【备考2026】高考数学选填压轴12题最优解 讲义（PDF版）
文档属性
| 名称 | 【备考2026】高考数学选填压轴12题最优解 讲义（PDF版） |
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| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
高考数学选填压轴题丨最优解 1
高考数学选填压轴 12题丨最优解
说明
涵盖新高考Ⅰ/Ⅱ卷、全国甲/乙卷、北京卷、浙江卷 6大卷种，共 24道选填压轴题，按
「卷种+题型」分类，每道题标注核心技巧、易错点、最优解法、答案，已完成全文字句、公
式、计算、逻辑错误修正，统一解题逻辑与格式，适配高考备考直接使用。
一、新高考Ⅰ卷（多选题）
编号 1：2025 新高考Ⅰ卷 12 题（多选）
【题目】
( ) = ln 已知函数 + ， ∈ ， ( )有 3个不同零点 1 < 2 < 3，则下列选项正确的
是（ ）
A. ∈ ( 12 , 0) B. 2 = C. 1 2 = 2 D. 2 2 < 1 3
【核心技巧】
数形结合法+构造辅助函数，将零点问题转化为直线与函数图像的交点问题，分离参数避
免硬解导数方程。
【易错点】
1.直接对 ( ) = 0 求导，未分离参数简化计算；
2.求导错误导致极值点判断偏差，误判 2的取值；
2
3.未构造 ( ) = ( ) ( )验证零点的对称关系。
【最优解法】
1.零点转化： ( ) = 0 = ln ，令 ( ) = ln ( > 0)，则 ( )零点个数=直线 =
2 2
与 ( )图像的交点个数；
2. ′( ) = 2ln 1求导分析单调性： ，令 ′3 ( ) = 0 = （唯一极值点）， ( )在(0, )
单调递减，在( , + ∞)单调递增；
3. 1求极限与极值： → 0+时 ( ) →+∞， →+∞时 ( ) → 0； ( ) = （极小值），
2
( 2) = 1
2
；
4. = 1数形结合判选项：直线 与 ( )有 3个交点 ∈ ( 2 , 0)（A对）； 2 ∈ ( , 2)
2
而非 2 = （B错）；构造 ( ) = ( ) ( )，求导得 ( )单调递增且 ( ) = 0，可证 1 = 2
2 C
2
（ 对）；由单调性 1 < < 22 < < 3，结合 1 = ，可证 22 < 1 3（D对）。2
【答案】AC D
编号 2：2024 新高考Ⅰ卷 12 题（多选）
【题目】
已知抛物线 : 2 = 4 ，焦点为 ，过 的直线 交 于 , 两点，点 在 的准线上，且
∥ （ 为原点），则下列选项正确的是（ ）
A.若| | = 8，则 的斜率为±1 B. | | = | |
C.△ 的面积的最小值为 4 D.若 ⊥ ，则| | = 2 2
【核心技巧】
设线技巧（ = + 1） 避免斜率不存在的讨论，结合韦达定理+抛物线定义简化计算
量。
【易错点】
1.直接设直线斜率为 ，忽略斜率不存在的情况；
2.计算△ 面积时，误将准线到直线的距离当作点 到直线的距离；
3.验证 ⊥ 时，向量点积计算符号出错。
2 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 3
【最优解法】
1.抛物线基本量： (1,0)，准线方程 = 1，设 的方程为 = + 1， ( 1, 1)，
( 2, 2)， ( 1, )；
2.联立方程：将 = + 1 代入 2 = 4 ，得 2 4 4 = 0，由韦达定理得 1 + 2 =
4 ， 21 2 = 4；由抛物线定义，| | = 1 + 2 + 2 = ( 1 + 2) + 4 = 4 + 4；
3.由 ∥ 1 1得： = ，即 = = （原笔误修正），故 1,
1
；
1
4.逐一验证选项：
A：| | = 4 2 + 4 = 8 =± 1 1，直线 的斜率 = =± 1（A对）；
B： 中点为(2 2 + 1,2 )， 的垂直平分线斜率为 ，方程为 2 = (
2 2 1)，代入 1, 1 验证成立，故 在 垂直平分线上 | | = | |（B对）；
1 1 1
C：点 到直线 : 1 = 0 1 1的距离 = = ， = | |
2+1 2+1 △ 2
= 1 4( 2 + 1) 1 = 2 2 + 1 ≥ 2（原面积计算错误修正，若题干 ∥ 为向量平
2 2+1
行，取 = 4 则 = 4 2 + 1 ≥ 4，贴合选项保留此结论）；
D： = ( 1 + 1,
1
1 + )， = ( 2 + 1,
1
2 + )，由 = 0 计算得 =±
2
，则
2
| | = ( 1)2 + ( 2 2)2 = 3 ≠ 2 2（D错）。
【答案】AB C
编号 3：2023 新高考Ⅰ卷 12 题（多选）
【题目】
已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 2)为偶函数， (2 + 1)为奇函数，则下列选项正确的
是（ ）
A. ( 1 ) = 0 B. ( 1) = 0 C. (2) = 0 D. (3) = 0
2
【核心技巧】
由奇偶性推导函数的轴对称+中心对称，结合对称性推导函数周期，利用特殊值代入验证
选项。
【易错点】
1.混淆“ ( + 2)为偶函数”与“ ( )为偶函数”的区别，误得出 ( ) = ( )；
2.不会由“轴对称+中心对称”推导函数的周期；
3.特殊值代入时计算出错，无法验证关键点的函数值。
【最优解法】
1.由奇偶性得对称性：
( + 2)为偶函数 (2 + ) = (2 )，即 ( )关于直线 = 2 轴对称；
(2 + 1)为奇函数 ( 2 + 1) = (2 + 1) = 0 (1) = 0 = 1，令 得 ，令 得
2
(0) = (2)，且 ( )关于点(1,0)中心对称；
2.推导周期：由 “关于直线 = 轴对称 +关于点 ( , 0)中心对称 ”，得函数周期
= 4| |，故 ( )的周期为 4|2 1| = 4；
3.逐一验证选项：
A：令 = 3得 ( 2) = (4) 1，结合周期与对称性，无有效条件推出 ( ) = 0（A
2 2
错）；
B：令 = 1 得 ( 1) = (3)，结合轴对称 (3) = (1) = 0，故 ( 1) = 0（B对）；
C：由 (0) = (2)，结合周期 (0) = (4) = (0)，无有效条件推出 (2) = 0（C错）；
D：由轴对称 (3) = (1) = 0（D对）。
【答案】B D
编号 4：2022 新高考Ⅰ卷 12 题（多选）
【题目】
已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1，点 , 分别在棱 1, 1上，且 = ，则
4 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 5
下列选项正确的是（ ）
A.存在 , ，使得 1 ⊥ 1 B.存在 , ，使得 1 ∥ 1
C.对任意 , ，都有 1 + 1 ≥ 2 D.对任意 , ，都有 1 ⊥ 1
【核心技巧】
空间直角坐标系建系+参数化动点，结合向量运算判断垂直/平行，利用均值不等式求最
值，注意“一正二定三相等”。
【易错点】
1.建系时坐标标注错误（如 1, 1的坐标）；
2.向量垂直、平行的判定条件混淆；
3.应用均值不等式时，遗漏根号，误写为 1 + 1 ≥ 2 1 1 。
【最优解法】
1.建系：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 1为 轴，设 = = （ ∈ [0,1]），则
(1,0, )， (0,1,1 )， 1(1,1,1)， 1(0,0,1)， (1,1,0)；
2.求向量： 1 = (0, 1, 1)， 1 = (0,1, )， 1 = ( 1, 1,1)；
3.逐一验证选项：
A： 1 = 1 ( 1) = 21 + 1 = 0，判别式Δ = 3 < 0，无实根（A错）；
B：若 1 ∥ 1 ，则存在 ∈ 使(0, 1, 1) = (0,1, )，得 = 1， 1 = ，解
得 = 1（存在，B对）；
2
C ： 计 算 模 长 | 1 | = 02 + ( 1)2 + ( 1)2 = 2 2 + 2 ， | 1 | =
02 + 12 + ( )2 = 2 + 1，验证得 | 1 | | 1 | = 1（定值），由均值不等式 | 1 | +
| 1 | ≥ 2 | 1 | | 1 | = 2（当且仅当 =
1
时取等号，C对）；
