的经验。但二次函数，它是进一步学习函数知识，体现函数知识螺旋发展的一个重要环节。同时在此节后，我们还将循序渐进，在此基础上由简到繁逐步展开二次函数的研究。二次函数的图像是抛物线，是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。可以说这节课既是承上启下，同时本节课的学习也能让学生体会到数学的实用及美感。其地位及作用不可小看。
二、设计思想
1.函数及其图象在初中数学中占有很重要的位置。如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，初二时的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，具有一定的片面性。本节课，力图让初三学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。
2.结合新课程实施的教学理念，在本课的教学中我努力实践以下两点：
（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究尝试培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
（2）在教学过程中努力做到师生的互动，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
三、教学目标
1、知识技能：经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。直接给学生出示y=
x2，并作图及观察性质，这样，让学生能通过运用过去的知识经验去发现新知识，解决新知识，从而实现由掌握到迁移运用的过程。
2、数学思考：能够利用描点法作出y=
x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=
x2的性质。学生通过画图，观察，分析，得出有关结论，培养学生观察，比较，概括的逻辑思维能力。
3、解决问题：能够作出二次函数y=-
x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。提高学生的观察、交流、概括、总结及表达的能力，而且更进一步让学生体会到数、形的转化。
4、数学体验：学生通过自己画图，观察，比较得出有关结论，使学生有一种获得成功的喜悦，提高学生的学习积极性；通过画图使学生更能体会到数形可以互相转化的关系，激发了学生探究新知的欲望。
四、教学重点
会画y=ax2的图象，通过观察图象理解其性质。
五、教学难点
描点法画y=ax2的图象，体会数与形的相互联系。
六、教学方法：
学习二次函数关键是学习其性质（开口方向，顶点坐标，对称轴，单调区间等），而用描点法画函数图像是我们发现函数图象的特征和了解其性质的一个重要途径。因此，在教学过程中应让学生画出函数图象，引导学生观察图像的特点，概括出函数的性质。在此过程中，可用“特殊----一般，具体----抽象“的方法来学习二次函数的图像和性质，给学习足够的探索和交流的时间，让学生在自己动手体验中得出结果。
七、教学过程
一
复习旧知，引入新课
1.提问：请同学们回顾二次函数的概念和一般形式是什么？
2.下列函数中哪些是二次函数？
ｙ＝３ｘ－１
ｙ＝３ｘ２
ｙ＝３ｘ２＋２ｘ２
ｙ＝ｘ２－x（１－ｘ）
ｙ＝３ｘ３－２ｘ２ ｙ＝２ｘ２－２ｘ＋１
３．一次函数的图像，正比例函数的图像，反比例函数的图像各是怎么样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢
上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了他的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的y=ax2的图像和性质。
（设计说明：利用前面学过的函数的图像启发学生思考二次函数的图像。将本节课的内容与已有知识联系起来，便于学生类比学习。同时，通过设问让学生了解本节课所要探索的问题，激发学生的探索兴趣。）
二
探究活动：二次函数的图像与性质
1、引导学生画出函数 ｙ＝ｘ２的图像。
(1)：在x的取列表值范围内列出函数对应值表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
（4）让学生概括图像的特点，提示学生从开口方向、对称性等方面考虑。学生互相交流、讨论、回答：图像是曲线，开口向上；它是轴对称图形，对称轴是y轴。
（5）肯定学生的表现，讲解：抛物线。它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
（6）请学生对照解析式对得出的性质进行一些解释（对称性、顶点、开口方
（设计说明：在此问题上，教师不必按课本上的问题一一叠列给学生，而是
充分发挥学生的观察能力；再者学生已研究过正比例函数、一次函数、反比
例函数，已经积累了一定的研究函数图象的方法和能力，积累了研究函数图象
要“研究什么”的经验，有了一定“模式”，即：
①
图象形状：抛物线（
教师给出）
②
与x、y轴交点；
③
y随x的增减性；
④
图象的对称性。
及系数与图象的关系。
请每组的学生代表一一发表自己的观察结果，（在此
过程中，教师不能作裁判，应及时表扬学生，同时把评判权交给学生，注意
培养学生语言的规范化、条理化。）然后按课本的问题加以总结和整理，做
到有放有收。注意学生的解析式方式思考解释。）
2.指导学生“做一做”。让学生在同一坐标系中分别画出题目y=x2与y=-x2中函数的图像，概括出他们的共同点和不同点。学生积极动手，在同一坐标系内画出函数的图像。通过比较发现：
（1），（2）中两个函数图像关于x轴对称，开口方向相反；两个函数图像的对称轴都是ｙ轴，顶点是原点。
（提示学生从图像开口方向，顶点坐标，对称轴几方面分析函数图象的共同点和不同点。）
３．肯定学生的表现，总结：函数 ｙ＝ａx2的图像是一条抛物线，它关于ｙ轴对称，它的顶点坐标是（０，０）。
4.提问：在同一坐标系中画出,
y=2x2的图像，试比较其与y=x2反应了什么性质？你能通过解析式说明吗？学生互相交流，讨论，尝试归纳总结。
5.肯定学生的表现，指出y=x2,
y=2x2的图像特点是：
当a＞0时，抛物线ｙ＝ａx2 开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降：在对称轴的右边，曲线自左向右上升。顶点是抛物线上位置最低的点。
当
a＞0
时，二次函数ｙ＝ａx2具有这样的性质：当
x
＜0
时，函数值
y
随
x
的增大而减小：当
x＞0
时，函数值
y
随
x
的增大而增大：当x=0
时，函数取最小值y=0.
