21.4二次函数的应用 教案
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文档简介
21.4二次函数的应用
第一课时（最值问题）
教学目标：
1、经历数学建模的基本过程。
2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。
3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
教学重点
二次函数在最优化问题中的应用
教学难点
从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
由21.1节的问题1引入
例1：在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？
问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。
二、讲授新课
在前面的学习中我们已经知道，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式S=-x2+20x。通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是(10，100)。所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m2）。
所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100
m2。
总结得出解这类题的一般步骤：
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
三、例题讲解
P36例3：上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h＝v0t－gt2，其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g＝10m/s2，t是舞台抛出后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。
（1）问排球上升的最大高度是多少？
（2）已知某运动员在2.5m高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）。
分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。第一个问题,配方得到h=-5(t-1)2+5,抛物线开口向下，顶点坐标（1，5），所以最大高度为5米。第二个问题只要令h=2.5，求出方程h=10t-5t2的解，t1≈0.3(s),t2≈1.7(s)。在结合实际情况，要快攻，所以最后确定选择较小的根。
四、课堂练习
课本P34练习1、2；P38练习1
五、课堂小结
本节课，我们将实际问题转化为数学模型，利用二次函数的知识解决了实际生活中的最值问题。
六、布置作业
习题21.4第2、3题。
第二课时（抛物线型问题）
教学目标
1、通过图形之间的关系列出函数解析式
2、用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题
教学重点：
用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题
教学难点
通过图形之间的关系列出函数解析式
教学过程
一、创设情景
欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。（挂图展示）
二、新课教学
【例题讲解】
课本P34例2：如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。若两端主塔之间水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m。
（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，如图，求这条抛物线的函数关系式；
（2）计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长。（精确到0.1m）
分析：第（1）题的关键是设立合适的函数解析式，根据题意可知抛物线的顶点为（0，0.5），且关于y轴对称，则可以设函数关系式为y=ax2+0.5，再将（450，81.5）带入解析式中，即可求出a的值。第（2）题要注意不能直接将100、50当做横坐标代入。
解：（1）设抛物线的函数关系式为y=ax2+0.5，将(450，81.5）代入，得
81.5=a 4502+0.5
解方程，得
因而，所求抛物线的函数关系式为（-450≤x≤450）。
（2）当x=450-100=350（m）时，得
；
当x=450-50=400（m）时，得
。
因而，距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别约为49.5m、64.5m。
例：卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB．如图(一)在比例图上，以直线AB为x轴、抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系：如图(二)．
(1)求出图(一)上的这一部分抛物线的图象的函数表达式，写出函数的定义域；
(2)如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长．(备用数据：≈1.4，结果精确到1米)
解:（1）由图(二)建立坐标系,可知C(0，0.9),A(－2.5，0),B(2.5，0).
设函数表达式为y＝a(x－2.5)(x＋2.5)，将
(0，0.9)代入，得
0.9＝－6.25a
a＝
因而，所求函数关系式为
y＝(x－2.5)(x＋2.5)＝－x2＋（－2.5≤x≤2.5）
(2)∵D、E的纵坐标为0.45=，
∴＝－x2＋．得x＝±．
∴点D的坐标为(－，)，点E的坐标为(，)．
∴DE＝－(－)＝．
因此卢浦大桥拱内实际桥长为
×11000×0.01＝275≈385(米)。
三、课堂练习
课本P35
练习1、2
四、课堂小结
本节课我们学习了通过图形之间的关系列出函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题
五、作业布置
习题21.4
第5、6题
第三课时（生活中的二次函数）
教学目标
学会利用二次函数解决实际问题
教学重、难点
利用二次函数解决实际问题
教学过程
一、创设情境、引入新课
上节课我们学习了通过图形之间的关系求函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型的实际问题，这节课我们继续学习利用二次函数解决一些生活中的实际问题
二、例题讲解
制动时车速/km h-1
0
10
20
30
40
50
制动距离/m
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
课本P37例4：行驶中的汽车，在制动后由于惯性作用，还要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”。为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：
现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m。则交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路最高限速为110km/h）行驶导致了交通事故？
分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速。题中给出了几组制动距离与制动时车速有关系的数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答本题的关键。
解：（1）以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出这些数据的点，如图
（2）观察途中妙处点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，y（制动距离）与x（制动时车速）的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设
y=ax2+bx+c
在已知数据中，任选三组，如取（0，0）、（10，0.3）、（20，1.0）分别代入所设函数关系式，得
解方程组，得
因而，所求函数关系式为y=0.002x2+0.01x
（3）把y=46.5m代入函数关系式，得
46.5=0.002x2+0.01x
解方程，得x1=150（km/h），x2=-155（km/h）（舍去）
因而，制动时车速为150km/h（>110km/h），即在事故发生时，该车属超速行驶。
三、课堂练习
课本P38练习1、2、3
四、课堂小结
二次函数与实际问题联系紧密，这就要求我们在解决实际问题时，善于用数学的眼光去观察，用数学的思维去分析，用数学的方法去解决，运用函数知识去解决实际问题是十分普遍和重要的。