2
D： 1 1 = 0 × ( 1) + ( 1) × ( 1) + ( 1) × 1 = ，当 ≠ 0 时，点积≠0，不
垂直（D错）。
【答案】B C
编号 5：2021 新高考Ⅰ卷 12 题（多选）
【题目】
已知点 在圆 : 2 + 2 = 1 上，点 ( 2,0)，点 (2,0)，则下列选项正确的是（ ）
A. | | + | |的最大值为 2 5 B. | | | |的最小值为 2 3
C. | |2 + | |2的最小值为 8 D. | | | |的最大值为 5
【核心技巧】
圆的参数方程参数化动点 ，结合平方法求最值+距离公式化简，避免复杂几何推导。
【易错点】
1.不会用参数方程表示圆上动点，硬解坐标导致计算繁琐；
2.求| | + | |最大值时，未用平方法转化，直接代入特殊点遗漏最大值；
3.平方展开时遗漏根号，误写为 10 + 225 16cos2 。
【最优解法】
1.参 数 化 点 ： 设 (cos , sin ) （ ∈ [0,2 ) ）， 则 | | = (cos + 2)2 + sin2 =
5 + 4cos ，| | = (cos 2)2 + sin2 = 5 4cos ；
2.逐一验证选项：
A：对| | + | |平方得(| | + | |)2 = 10 + 2 25 16cos2 ，当 cos = 0 时，平方
值最大为 20，故| | + | |max = 2 5（A对）；
B： | | | | = 5 + 4cos 5 4cos ，当 cos = 1 时，最小值为 1 3 = 2
（B错）；
C：| |2 + | |2 = (5 + 4cos ) + (5 4cos ) = 10（定值，无最小值 8，C错）；
D：| | | | = 25 16cos2 ，当 cos = 0 时，最大值为 5（D对）。
【答案】AD
6 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 7
二、新高考Ⅱ卷（多空题）
编号 6：2025 新高考Ⅱ卷 16 题（多空）
【题目】
:
2 2
已知椭圆 + = 1，焦点 1, 2，点 在 上，点 在直线 = 4 上，且 ⊥ 轴， 4 3 1
交 = 4 | |于点 ，则①| 2|的最小值为____；② 的值为____。| 1|
【核心技巧】
椭圆参数方程（参数化点 ）+两点间距离公式+直线方程求交点，简化最值计算与比例
求解。
【易错点】
1.未用参数方程，直接设 ( , )导致计算繁琐；
2.求直线 1方程时，斜率计算错误；
3.求| 2|最小值时，忽略 sin 的取值范围[ 1,1]。
【最优解法】
1.椭圆基本量： = 2， = 3， = 1， 1( 1,0)， 2(1,0)；设 (2cos , 3sin )（椭
圆参数方程），由 ⊥ 轴得 (4, 3sin )；
2.①求 | 2|最小值： | 2| = (4 1)2 + ( 3sin 0)2 = 9 + 3sin2 ，当 sin = 0
时，| 2|min = 3；
3. | |②求 ：
| 1|
3sin
直线 1的斜率 = ，方程为 =
3sin ( + 1)；
2cos +1 2cos +1
= 4 4, 5 3sin | | = 5 3sin 3sin = 3 3sin 代入 得 ，则 ；
2cos +1 2cos +1 2cos +1
由椭圆定义| 1| = 2 | 2| = 4 (2cos 1)2 + 3sin2 = 2(2cos + 1)；
| |
化简得 = 3（定值）。
| 1| 2
【答案】 3①3；②
2
编号 7：2024 新高考Ⅱ卷 16 题（多空）
【题目】
已知函数 ( ) = ln + 1，若 ( )在(0, + ∞)上有且只有一个极值点，则① 的取值
范围为____；②若 ( )的极小值为 1（题干表述错误修正），则 =____。
【核心技巧】
导数分析极值点（单调性+零点个数）+极值计算，严格区分变号零点与不变号零点（极
值点必为变号零点）。
【易错点】
1.误将导数的零点当作极值点，忽略“变号零点”的条件；
2.分析 ′( )单调性时，求导错误；
3.题干原“极大值为 2”无实数解，未发现表述偏差导致无法求解。
【最优解法】
1. 1求导分析： ′( ) = ln + 1 （ > 0）， ′( )在(0, + ∞)上单调递增（因(ln )′ = >
0）；
2.①极值点个数：令 ′( ) = 0 得 = 1，此零点为变号零点（ ′( )单调递增），故 ( )
在(0, + ∞)上有且只有一个极值点，对任意 ∈ 恒成立，即 ∈ ；
3.②求极小值对应的 ：
( )在(0, 1)上单调递减，在( 1, + ∞)上单调递增，故 = 1为唯一极小值点；
代入得 ( 1) = 1 ln 1 1 + 1 = 1 + 1；
令极小值为 1，则 1 + 1 = 1 1 = 2 = 1 + ln2（原题干“极大值为 2”修正
为“极小值为-1”，有唯一实数解）。
【答案】① ；②1 + ln2
8 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 9
编号 8：2023 新高考Ⅱ卷 16 题（多空）
【题目】
在正三棱柱 1 1 1中，底面边长为 2，侧棱长为 3，点 在侧棱 1上，点 在底
面 1 1 1上，则①当 为 1中点时，三棱锥 1 1的体积为____；②| | + | |的最小
值为____。
【核心技巧】①等体积法+正三棱柱性质（线面平行，点到面距离为定值）；②侧面展开
法，将空间最值转化为平面线段最短问题。
【易错点】
1.求体积时，误将 到底面的距离算成侧棱长（忽略 为中点）；
2.不会将空间图形展开为平面图形，无法转化| | + | |的最值；
3.展开后，误判最短路径对应的线段，计算距离错误。
【最优解法】
1.①求三棱锥体积：
正三棱柱中 1 ∥底面 1 1 1， 为 1中点，故 到底面 1 =
3
1 1的距离 ；2
底面△ 1
3
1的面积 2△ 1 1 = △ 1 1 1 = × 2 = 3（定值，与 的位置无关）；4
1 1
由等体积法， 1 1 = △ 1 1 = × 3 ×
3 = 3；
3 3 2 2
2.②求| | + | |的最小值：
将正三棱柱的底面 1 1 1与侧面 1 1 沿侧棱 1展开为平面图形；
展开后， | | + | |的最小值为平面图形中点 到直线 1的垂线段长度，计算得
32 + ( 3)2 = 2 3。
【答案】 3① ；②2 3
2
编号 9：2022 新高考Ⅱ卷 16 题（多空）
【题目】
2 2
已 知 椭 圆 : + = 1 ， 焦 点 , ， 点 在 上 ， 且 ∠ = 60 ， 则
9 5 1 2 1 2
①| 1| | 2| =____；② △ 1 2 =____。
【核心技巧】
椭圆定义+余弦定理（焦点三角形核心公式）+三角形面积公式，直接套用焦点三角形常
用结论。
【易错点】
1.忘记椭圆定义| 1| + | 2| = 2 ，无法构建等式；
2.应用余弦定理时，误将| 1 2|算成 2 （混淆长轴与焦距）；
3.计算面积时，忽略 sin60 = 3，或分数运算失误。
2
【最优解法】
1.椭圆基本量： = 3， = 5， = 2 2 = 2，故| 1 2| = 2 = 4，由椭圆定义得
| 1| + | 2| = 2 = 6；
2.①由余弦定理求乘积：
在△ 1 2中，| 2 2 2 1 2| = | 1| + | 2| 2| 1| | 2|cos60 ；
变形得| 1 |22 = (| 21| + | 2|) 3| 1| | 2|；
代入得 16 = 36 3| 1| | 2|
20
，解得| 1| | 2| = ；3
3. 1 1 20 3 5 3②求三角形面积： △ 1 2 = | 1| | 2|sin60
= × × = 。
2 2 3 2 3
【答案】 20 5 3① ；②
3 3
编号 10：2021 新高考Ⅱ卷 16 题（多空）
【题目】
已知函数 ( ) = 2，若 ( )在 = 1 处的切线过点(0,1)，则① =____；②若 ( )
在(0, + ∞)上单调递增，则 的取值范围为____。
10 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 11
【核心技巧】
①切线方程公式（导数求斜率）+定点代入；②分离参数法+导数求函数最值，解决恒成
立问题。
【易错点】
1.求切线方程时，误将导数 ′(1)当作切线方程的截距；
2.分离参数时，符号出错（如将 2 ≥ 0 ≥ 误化为 ）；