(引导学生从两个方面分别总结函数图象的性质。在学生总结的过程中，可以提示学生从函数单调性和顶点方面考虑，从而让学生能够顺利的发现函数图象的性质。同时让学生用解析式特征进行浅析)
6.让学习观察函数y=
-
x2,
y=
-2
x2的图像，思考：
当a＜0时，抛物线ｙ＝ａx2有哪些特点？它反映了当
a＜0
时，函数ｙ＝ａx2
具有哪些性质 （学生互相交流，讨论，然后举手回答：）当
a＜0
时，抛物线ｙ＝ａx2开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降。顶点是抛物线上位置最高的点。当
a＜0
时，二次函数ｙ＝ａx2具有这样的性质：当
x
＜0
时，函数值
y
随
x
的增大而增大；当
x＞0
时，函数值
y
随
x
的增大而减少；当x=0
时，函数取最小值y=0。
（学生对比前面的总结，归纳方式概括出当
a＜0
时函数图象的性质，既让学生掌握了知识，又提高了学生归纳，总结的能力。）
（设计说明：主要以小组讨论完成，将四种形式的函数图象放在一个坐标系内，并发表自己的意见。从而加强学生的完善性思维训练。在语言问题上，为了规范化，教师要给以纠正。（如：开口方向，开口大小等语言）
完成二次函数y=ax2中系数a的变化，引出图象一些性质的变化。）
三
巩固练习
1.抛物线y=1/2
x2
的图像的对称轴是（
），顶点坐标是（
），当x（
）时，y
随x的增大而（
）,当x（
）时，y
随x的增大而（
）。
2.抛物线y=-5
x2
的图像的开口向（
），图像的对称轴是（
）
，除了他的顶点，抛物线上的点都在（
）
的（
）方，它的顶点是图像的最（
）点；当x（
）时，y
随x的增大而（
）,当x（
）时，y
随x的增大而（
）。
3
已知ａ＜－１，点（ａ－１，ｙ1），（ａ，ｙ2），（ａ＋１，ｙ3）都在函数y=2x2上的图像上，则ｙ1、ｙ2、ｙ3的大小关系是什么？4.指导学生完成课后练习。若正方形的边长为a，面积为s，试求出面积s与边长a的关系式，并画出图象。(设计说明：在实际应用的问题上，教师先不要进行过多的提醒，让学生进一步体会自变量“x”的取值范围的特殊性。学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，辨证出图象只在第一象限存在。)
四
课堂总结
布置作业
1、学生谈一谈收获
我们通过观察总结得出二次函数y=ax2的图象的一些性质：
①、图象——“抛物线”是轴对称图形；
②、与x、y轴交点——（0，0）即原点；
③、a的绝对值越大抛物线开口越大，a﹥0，开口向上，
当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而减小
（y随x的减小而增大）
当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而增大
（y随x的减小而减小）
a﹤0，开口向下，
当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而增大
（y随x的减小而减小）
当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而减小
（y随x的减小而增大）
2、今天我们通过观察收获不小，其实只要我们在日常生活中勤与观察，勤与思考，你会发现知识无处不在，美无处不在。
3.作业：课后练习3.4题。
拓展：
已知函数y=3x2,(x1,y1)
(x2,y2)，是这个函数图像上的两点，当x1＜
x2＜
0
y1,
y2的大小关系样
已知函数
y=ax2
的图像过点（1,4）（2,6），试判断这个函数的图像是否过点（-1,4）；（3,7）？为什么？
请同学对照解析式分析二次函数的图象与性质。
的图像与性质教学设计
东至县泥溪中学
许学君
一、教材分析：
本节是学生学习了二次函数的概念之后，对其图象及性质逐步进行探究的一个内容，在此之前学生已经对正比例函数、一次函数和反比例函数的概念及图象与性质进行了学习，因此在本节课的学习方法上学生已经有了一定的经验。但二次函数，它是进一步学习函数知识，体现函数知识螺旋发展的一个重要环节。同时在此节后，我们还将循序渐进，在此基础上由简到繁逐步展开二次函数的研究。二次函数的图像是抛物线，是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。可以说这节课既是承上启下，同时本节课的学习也能让学生体会到数学的实用及美感。其地位及作用不可小看。
二、设计思想
1.函数及其图象在初中数学中占有很重要的位置。如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，初二时的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，具有一定的片面性。本节课，力图让初三学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。
2.结合新课程实施的教学理念，在本课的教学中我努力实践以下两点：
（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究尝试培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