五、作业布置
习题21.4
第4、7题
第一课时（最值问题）
教学目标：
1、经历数学建模的基本过程。
2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。
3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
教学重点
二次函数在最优化问题中的应用
教学难点
从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
由21.1节的问题1引入
例1：在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？
问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。
二、讲授新课
在前面的学习中我们已经知道，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式S=-x2+20x。通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是(10，100)。所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m2）。
所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100
m2。
总结得出解这类题的一般步骤：
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
三、例题讲解
P36例3：上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h＝v0t－gt2，其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g＝10m/s2，t是舞台抛出后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。
（1）问排球上升的最大高度是多少？
（2）已知某运动员在2.5m高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）。
分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。第一个问题,配方得到h=-5(t-1)2+5,抛物线开口向下，顶点坐标（1，5），所以最大高度为5米。第二个问题只要令h=2.5，求出方程h=10t-5t2的解，t1≈0.3(s),t2≈1.7(s)。在结合实际情况，要快攻，所以最后确定选择较小的根。
四、课堂练习
课本P34练习1、2；P38练习1
五、课堂小结
本节课，我们将实际问题转化为数学模型，利用二次函数的知识解决了实际生活中的最值问题。
六、布置作业
习题21.4第2、3题。
第二课时（抛物线型问题）
教学目标
1、通过图形之间的关系列出函数解析式
2、用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题
教学重点：
用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题
教学难点
通过图形之间的关系列出函数解析式
教学过程
一、创设情景
欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。（挂图展示）
二、新课教学
【例题讲解】
课本P34例2：如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。若两端主塔之间水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m。
（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，如图，求这条抛物线的函数关系式；
（2）计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长。（精确到0.1m）
分析：第（1）题的关键是设立合适的函数解析式，根据题意可知抛物线的顶点为（0，0.5），且关于y轴对称，则可以设函数关系式为y=ax2+0.5，再将（450，81.5）带入解析式中，即可求出a的值。第（2）题要注意不能直接将100、50当做横坐标代入。
解：（1）设抛物线的函数关系式为y=ax2+0.5，将(450，81.5）代入，得
81.5=a 4502+0.5
解方程，得
因而，所求抛物线的函数关系式为（-450≤x≤450）。
（2）当x=450-100=350（m）时，得
；
当x=450-50=400（m）时，得
。
因而，距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别约为49.5m、64.5m。
例：卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB．如图(一)在比例图上，以直线AB为x轴、抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系：如图(二)．
(1)求出图(一)上的这一部分抛物线的图象的函数表达式，写出函数的定义域；
(2)如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长．(备用数据：≈1.4，结果精确到1米)
解:（1）由图(二)建立坐标系,可知C(0，0.9),A(－2.5，0),B(2.5，0).
设函数表达式为y＝a(x－2.5)(x＋2.5)，将
(0，0.9)代入，得
0.9＝－6.25a
a＝
因而，所求函数关系式为
y＝(x－2.5)(x＋2.5)＝－x2＋（－2.5≤x≤2.5）
(2)∵D、E的纵坐标为0.45=，
∴＝－x2＋．得x＝±．
∴点D的坐标为(－，)，点E的坐标为(，)．
∴DE＝－(－)＝．
因此卢浦大桥拱内实际桥长为
×11000×0.01＝275≈385(米)。
三、课堂练习
课本P35
练习1、2
四、课堂小结
本节课我们学习了通过图形之间的关系列出函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题
五、作业布置
习题21.4
第5、6题
第三课时（生活中的二次函数）
教学目标
学会利用二次函数解决实际问题
教学重、难点
利用二次函数解决实际问题
教学过程
一、创设情境、引入新课
上节课我们学习了通过图形之间的关系求函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型的实际问题，这节课我们继续学习利用二次函数解决一些生活中的实际问题
二、例题讲解
制动时车速/km h-1
0
10
20
30
40
50
制动距离/m
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
课本P37例4：行驶中的汽车，在制动后由于惯性作用，还要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”。为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：
现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m。则交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路最高限速为110km/h）行驶导致了交通事故？
分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速。题中给出了几组制动距离与制动时车速有关系的数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答本题的关键。
解：（1）以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出这些数据的点，如图
（2）观察途中妙处点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，y（制动距离）与x（制动时车速）的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设
y=ax2+bx+c
在已知数据中，任选三组，如取（0，0）、（10，0.3）、（20，1.0）分别代入所设函数关系式，得
解方程组，得
因而，所求函数关系式为y=0.002x2+0.01x
（3）把y=46.5m代入函数关系式，得
46.5=0.002x2+0.01x
解方程，得x1=150（km/h），x2=-155（km/h）（舍去）
因而，制动时车速为150km/h（>110km/h），即在事故发生时，该车属超速行驶。
三、课堂练习
课本P38练习1、2、3
四、课堂小结
二次函数与实际问题联系紧密，这就要求我们在解决实际问题时，善于用数学的眼光去观察，用数学的思维去分析，用数学的方法去解决，运用函数知识去解决实际问题是十分普遍和重要的。
五、作业布置
习题21.4
第4、7题