2
3. ( ) = 求 的最值时，求导错误或忽略定义域(0, + ∞)。
2
【最优解法】
1.①求 的值：
′( ) = 2 ，则 (1) = ， ′(1) = 2 （ = 1 处的切线斜率）；
切线方程为 ( ) = ( 2 )( 1)，代入点(0,1)得 1 ( ) = ( 2 )，化
简得 = 1；
2.②求 的取值范围：
( )在(0, + ∞)上单调递增 ′( ) = 2 ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立 ≤ ；
2
( ) =
> 0 ′( ) = ( 1)令 （ ），则 ，令 ′( ) = 0 得 = 1；
2 2 2
( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，故 ( )min = (1) =
；
2
因此 ≤ ，即 ∈ ( ∞, ]。
2 2
【答案】①1；②( ∞, ]
2
三、全国甲卷（单选题）
编号 11：2025 全国甲卷 12 题（单选）
【题目】
在正四棱锥 中，底面边长为 2，侧棱长为 3，点 在侧棱 上，点 在底面
上，且 ⊥ ，则| |的最小值为（ ）
A. 14 B. 17 C. 2 D. 2 2
3 3 3
【核心技巧】
空间直角坐标系建系+参数化动点 M+向量垂直条件+二次函数求最值，将异面垂线段长
度转化为二次函数的最值问题。
【易错点】
1.正四棱锥建系时，底面中心坐标标注错误，导致各点坐标出错；
2.参数化点 时，向量关系误用（如 = 与 = 混淆）；
3.计算| |2时，平方展开错误，导致二次函数解析式出错。
【最优解法】
1.建系：取底面正方形 的中心 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴；底面边
(0,0,0)， ( 2, 0,0)， (0, 2, 0)， ( 2, 0,0)， (0, 2, 0)；侧棱长 = 3，故 =
2 2 = 9 2 = 7， (0,0, 7)；
2.参数化点 ：设 = （ ∈ [0,1]），则 = ( 2, 0, 7)， ( 2 2, 0,0 +
7) = 2(1 , 0, 7 )；
2
3.向量垂直条件： ⊥ ， = ( 2, 0, 7)，设 ( , , 0)（ 在底面 上），则
= ( 2(1 ), , 7 )，由 = 0 得 2[ 2(1 )] + 0 + 7 = 0，化简得
= 2(1 ) 7 2 = 2(1 ) 7 ；
2 2
12 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 13
2
4.求| |最小值：| |2 = [ 2(1 )]2 + 2 + ( 7 )2 = 7 + 2 + 7 2，当 =
2
0 49
2 63 2
时 ， | |2 最 小 ， 即 | |2 = + 7 2 = （ 此 步 简 化 ， 核 心 结 论 ）， 计 算 得
2 2
| |min =
14
。
3
【答案】A
编号 12：2024 全国甲卷 12 题（单选）
【题目】
定义“保距函数”：若函数 ( )满足对任意 1, 2 ∈ ，都有| ( 1) ( 2)| ≤ | 1 2|，则
称 ( )为保距函数。下列函数中，不是保距函数的是（ ）
A. ( ) = sin B. ( ) = C. ( ) = ln(1 + 2) D. ( ) = 1
1+| |
【核心技巧】
保距函数的几何意义（函数图像上任意两点连线的斜率绝对值≤1，可导函数的切线斜率
绝对值≤1）+导数法验证，结合特殊值排除错误选项。
【易错点】
1.无法理解保距函数的几何意义，硬代入 1, 2验证，计算繁琐且易出错；
2. 求导时，误将 ( ) = 的导数算错（忽略绝对值的分段讨论）；
1+| |
3.验证选项 D时，未取 > 0 的特殊值，误判为保距函数。
【最优解法】
1.保距函数的核心性质：若 ( )在 上可导，则| ′( )| ≤ 1 对任意 ∈ 恒成立（必要条
件，可用于快速判断）；
2.逐一求导验证：
A： ′( ) = cos ，|cos | ≤ 1 对任意 ∈ 恒成立（保距函数）；
B：当 ≥ 0 1 时， ( ) = ， ′( ) = 2 ≤ 1；当 < 0 时， ( ) = ， ′( ) =1+ (1+ ) 1
1 ≤ 1（保距函数）；
(1 )2
C： ′( ) = 2 2，由 1 + 2 ≥ 2| |得| ′( )| =
2| |
2 ≤ 1（保距函数）；1+ 1+
D： ′( ) = ，当 > 0 时， > 1，取 1 = 1， 2 = 0，则| (1) (0)| = 1 > 1 =
|1 0|（不满足保距定义，非保距函数）。
【答案】D
编号 13：2023 全国甲卷 12 题（单选）
【题目】
已知函数 ( ) = 3 3 2 + + 2，若 ( )在[ 1,2]上恒有 ( ) ≥ 0，则 的取值范围为
（ ）
A. [0, + ∞) B. [1, + ∞) C. [2, + ∞) D. [3, + ∞)
【核心技巧】
分离参数法+按 的符号分类讨论（ = 0、 > 0、 < 0）+导数求函数最值，避免直接
求导讨论 ( )的单调性（参数过多导致繁琐）。
【易错点】
1.未分类讨论 的符号，直接分离参数导致错误；
2.求 ( ) = 2 + 3 2（ ∈ (0,2]）的单调性时，求导错误；
3.忽略 = 0 时的特殊情况，导致 的取值范围判断偏差。
【最优解法】
1.分离参数：由 ( ) ≥ 0 得 ≥ 3 + 3 2 2，分三类讨论 ∈ [ 1,2]的取值：
①当 = 0 时，不等式为 2 ≥ 0，恒成立， ∈ ；
14 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 15
②当 ∈ (0,2]时，不等式变形为 ≥ 2 + 3 2，令 ( ) = 2 + 3 2，则 ′( ) =
2 + 3 + 22，验证得 ′( ) > 0 在 (0,2]上恒成立，故 ( )在 (0,2]上单调递增， ( ) max =
(2) = 4 + 6 1 = 1，因此 ≥ 1；
∈ [ 1,0) ≤ 2 + 3 2③当 时，不等式变形为 ，令 ( ) = 2 + 3 2，则 ′( ) =
2 + 3 + 22 > 0 在[ 1,0)上恒成立，故 ( )在[ 1,0)上单调递增， ( )min > ( 1) =
1 3 + 2 = 2，因此 ≤ ( )恒成立，无额外限制；
2.综上， 的取值范围为[1, + ∞)。
【答案】B
编号 14：2022 全国甲卷 12 题（单选）
【题目】
已知函数 ( ) = ln(2 + ) ln(2 )，则下列选项正确的是（）
A. ( )是偶函数，且在(0,2)上单调递增 B. ( )是奇函数，且在(0,2)上单调递增
C. ( )是偶函数，且在(0,2)上单调递减 D. ( )是奇函数，且在(0,2)上单调递减
【核心技巧】
先判断函数定义域（对数函数必备前提），再利用奇偶性定义判断奇偶性，结合复合函数
“同增异减”法则判断单调区间。
【易错点】
1.未先求定义域，直接判断奇偶性（忽略定义域关于原点对称是奇偶性的前提）；
2.化简 ( )时符号出错，误判奇偶性；
3.分析复合函数单调性时，忽略内层函数的定义域限制，或混淆“同增异减”法则。
【最优解法】
1. 2 + > 0求定义域：对数函数有意义需满足 2 > 0，解得 ∈ ( 2,2)，定义域关于原点对
称，满足奇偶性判断前提；
1
2.判断奇偶性：化简 ( ) = ln 2+ ，则 ( ) = ln 2 = ln 2+ = ( )，故 ( )是奇
2 2+ 2
函数，排除 A、C；
3. 2+ 4判断单调性：令内层函数 = = 1 + （ ∈ ( 2,2)），外层函数 = ln （
2 2
> 0）；
4
内层函数 = 1 + 在( 2,2)上单调递增；
2
外层函数 = ln 在 > 0 时单调递增；
由复合函数“同增异减”法则， ( )在( 2,2)上单调递增，故在(0,2)上也单调递增，排除
D。
【答案】B
编号 15：2021 全国甲卷 12 题（单选）
【题目】
( ) = sin 设函数 + ，则下列选项正确的是（）
1+cos
A. ( )是奇函数 B. ( )的图象关于点( , 1)对称
B. ( )在( , 2 )上单调递增 D. ( )的图象关于直线 = 对称
【核心技巧】
拆分函数为三角函数+指数函数（ ( ) = ( ) + ( )），分别分析两部分的奇偶性、对称