（2）在教学过程中努力做到师生的互动，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
三、教学目标
1、知识技能：经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。直接给学生出示y=
x2，并作图及观察性质，这样，让学生能通过运用过去的知识经验去发现新知识，解决新知识，从而实现由掌握到迁移运用的过程。
2、数学思考：能够利用描点法作出y=
x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=
x2的性质。学生通过画图，观察，分析，得出有关结论，培养学生观察，比较，概括的逻辑思维能力。
3、解决问题：能够作出二次函数y=-
x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。提高学生的观察、交流、概括、总结及表达的能力，而且更进一步让学生体会到数、形的转化。
4、数学体验：学生通过自己画图，观察，比较得出有关结论，使学生有一种获得成功的喜悦，提高学生的学习积极性；通过画图使学生更能体会到数形可以互相转化的关系，激发了学生探究新知的欲望。
四、教学重点
会画y=ax2的图象，通过观察图象理解其性质。
五、教学难点
描点法画y=ax2的图象，体会数与形的相互联系。
六、教学方法：
学习二次函数关键是学习其性质（开口方向，顶点坐标，对称轴，单调区间等），而用描点法画函数图像是我们发现函数图象的特征和了解其性质的一个重要途径。因此，在教学过程中应让学生画出函数图象，引导学生观察图像的特点，概括出函数的性质。在此过程中，可用“特殊----一般，具体----抽象“的方法来学习二次函数的图像和性质，给学习足够的探索和交流的时间，让学生在自己动手体验中得出结果。
七、教学过程
一
复习旧知，引入新课
1.提问：请同学们回顾二次函数的概念和一般形式是什么？
2.下列函数中哪些是二次函数？
ｙ＝３ｘ－１
ｙ＝３ｘ２
ｙ＝３ｘ２＋２ｘ２
ｙ＝ｘ２－x（１－ｘ）
ｙ＝３ｘ３－２ｘ２ ｙ＝２ｘ２－２ｘ＋１
３．一次函数的图像，正比例函数的图像，反比例函数的图像各是怎么样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢
上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了他的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的y=ax2的图像和性质。
（设计说明：利用前面学过的函数的图像启发学生思考二次函数的图像。将本节课的内容与已有知识联系起来，便于学生类比学习。同时，通过设问让学生了解本节课所要探索的问题，激发学生的探索兴趣。）
二
探究活动：二次函数的图像与性质
1、引导学生画出函数 ｙ＝ｘ２的图像。
(1)：在x的取列表值范围内列出函数对应值表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
（4）让学生概括图像的特点，提示学生从开口方向、对称性等方面考虑。学生互相交流、讨论、回答：图像是曲线，开口向上；它是轴对称图形，对称轴是y轴。
（5）肯定学生的表现，讲解：抛物线。它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
（6）请学生对照解析式对得出的性质进行一些解释（对称性、顶点、开口方
（设计说明：在此问题上，教师不必按课本上的问题一一叠列给学生，而是
充分发挥学生的观察能力；再者学生已研究过正比例函数、一次函数、反比
例函数，已经积累了一定的研究函数图象的方法和能力，积累了研究函数图象
要“研究什么”的经验，有了一定“模式”，即：
①
图象形状：抛物线（
教师给出）
②
与x、y轴交点；
③
y随x的增减性；
④
图象的对称性。
及系数与图象的关系。
请每组的学生代表一一发表自己的观察结果，（在此
过程中，教师不能作裁判，应及时表扬学生，同时把评判权交给学生，注意
培养学生语言的规范化、条理化。）然后按课本的问题加以总结和整理，做
到有放有收。注意学生的解析式方式思考解释。）
2.指导学生“做一做”。让学生在同一坐标系中分别画出题目y=x2与y=-x2中函数的图像，概括出他们的共同点和不同点。学生积极动手，在同一坐标系内画出函数的图像。通过比较发现：
（1），（2）中两个函数图像关于x轴对称，开口方向相反；两个函数图像的对称轴都是ｙ轴，顶点是原点。
（提示学生从图像开口方向，顶点坐标，对称轴几方面分析函数图象的共同点和不同点。）
３．肯定学生的表现，总结：函数 ｙ＝ａx2的图像是一条抛物线，它关于ｙ轴对称，它的顶点坐标是（０，０）。
4.提问：在同一坐标系中画出,
y=2x2的图像，试比较其与y=x2反应了什么性质？你能通过解析式说明吗？学生互相交流，讨论，尝试归纳总结。
5.肯定学生的表现，指出y=x2,
y=2x2的图像特点是：
当a＞0时，抛物线ｙ＝ａx2 开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降：在对称轴的右边，曲线自左向右上升。顶点是抛物线上位置最低的点。
当
a＞0
时，二次函数ｙ＝ａx2具有这样的性质：当
x
＜0
时，函数值
y
随
x
的增大而减小：当
x＞0
时，函数值
y
随
x
的增大而增大：当x=0
时，函数取最小值y=0.