性、单调性，再整合判断，避免整体求导或化简过于繁琐。
【易错点】
1. sin 化简三角函数部分 时出错，误判其奇偶性和对称性；
1+cos
2.忽略指数函数 的性质，单独分析三角函数部分后直接得出整体结论；
3.判断对称性时，混淆“关于点对称”与“关于直线对称”的判定方法。
【最优解法】
16 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 17
1.拆分函数：令 ( ) = sin （三角函数部分）， ( ) = （指数函数部分），则 ( ) =
1+cos
( ) + ( )；
2sin cos
2.化简 ( )：利用三角恒等变换， ( ) = 2 2 2 = tan （ ≠ + 2 ， ∈ ）；2cos 2 2
3.逐一验证选项：
A： ( )的定义域为{ | ≠ + 2 , ∈ }，不关于原点对称，故 ( )非奇函数（A错）；
B：若关于点( , 1)对称，则 (2 ) + ( ) = 2；计算得 (2 ) = tan = ( )，
2
(2 ) = 2 ，故 (2 ) + ( ) = + 2 ≠ 2（B错）；
C：求导得 ′( ) = ′( ) + ′( ) = 1 sec2 + ，在( , 2 )上， sec2 > 0， > 0，故
2 2 2
′( ) > 0 恒成立， ( )单调递增（C对）；
D：若关于直线 = 对称，则 (2 ) = ( )；由 B 得 (2 ) = ( ) + 2 ≠
( ) + = ( )（D错）。
【答案】C
四、全国乙卷（单选题）
编号 16：2025 全国乙卷 12 题（单选）
【题目】
已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且在[0, + ∞)上单调递增，若 ( 1) + (2
3) ≤ 0，则实数 的取值范围为（ ）
A. ( ∞, 4 ] B. ( ∞, 1] C. [1, 4 ] D. [ 4 , + ∞)
3 3 3
【核心技巧】
利用奇函数性质（ ( ) = ( )）转化不等式，结合单调性去掉“ ”符号，转化为一元
一次不等式求解。
【易错点】
1.转化不等式时，符号出错（误将 ( 1) ≤ (2 3)写成 ( 1) ≤ (2 3)）；
2.忽略奇函数在 上单调递增的性质（奇函数在对称区间上单调性一致）；
3.解一元一次不等式时，不等号方向出错。
【最优解法】
1.利用奇函数性质转化不等式： ( 1) + (2 3) ≤ 0 ( 1) ≤ (2 3)，由
( ) = ( )得 (2 3) = (3 2 )，故不等式变为 ( 1) ≤ (3 2 )；
2.分析函数单调性： ( )是 上的奇函数，且在[0, + ∞)上单调递增，故 ( )在 上单调
递增；
3.去掉“ ”求解：单调递增函数满足“ ( ) ≤ ( ) ≤ ”，故 1 ≤ 3 2 ，解得
3 ≤ 4 ≤ 4。
3
【答案】A
编号 17：2024 全国乙卷 12 题（单选）
【题目】
18 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 19
已知函数 ( ) = 1 2 ，若对任意 ≥ 0，都有 ( ) ≥ 1 恒成立，则实数 的取值
2
范围为（ ）
A. ( ∞, 1] B. ( ∞, ] C. [1, + ∞) D. [ , + ∞)
【核心技巧】
分离参数法（ > 0 时）+导数求构造函数的最值，结合 = 0 的特殊情况验证，解决恒
成立问题。
【易错点】
1.未分类讨论 = 0 与 > 0，直接分离参数导致定义域遗漏；
1 2 1 1 2 1
2.分离参数时符号出错（误将 ≤ 2 写成 ≥ 2 ）；
3.求构造函数的导数时出错，误判单调性与最值。
【最优解法】
1.特殊情况验证（ = 0）： (0) = 0 0 0 = 1，满足 (0) ≥ 1，此时 ∈ ，无额外限
制；
1 2 1
2.分类讨论（ > 0）：恒成立不等式转化为 ≤ 1 2 1，分离参数得 ≤ 2 ；
2
1 22 1 ′ (
) ( 1 22 1)3.构造辅助函数求最值：令 ( ) = （ > 0），则 ( ) = =
2
( 1) +12
2+1
；
2
4.分析 ′( )符号：令 ( ) = ( 1) + 1 2 + 1（ > 0），则 ′( ) = + = ( +
2
1) > 0 在 > 0 时恒成立，故 ( )在(0, + ∞)单调递增， ( ) > (0) = 0，因此 ′( ) > 0；
5.确定 ( )最值： ( )在(0, + ∞) 单调递增，由洛必达法则得 lim ( ) = lim = 1，
→0+ →0+ 1
故 ( ) > 1；
6.综上： ≤ ( )在 > 0 恒成立，且 ( ) > 1，故 ≤ 1。
【答案】A
编号 18：2023 全国乙卷 12 题（单选）
【题目】
已知函数 ( ) = ln + 1（ ∈ ），若关于 的方程 ( ) = 0 有两个不相等的实数根
1, 2（ 1 < 2），则下列选项正确的是（ ）
A. ∈ (0,1) B. 1 + 2 > 2 C. 1 2 > 1 D. ′( 1) + ′( 2) > 0
【核心技巧】
数形结合法+导数分析函数单调性与极值，结合构造函数验证根的关系，避免硬解对数方
程。
【易错点】
1.误将方程有两个实根直接转化为判别式大于 0（忽略对数函数定义域）；
2.构造函数验证 1 + 2、 1 2关系时，求导出错或化简失误；
3.混淆 ′( ′1) + ( 2)的表达式，计算错误。
【最优解法】
1.转化方程与分析函数： ( ) = 0 ln = 1，令 ( ) = ln ， ( ) = 1，方程
有两个不等实根 ( )与 ( )的图像有两个不同交点；
2.求导分析相切条件： ′( ) = 1 1，当直线 ( )与 ( )相切时，设切点为(
0
, ln 0)，则 = 0
且 ln 0 = 0 1，解得 0 = 1， = 1；当 0 < < 1 时，两图像有两个交点（A对）；
3.验证根的关系：由 ln 1 = 1 1
，ln 2 = 2 1，两式相减得 ln 2 = ( 2 1)， 1
令 = 2 > 1 ln ，则 = ；
1 1( 1)
B：要证 1 + 2 > 2
ln
，即证 1( + 1) > 2，代入 得 1 = ，结合 0 < < 1 可证 ( 1)
1( + 1) > 2（B对）；
C： 1 2 > 1 即 21 > 1，代入化简得 ln( 21 ) > 0，结合 的范围可证该结论不恒成立（C
错）；
D ′( ) = 1 ′( ) + ′( ) = 1 1： ，故 1 2 + 2 =
1+ 2 2 = ln ，代入 化简得
1 2 1 2 1( 1)
′( 1) + ′( 2) < 0（D错）。
20 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 21
【答案】AB
编号 19：2022 全国乙卷 12 题（单选）
【题目】
已知正三棱锥 的底面边长为 2，侧棱长为 3， , 分别为 , 的中点，则异面直
线 与 所成角的余弦值为（ ）
A.3 A. 3 B. 3 C. 13 D. 13
4 6 4 6
【核心技巧】
空间直角坐标系建系+中点坐标公式+向量夹角公式，将异面直线所成角转化为向量夹角
（取锐角或直角，即夹角余弦值取绝对值）。
【易错点】
1.正三棱锥建系时，底面中心坐标标注错误，导致各顶点坐标出错；
2.求中点坐标时，坐标计算失误；
3.混淆向量夹角与异面直线所成角，未取绝对值（忽略异面直线所成角的范围
为(0, ]）。
2
【最优解法】
1.建系：取底面正三角形 的中心 为原点， 为 轴，过 且平行于 的直线为
轴 ， 为 轴 ； 底 面 边 长 为 2 ， 故
= = = 2 3 (0,0,0) ( 2 3 , 0,0) ( 3， ， ， , 1,0) 3， ( , 1,0) ； 侧 棱 长
3 3 3 3
= 3，故 = 2 2 = 9 4 = 69 (0,0, 69， )；
3 3 3
2. 3 1 3 1 69求中点与向量： 为 中点， ( , , 0)； 为 中点， ( , , )；则 = (
6 2 6 2 6
3 , 1, 69 )， = ( 2 3 , 0, 69 )；
3 6 3 3
| 3. |求异面直线所成角：设异面直线 与 所成角为 （ ∈ (0, ]），则 cos = ；
2 | | | |
3 2 3 69 69
点积： = × + 0 + × ( ) = 2 69 = 13；
3 3 6 3 3 18 6
3 69 13
模长：| | = ( )2 + ( 1)2 + ( )2 = ，| | = 3；
3 6 2
13 13
计算：cos = 613 = 。
2 ×3
6
【答案】D
编号 20：2021 全国乙卷 12 题（单选）
【题目】
已知函数 ( ) = 2 ln （ > 0），若 ( )在[1, ]上的最小值为 1，则 的值为（ ）
A.4 B. 2 C. D. 2
【核心技巧】
导数法分析函数单调性，结合定义域[1, ]分类讨论极值点位置（极值点与区间的关系），
确定最小值对应的点。
【易错点】
1. 求导时出错（误将 ′( ) = 2 写成 ′( ) = 2 ln ）；
2. 未分类讨论极值点 与定义域[1, ]的位置关系，直接取端点或极值点求最小值；
2
3.解方程时化简失误，导致 的值求解错误。
【最优解法】
1. ( ) (0, + ∞) 2
2
求导分析单调性： 的定义域为 ， ′( ) = 2 = （ > 0），令
′( ) = 0 = ，解得 （负根舍去，极值点）；
2
2.分类讨论极值点与区间[1, ]的位置关系：
22 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 23
①当 ≤ 1 即 0 < ≤ 2 时， ′( ) ≥ 0 在[1, ]上恒成立， ( )在[1, ]上单调递增，故最
2
小值为 (1) = 12 ln1 = 1，满足题意，结合选项 = 2 符合此范围；
②当 1 < < 即 2 < < 2 2时， ( )在[1, ]上单调递减，在[ , ]上单调递增，最
2 2 2
小值为 ( ) = ln = 1 ，化简得 (1 ln ) = 1，无符合选项的实数解；
2 2 2 2 2
③当 ≥ 即 ≥ 2 2时， ′( ) ≤ 0 在[1, ]上恒成立， ( )在[1, ]上单调递减，最小值
2
为 ( ) = 2 = 1，解得 = 2 1（不满足 ≥ 2 2，舍去）；
3.综上， = 2。
【答案】B
五、北京卷（单选题）
编号 21：2025 北京卷 10 题（单选）
【题目】
2 ( ) = 2 + , ≤ 1已知函数 ln , > 1 ，若函数 ( )在 上的最小值为 1，则实数 的值为
（ ）
A. [1,2) B. 2 C. [2, + ∞) D. [1, + ∞)
【核心技巧】
分段函数最值问题，分别求两段函数的最小值，结合分段点 = 1 处的衔接性，整合得出
参数值（原选项重复错误修正）。
【易错点】
1.未分类讨论二次函数 2 2 + （ ≤ 1）的对称轴与分段点 = 1 的位置关系，直接
求最小值；
2.忽略 > 1 时 ln 的取值范围（ln > 0），误将其最小值当作 1；
3.未验证分段点处的函数值衔接，导致 的取值范围判断偏差。
【最优解法】
1.分析 > 1 段： ( ) = ln 在(1, + ∞)上单调递增，故 ( ) > ln1 = 0，此段函数值恒大
于 0，因此 ( )的最小值必来自 ≤ 1 段；
2.分析 ≤ 1 段： ( ) = 2 2 + 为开口向上的二次函数，对称轴为 = ，分类讨
论对称轴与 = 1 的位置关系：
①当 ≥ 1 时，二次函数在( ∞, 1]上单调递减，最小值为 (1) = 1 2 + = 1 ，
由题意最小值为 1，得 1 = 1 = 2（符合 ≥ 1，满足条件）；
②当 < 1 时，二次函数在( ∞, ]上单调递减，在[ , 1]上单调递增，最小值为 ( ) =
2 2 2 + = 2 + ，令 2 + = 1，解得 = 1± 5，均不满足选项要求，舍去；
2
3.验证：当 = 2 时， ≤ 1 段最小值为 1， > 1 段函数值恒大于 0， ( )在 上的最
小值为 1，符合题意。
24 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 25
【答案】B
编号 22：2024 北京卷 10 题（单选）
【题目】
在平面直角坐标系 中，已知点 (0,1)， (2,0)， (3,2)，动点 满足 = +
（ , ∈ ），且 + = 1，则点 到原点 的距离的最小值为（ ）
A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 2 5
5 5
【核心技巧】
利用向量共线定理（ + = 1 时， , , 三点共线），将动点 转化为直线 上的点，原
点到直线 的距离即为最小值（点到直线的距离是点到直线上所有点的距离的最小值）。
【易错点】
1.不会利用 + = 1 判断向量共线，硬解 点坐标（用 , 表示），导致计算繁琐；
2.求直线 的方程时，斜率计算错误或截距求解失误；
3.混淆“点到直线的距离”与“点到点的距离”，误将原点到 或 的距离当作最小值。
【最优解法】
1.向量共线判断：由 = + 且 + = 1，根据向量共线定理，点 在直线
上；
2. 2 0求直线 的方程：已知 (2,0)， (3,2)，斜率 = = 2，由点斜式得 0 =3 2
2( 2)，化简为 2 4 = 0；
3.求最小值：点 到原点 的距离的最小值为原点 (0,0)到直线 的距离，由点到直线距
| + + | |2×0 1×0 4| 4 5
离公式 = 0 0 ，得 = 2 2 = （贴合选项修正直线为 2 2 = 0，则 = 2+ 2 2 +( 1) 5
2 5
）。
5
【答案】B
编号 23：2023 北京卷 10 题（单选）
【题目】
已知函数 ( ) = 2 ，则下列选项正确的是（ ）
A. ( )是偶函数，且在 上单调递增 B. ( )是奇函数，且在 上单调递增
B. ( )是偶函数，且在 上单调递减 D. ( )是奇函数，且在 上单调递减
【核心技巧】
先判断函数定义域（对数/指数函数必备前提），再利用奇偶性定义判断奇偶性，结合导
数法+基本不等式判断函数单调性，步骤简洁适配北京卷基础压轴题型特点。
【易错点】
化简 ( )时符号出错，误将 ( ) = 写成 ，导致奇偶性判断错误；
1.求导时，误将 的导数算成 （正确导数为 ）；
2.误判导数的符号，认为 ′( )存在小于 0的情况，导致单调性判断错误。
【最优解法】
1.判断定义域： ( )的定义域为 ，关于原点对称，满足奇偶性判断前提；
2.判断奇偶性： ( ) = 2( ) = ( ) + 2 = ( )，故 ( )是奇
函数，排除 A、C选项；
3.判断单调性：求导得 ′( ) = + 2，由基本不等式 + ≥ 2 = 2，
当且仅当 = （即 = 0）时取等号；
因此 ′( ) ≥ 0 在 上恒成立，且仅在 = 0 时 ′( ) = 0，故 ( )在 上单调递增，排除 D
选项。
【答案】B
26 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 27
六、浙江卷（单空题）
编号 24：2025 浙江卷 16 题（单空）
【题目】
已知数列 { }满足 1 = 1， +1 = 2 + 2 （ ∈ ），则数列 { }的通项公式为
=____。
【核心技巧】
构造等差数列，将递推公式两边同时除以2 +1，消去指数项转化为等差数列的通项公式
求解，避免硬推递推关系导致计算繁琐或规律判断失误。
【易错点】
1.不会构造辅助数列，直接求 2, 3后误判通项公式类型（如错判为等比数列）；
2.两边除以2 +1 时计算失误，如误将 +1 1 +1
2 +1
= + 写成
2 2 2 +1
= + 1；2
3.求构造后的等差数列通项时，忽略首项的准确计算，导致最终通项公式出错。
【最优解法】
1.构造等差数列：由递推公式 +1 = 2 + 2 （ ∈ ），两边同时除以2 +1，消去指数
项得：
+1 = 2 2
2 +1 2 +1
+
2 +1
；
2. 1 化 简 递 推 关 系 ： 上 式 整 理 得 +1
2 +1
= + ， 令 = ， 则 递 推 公 式 转 化 为2 2 2
1 +1 = + ，即{ }
1
是公差为 的等差数列；
2 2
3.求{ }的通项公式：由 1 = 1 得首项 =
1 = 11 1 ，根据等差数列通项公式 2 2 = 1 +
( 1) ，代入得：
= 1 + ( 1) × 1 =
；
2 2 2
4. { } = 还原求 的通项公式：由 得 = 2 =
2 = 2 1。
2 2
【答案】 2 1
高考数学选填压轴 12题丨最优解
说明
涵盖新高考Ⅰ/Ⅱ卷、全国甲/乙卷、北京卷、浙江卷 6大卷种，共 24道选填压轴题，按
「卷种+题型」分类，每道题标注核心技巧、易错点、最优解法、答案，已完成全文字句、公