(引导学生从两个方面分别总结函数图象的性质。在学生总结的过程中，可以提示学生从函数单调性和顶点方面考虑，从而让学生能够顺利的发现函数图象的性质。同时让学生用解析式特征进行浅析)
6.让学习观察函数y=
-
x2,
y=
-2
x2的图像，思考：
当a＜0时，抛物线ｙ＝ａx2有哪些特点？它反映了当
a＜0
时，函数ｙ＝ａx2
具有哪些性质 （学生互相交流，讨论，然后举手回答：）当
a＜0
时，抛物线ｙ＝ａx2开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降。顶点是抛物线上位置最高的点。当
a＜0
时，二次函数ｙ＝ａx2具有这样的性质：当
x
＜0
时，函数值
y
随
x
的增大而增大；当
x＞0
时，函数值
y
随
x
的增大而减少；当x=0
时，函数取最小值y=0。
（学生对比前面的总结，归纳方式概括出当
a＜0
时函数图象的性质，既让学生掌握了知识，又提高了学生归纳，总结的能力。）
（设计说明：主要以小组讨论完成，将四种形式的函数图象放在一个坐标系内，并发表自己的意见。从而加强学生的完善性思维训练。在语言问题上，为了规范化，教师要给以纠正。（如：开口方向，开口大小等语言）
完成二次函数y=ax2中系数a的变化，引出图象一些性质的变化。）
三
巩固练习
1.抛物线y=1/2
x2
的图像的对称轴是（
），顶点坐标是（
），当x（
）时，y
随x的增大而（
）,当x（
）时，y
随x的增大而（
）。
2.抛物线y=-5
x2
的图像的开口向（
），图像的对称轴是（
）
，除了他的顶点，抛物线上的点都在（
）
的（
）方，它的顶点是图像的最（
）点；当x（
）时，y
随x的增大而（
）,当x（
）时，y
随x的增大而（
）。
3
已知ａ＜－１，点（ａ－１，ｙ1），（ａ，ｙ2），（ａ＋１，ｙ3）都在函数y=2x2上的图像上，则ｙ1、ｙ2、ｙ3的大小关系是什么？4.指导学生完成课后练习。若正方形的边长为a，面积为s，试求出面积s与边长a的关系式，并画出图象。(设计说明：在实际应用的问题上，教师先不要进行过多的提醒，让学生进一步体会自变量“x”的取值范围的特殊性。学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，辨证出图象只在第一象限存在。)
四
课堂总结
布置作业
1、学生谈一谈收获
我们通过观察总结得出二次函数y=ax2的图象的一些性质：
①、图象——“抛物线”是轴对称图形；
②、与x、y轴交点——（0，0）即原点；
③、a的绝对值越大抛物线开口越大，a﹥0，开口向上，
当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而减小
（y随x的减小而增大）
当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而增大
（y随x的减小而减小）
a﹤0，开口向下，
当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而增大
（y随x的减小而减小）
当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而减小
（y随x的减小而增大）
2、今天我们通过观察收获不小，其实只要我们在日常生活中勤与观察，勤与思考，你会发现知识无处不在，美无处不在。
3.作业：课后练习3.4题。
拓展：
已知函数y=3x2,(x1,y1)
(x2,y2)，是这个函数图像上的两点，当x1＜
x2＜
0
y1,
y2的大小关系样
已知函数
y=ax2
的图像过点（1,4）（2,6），试判断这个函数的图像是否过点（-1,4）；（3,7）？为什么？
请同学对照解析式分析二次函数的图象与性质。