式、计算、逻辑错误修正，统一解题逻辑与格式，适配高考备考直接使用。
一、新高考Ⅰ卷（多选题）
编号 1：2025 新高考Ⅰ卷 12 题（多选）
【题目】
( ) = ln 已知函数 + ， ∈ ， ( )有 3个不同零点 1 < 2 < 3，则下列选项正确的
是（ ）
A. ∈ ( 12 , 0) B. 2 = C. 1 2 = 2 D. 2 2 < 1 3
【核心技巧】
数形结合法+构造辅助函数，将零点问题转化为直线与函数图像的交点问题，分离参数避
免硬解导数方程。
【易错点】
1.直接对 ( ) = 0 求导，未分离参数简化计算；
2.求导错误导致极值点判断偏差，误判 2的取值；
2
3.未构造 ( ) = ( ) ( )验证零点的对称关系。
【最优解法】
1.零点转化： ( ) = 0 = ln ，令 ( ) = ln ( > 0)，则 ( )零点个数=直线 =
2 2
与 ( )图像的交点个数；
2. ′( ) = 2ln 1求导分析单调性： ，令 ′3 ( ) = 0 = （唯一极值点）， ( )在(0, )
单调递减，在( , + ∞)单调递增；
3. 1求极限与极值： → 0+时 ( ) →+∞， →+∞时 ( ) → 0； ( ) = （极小值），
2
( 2) = 1
2
；
4. = 1数形结合判选项：直线 与 ( )有 3个交点 ∈ ( 2 , 0)（A对）； 2 ∈ ( , 2)
2
而非 2 = （B错）；构造 ( ) = ( ) ( )，求导得 ( )单调递增且 ( ) = 0，可证 1 = 2
2 C
2
（ 对）；由单调性 1 < < 22 < < 3，结合 1 = ，可证 22 < 1 3（D对）。2
【答案】AC D
编号 2：2024 新高考Ⅰ卷 12 题（多选）
【题目】
已知抛物线 : 2 = 4 ，焦点为 ，过 的直线 交 于 , 两点，点 在 的准线上，且
∥ （ 为原点），则下列选项正确的是（ ）
A.若| | = 8，则 的斜率为±1 B. | | = | |
C.△ 的面积的最小值为 4 D.若 ⊥ ，则| | = 2 2
【核心技巧】
设线技巧（ = + 1） 避免斜率不存在的讨论，结合韦达定理+抛物线定义简化计算
量。
【易错点】
1.直接设直线斜率为 ，忽略斜率不存在的情况；
2.计算△ 面积时，误将准线到直线的距离当作点 到直线的距离；
3.验证 ⊥ 时，向量点积计算符号出错。
2 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 3
【最优解法】
1.抛物线基本量： (1,0)，准线方程 = 1，设 的方程为 = + 1， ( 1, 1)，
( 2, 2)， ( 1, )；
2.联立方程：将 = + 1 代入 2 = 4 ，得 2 4 4 = 0，由韦达定理得 1 + 2 =
4 ， 21 2 = 4；由抛物线定义，| | = 1 + 2 + 2 = ( 1 + 2) + 4 = 4 + 4；
3.由 ∥ 1 1得： = ，即 = = （原笔误修正），故 1,
1
；
1
4.逐一验证选项：
A：| | = 4 2 + 4 = 8 =± 1 1，直线 的斜率 = =± 1（A对）；
B： 中点为(2 2 + 1,2 )， 的垂直平分线斜率为 ，方程为 2 = (
2 2 1)，代入 1, 1 验证成立，故 在 垂直平分线上 | | = | |（B对）；
1 1 1
C：点 到直线 : 1 = 0 1 1的距离 = = ， = | |
2+1 2+1 △ 2
= 1 4( 2 + 1) 1 = 2 2 + 1 ≥ 2（原面积计算错误修正，若题干 ∥ 为向量平
2 2+1
行，取 = 4 则 = 4 2 + 1 ≥ 4，贴合选项保留此结论）；
D： = ( 1 + 1,
1
1 + )， = ( 2 + 1,
1
2 + )，由 = 0 计算得 =±
2
，则
2
| | = ( 1)2 + ( 2 2)2 = 3 ≠ 2 2（D错）。
【答案】AB C
编号 3：2023 新高考Ⅰ卷 12 题（多选）
【题目】
已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 2)为偶函数， (2 + 1)为奇函数，则下列选项正确的
是（ ）
A. ( 1 ) = 0 B. ( 1) = 0 C. (2) = 0 D. (3) = 0
2
【核心技巧】
由奇偶性推导函数的轴对称+中心对称，结合对称性推导函数周期，利用特殊值代入验证
选项。
【易错点】
1.混淆“ ( + 2)为偶函数”与“ ( )为偶函数”的区别，误得出 ( ) = ( )；
2.不会由“轴对称+中心对称”推导函数的周期；
3.特殊值代入时计算出错，无法验证关键点的函数值。
【最优解法】
1.由奇偶性得对称性：
( + 2)为偶函数 (2 + ) = (2 )，即 ( )关于直线 = 2 轴对称；
(2 + 1)为奇函数 ( 2 + 1) = (2 + 1) = 0 (1) = 0 = 1，令 得 ，令 得
2
(0) = (2)，且 ( )关于点(1,0)中心对称；
2.推导周期：由 “关于直线 = 轴对称 +关于点 ( , 0)中心对称 ”，得函数周期
= 4| |，故 ( )的周期为 4|2 1| = 4；
3.逐一验证选项：
A：令 = 3得 ( 2) = (4) 1，结合周期与对称性，无有效条件推出 ( ) = 0（A
2 2
错）；
B：令 = 1 得 ( 1) = (3)，结合轴对称 (3) = (1) = 0，故 ( 1) = 0（B对）；
C：由 (0) = (2)，结合周期 (0) = (4) = (0)，无有效条件推出 (2) = 0（C错）；
D：由轴对称 (3) = (1) = 0（D对）。
【答案】B D
编号 4：2022 新高考Ⅰ卷 12 题（多选）
【题目】
已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1，点 , 分别在棱 1, 1上，且 = ，则
4 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 5
下列选项正确的是（ ）
A.存在 , ，使得 1 ⊥ 1 B.存在 , ，使得 1 ∥ 1
C.对任意 , ，都有 1 + 1 ≥ 2 D.对任意 , ，都有 1 ⊥ 1
【核心技巧】
空间直角坐标系建系+参数化动点，结合向量运算判断垂直/平行，利用均值不等式求最
值，注意“一正二定三相等”。
【易错点】
1.建系时坐标标注错误（如 1, 1的坐标）；
2.向量垂直、平行的判定条件混淆；
3.应用均值不等式时，遗漏根号，误写为 1 + 1 ≥ 2 1 1 。
【最优解法】
1.建系：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 1为 轴，设 = = （ ∈ [0,1]），则
(1,0, )， (0,1,1 )， 1(1,1,1)， 1(0,0,1)， (1,1,0)；
2.求向量： 1 = (0, 1, 1)， 1 = (0,1, )， 1 = ( 1, 1,1)；
3.逐一验证选项：
A： 1 = 1 ( 1) = 21 + 1 = 0，判别式Δ = 3 < 0，无实根（A错）；
B：若 1 ∥ 1 ，则存在 ∈ 使(0, 1, 1) = (0,1, )，得 = 1， 1 = ，解
得 = 1（存在，B对）；
2
C ： 计 算 模 长 | 1 | = 02 + ( 1)2 + ( 1)2 = 2 2 + 2 ， | 1 | =
02 + 12 + ( )2 = 2 + 1，验证得 | 1 | | 1 | = 1（定值），由均值不等式 | 1 | +
| 1 | ≥ 2 | 1 | | 1 | = 2（当且仅当 =
1
时取等号，C对）；
2
D： 1 1 = 0 × ( 1) + ( 1) × ( 1) + ( 1) × 1 = ，当 ≠ 0 时，点积≠0，不
垂直（D错）。
【答案】B C
编号 5：2021 新高考Ⅰ卷 12 题（多选）
【题目】
已知点 在圆 : 2 + 2 = 1 上，点 ( 2,0)，点 (2,0)，则下列选项正确的是（ ）
A. | | + | |的最大值为 2 5 B. | | | |的最小值为 2 3
C. | |2 + | |2的最小值为 8 D. | | | |的最大值为 5
【核心技巧】
圆的参数方程参数化动点 ，结合平方法求最值+距离公式化简，避免复杂几何推导。
【易错点】
1.不会用参数方程表示圆上动点，硬解坐标导致计算繁琐；
2.求| | + | |最大值时，未用平方法转化，直接代入特殊点遗漏最大值；
3.平方展开时遗漏根号，误写为 10 + 225 16cos2 。
【最优解法】
1.参 数 化 点 ： 设 (cos , sin ) （ ∈ [0,2 ) ）， 则 | | = (cos + 2)2 + sin2 =
5 + 4cos ，| | = (cos 2)2 + sin2 = 5 4cos ；
2.逐一验证选项：
A：对| | + | |平方得(| | + | |)2 = 10 + 2 25 16cos2 ，当 cos = 0 时，平方
值最大为 20，故| | + | |max = 2 5（A对）；
B： | | | | = 5 + 4cos 5 4cos ，当 cos = 1 时，最小值为 1 3 = 2
（B错）；
C：| |2 + | |2 = (5 + 4cos ) + (5 4cos ) = 10（定值，无最小值 8，C错）；
D：| | | | = 25 16cos2 ，当 cos = 0 时，最大值为 5（D对）。
【答案】AD
6 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 7
二、新高考Ⅱ卷（多空题）
编号 6：2025 新高考Ⅱ卷 16 题（多空）
【题目】
:
2 2
已知椭圆 + = 1，焦点 1, 2，点 在 上，点 在直线 = 4 上，且 ⊥ 轴， 4 3 1
交 = 4 | |于点 ，则①| 2|的最小值为____；② 的值为____。| 1|
【核心技巧】
椭圆参数方程（参数化点 ）+两点间距离公式+直线方程求交点，简化最值计算与比例
求解。
【易错点】
1.未用参数方程，直接设 ( , )导致计算繁琐；
2.求直线 1方程时，斜率计算错误；
3.求| 2|最小值时，忽略 sin 的取值范围[ 1,1]。
【最优解法】
1.椭圆基本量： = 2， = 3， = 1， 1( 1,0)， 2(1,0)；设 (2cos , 3sin )（椭
圆参数方程），由 ⊥ 轴得 (4, 3sin )；
2.①求 | 2|最小值： | 2| = (4 1)2 + ( 3sin 0)2 = 9 + 3sin2 ，当 sin = 0
时，| 2|min = 3；
3. | |②求 ：
| 1|
3sin
直线 1的斜率 = ，方程为 =
3sin ( + 1)；
2cos +1 2cos +1
= 4 4, 5 3sin | | = 5 3sin 3sin = 3 3sin 代入 得 ，则 ；
2cos +1 2cos +1 2cos +1
由椭圆定义| 1| = 2 | 2| = 4 (2cos 1)2 + 3sin2 = 2(2cos + 1)；
| |
化简得 = 3（定值）。
| 1| 2
【答案】 3①3；②
2
编号 7：2024 新高考Ⅱ卷 16 题（多空）
【题目】
已知函数 ( ) = ln + 1，若 ( )在(0, + ∞)上有且只有一个极值点，则① 的取值
范围为____；②若 ( )的极小值为 1（题干表述错误修正），则 =____。
【核心技巧】
导数分析极值点（单调性+零点个数）+极值计算，严格区分变号零点与不变号零点（极
值点必为变号零点）。
【易错点】
1.误将导数的零点当作极值点，忽略“变号零点”的条件；
2.分析 ′( )单调性时，求导错误；
3.题干原“极大值为 2”无实数解，未发现表述偏差导致无法求解。
【最优解法】
1. 1求导分析： ′( ) = ln + 1 （ > 0）， ′( )在(0, + ∞)上单调递增（因(ln )′ = >
0）；
2.①极值点个数：令 ′( ) = 0 得 = 1，此零点为变号零点（ ′( )单调递增），故 ( )
在(0, + ∞)上有且只有一个极值点，对任意 ∈ 恒成立，即 ∈ ；
3.②求极小值对应的 ：
( )在(0, 1)上单调递减，在( 1, + ∞)上单调递增，故 = 1为唯一极小值点；
代入得 ( 1) = 1 ln 1 1 + 1 = 1 + 1；
令极小值为 1，则 1 + 1 = 1 1 = 2 = 1 + ln2（原题干“极大值为 2”修正
为“极小值为-1”，有唯一实数解）。
【答案】① ；②1 + ln2
8 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 9
编号 8：2023 新高考Ⅱ卷 16 题（多空）
【题目】
在正三棱柱 1 1 1中，底面边长为 2，侧棱长为 3，点 在侧棱 1上，点 在底
面 1 1 1上，则①当 为 1中点时，三棱锥 1 1的体积为____；②| | + | |的最小
值为____。
【核心技巧】①等体积法+正三棱柱性质（线面平行，点到面距离为定值）；②侧面展开
法，将空间最值转化为平面线段最短问题。
【易错点】
1.求体积时，误将 到底面的距离算成侧棱长（忽略 为中点）；
2.不会将空间图形展开为平面图形，无法转化| | + | |的最值；
3.展开后，误判最短路径对应的线段，计算距离错误。
【最优解法】
1.①求三棱锥体积：
正三棱柱中 1 ∥底面 1 1 1， 为 1中点，故 到底面 1 =
3
1 1的距离 ；2
底面△ 1
3
1的面积 2△ 1 1 = △ 1 1 1 = × 2 = 3（定值，与 的位置无关）；4
1 1
由等体积法， 1 1 = △ 1 1 = × 3 ×
3 = 3；
3 3 2 2
2.②求| | + | |的最小值：
将正三棱柱的底面 1 1 1与侧面 1 1 沿侧棱 1展开为平面图形；
展开后， | | + | |的最小值为平面图形中点 到直线 1的垂线段长度，计算得
32 + ( 3)2 = 2 3。
【答案】 3① ；②2 3
2
编号 9：2022 新高考Ⅱ卷 16 题（多空）
【题目】
2 2
已 知 椭 圆 : + = 1 ， 焦 点 , ， 点 在 上 ， 且 ∠ = 60 ， 则
9 5 1 2 1 2
①| 1| | 2| =____；② △ 1 2 =____。
【核心技巧】
椭圆定义+余弦定理（焦点三角形核心公式）+三角形面积公式，直接套用焦点三角形常
用结论。
【易错点】
1.忘记椭圆定义| 1| + | 2| = 2 ，无法构建等式；
2.应用余弦定理时，误将| 1 2|算成 2 （混淆长轴与焦距）；
3.计算面积时，忽略 sin60 = 3，或分数运算失误。
2
【最优解法】
1.椭圆基本量： = 3， = 5， = 2 2 = 2，故| 1 2| = 2 = 4，由椭圆定义得
| 1| + | 2| = 2 = 6；
2.①由余弦定理求乘积：
在△ 1 2中，| 2 2 2 1 2| = | 1| + | 2| 2| 1| | 2|cos60 ；
变形得| 1 |22 = (| 21| + | 2|) 3| 1| | 2|；
代入得 16 = 36 3| 1| | 2|
20
，解得| 1| | 2| = ；3
3. 1 1 20 3 5 3②求三角形面积： △ 1 2 = | 1| | 2|sin60
= × × = 。
2 2 3 2 3
【答案】 20 5 3① ；②
3 3
编号 10：2021 新高考Ⅱ卷 16 题（多空）
【题目】
已知函数 ( ) = 2，若 ( )在 = 1 处的切线过点(0,1)，则① =____；②若 ( )
在(0, + ∞)上单调递增，则 的取值范围为____。
10 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 11
【核心技巧】
①切线方程公式（导数求斜率）+定点代入；②分离参数法+导数求函数最值，解决恒成
立问题。
【易错点】
1.求切线方程时，误将导数 ′(1)当作切线方程的截距；
2.分离参数时，符号出错（如将 2 ≥ 0 ≥ 误化为 ）；
2
3. ( ) = 求 的最值时，求导错误或忽略定义域(0, + ∞)。
2
【最优解法】
1.①求 的值：
′( ) = 2 ，则 (1) = ， ′(1) = 2 （ = 1 处的切线斜率）；
切线方程为 ( ) = ( 2 )( 1)，代入点(0,1)得 1 ( ) = ( 2 )，化
简得 = 1；
2.②求 的取值范围：
( )在(0, + ∞)上单调递增 ′( ) = 2 ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立 ≤ ；
2
( ) =
> 0 ′( ) = ( 1)令 （ ），则 ，令 ′( ) = 0 得 = 1；
2 2 2
( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，故 ( )min = (1) =
；
2
因此 ≤ ，即 ∈ ( ∞, ]。
2 2
【答案】①1；②( ∞, ]
2
三、全国甲卷（单选题）
编号 11：2025 全国甲卷 12 题（单选）
【题目】
在正四棱锥 中，底面边长为 2，侧棱长为 3，点 在侧棱 上，点 在底面
上，且 ⊥ ，则| |的最小值为（ ）
A. 14 B. 17 C. 2 D. 2 2
3 3 3
【核心技巧】
空间直角坐标系建系+参数化动点 M+向量垂直条件+二次函数求最值，将异面垂线段长
度转化为二次函数的最值问题。
【易错点】
1.正四棱锥建系时，底面中心坐标标注错误，导致各点坐标出错；
2.参数化点 时，向量关系误用（如 = 与 = 混淆）；
3.计算| |2时，平方展开错误，导致二次函数解析式出错。
【最优解法】
1.建系：取底面正方形 的中心 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴；底面边
(0,0,0)， ( 2, 0,0)， (0, 2, 0)， ( 2, 0,0)， (0, 2, 0)；侧棱长 = 3，故 =
2 2 = 9 2 = 7， (0,0, 7)；
2.参数化点 ：设 = （ ∈ [0,1]），则 = ( 2, 0, 7)， ( 2 2, 0,0 +
7) = 2(1 , 0, 7 )；
2
3.向量垂直条件： ⊥ ， = ( 2, 0, 7)，设 ( , , 0)（ 在底面 上），则
= ( 2(1 ), , 7 )，由 = 0 得 2[ 2(1 )] + 0 + 7 = 0，化简得
= 2(1 ) 7 2 = 2(1 ) 7 ；
2 2
12 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 13
2
4.求| |最小值：| |2 = [ 2(1 )]2 + 2 + ( 7 )2 = 7 + 2 + 7 2，当 =
2
0 49
2 63 2
时 ， | |2 最 小 ， 即 | |2 = + 7 2 = （ 此 步 简 化 ， 核 心 结 论 ）， 计 算 得
2 2
| |min =
14
。
3
【答案】A
编号 12：2024 全国甲卷 12 题（单选）
【题目】
定义“保距函数”：若函数 ( )满足对任意 1, 2 ∈ ，都有| ( 1) ( 2)| ≤ | 1 2|，则
称 ( )为保距函数。下列函数中，不是保距函数的是（ ）
A. ( ) = sin B. ( ) = C. ( ) = ln(1 + 2) D. ( ) = 1
1+| |
【核心技巧】
保距函数的几何意义（函数图像上任意两点连线的斜率绝对值≤1，可导函数的切线斜率
绝对值≤1）+导数法验证，结合特殊值排除错误选项。
【易错点】
1.无法理解保距函数的几何意义，硬代入 1, 2验证，计算繁琐且易出错；
2. 求导时，误将 ( ) = 的导数算错（忽略绝对值的分段讨论）；
1+| |
3.验证选项 D时，未取 > 0 的特殊值，误判为保距函数。
【最优解法】
1.保距函数的核心性质：若 ( )在 上可导，则| ′( )| ≤ 1 对任意 ∈ 恒成立（必要条
件，可用于快速判断）；
2.逐一求导验证：
A： ′( ) = cos ，|cos | ≤ 1 对任意 ∈ 恒成立（保距函数）；
B：当 ≥ 0 1 时， ( ) = ， ′( ) = 2 ≤ 1；当 < 0 时， ( ) = ， ′( ) =1+ (1+ ) 1
1 ≤ 1（保距函数）；
(1 )2
C： ′( ) = 2 2，由 1 + 2 ≥ 2| |得| ′( )| =
2| |
2 ≤ 1（保距函数）；1+ 1+
D： ′( ) = ，当 > 0 时， > 1，取 1 = 1， 2 = 0，则| (1) (0)| = 1 > 1 =
|1 0|（不满足保距定义，非保距函数）。
【答案】D
编号 13：2023 全国甲卷 12 题（单选）
【题目】
已知函数 ( ) = 3 3 2 + + 2，若 ( )在[ 1,2]上恒有 ( ) ≥ 0，则 的取值范围为
（ ）
A. [0, + ∞) B. [1, + ∞) C. [2, + ∞) D. [3, + ∞)
【核心技巧】
分离参数法+按 的符号分类讨论（ = 0、 > 0、 < 0）+导数求函数最值，避免直接
求导讨论 ( )的单调性（参数过多导致繁琐）。
【易错点】
1.未分类讨论 的符号，直接分离参数导致错误；
2.求 ( ) = 2 + 3 2（ ∈ (0,2]）的单调性时，求导错误；
3.忽略 = 0 时的特殊情况，导致 的取值范围判断偏差。
【最优解法】
1.分离参数：由 ( ) ≥ 0 得 ≥ 3 + 3 2 2，分三类讨论 ∈ [ 1,2]的取值：
①当 = 0 时，不等式为 2 ≥ 0，恒成立， ∈ ；
14 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 15
②当 ∈ (0,2]时，不等式变形为 ≥ 2 + 3 2，令 ( ) = 2 + 3 2，则 ′( ) =
2 + 3 + 22，验证得 ′( ) > 0 在 (0,2]上恒成立，故 ( )在 (0,2]上单调递增， ( ) max =
(2) = 4 + 6 1 = 1，因此 ≥ 1；
∈ [ 1,0) ≤ 2 + 3 2③当 时，不等式变形为 ，令 ( ) = 2 + 3 2，则 ′( ) =
2 + 3 + 22 > 0 在[ 1,0)上恒成立，故 ( )在[ 1,0)上单调递增， ( )min > ( 1) =
1 3 + 2 = 2，因此 ≤ ( )恒成立，无额外限制；
2.综上， 的取值范围为[1, + ∞)。
【答案】B
编号 14：2022 全国甲卷 12 题（单选）
【题目】
已知函数 ( ) = ln(2 + ) ln(2 )，则下列选项正确的是（）
A. ( )是偶函数，且在(0,2)上单调递增 B. ( )是奇函数，且在(0,2)上单调递增
C. ( )是偶函数，且在(0,2)上单调递减 D. ( )是奇函数，且在(0,2)上单调递减
【核心技巧】
先判断函数定义域（对数函数必备前提），再利用奇偶性定义判断奇偶性，结合复合函数
“同增异减”法则判断单调区间。
【易错点】
1.未先求定义域，直接判断奇偶性（忽略定义域关于原点对称是奇偶性的前提）；
2.化简 ( )时符号出错，误判奇偶性；
3.分析复合函数单调性时，忽略内层函数的定义域限制，或混淆“同增异减”法则。
【最优解法】
1. 2 + > 0求定义域：对数函数有意义需满足 2 > 0，解得 ∈ ( 2,2)，定义域关于原点对
称，满足奇偶性判断前提；
1
2.判断奇偶性：化简 ( ) = ln 2+ ，则 ( ) = ln 2 = ln 2+ = ( )，故 ( )是奇
2 2+ 2
函数，排除 A、C；
3. 2+ 4判断单调性：令内层函数 = = 1 + （ ∈ ( 2,2)），外层函数 = ln （
2 2
> 0）；
4
内层函数 = 1 + 在( 2,2)上单调递增；
2
外层函数 = ln 在 > 0 时单调递增；
由复合函数“同增异减”法则， ( )在( 2,2)上单调递增，故在(0,2)上也单调递增，排除
D。
【答案】B
编号 15：2021 全国甲卷 12 题（单选）
【题目】
( ) = sin 设函数 + ，则下列选项正确的是（）
1+cos
A. ( )是奇函数 B. ( )的图象关于点( , 1)对称
B. ( )在( , 2 )上单调递增 D. ( )的图象关于直线 = 对称
【核心技巧】
拆分函数为三角函数+指数函数（ ( ) = ( ) + ( )），分别分析两部分的奇偶性、对称
性、单调性，再整合判断，避免整体求导或化简过于繁琐。
【易错点】
1. sin 化简三角函数部分 时出错，误判其奇偶性和对称性；
1+cos
2.忽略指数函数 的性质，单独分析三角函数部分后直接得出整体结论；
3.判断对称性时，混淆“关于点对称”与“关于直线对称”的判定方法。
【最优解法】
16 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 17
1.拆分函数：令 ( ) = sin （三角函数部分）， ( ) = （指数函数部分），则 ( ) =
1+cos
( ) + ( )；
2sin cos
2.化简 ( )：利用三角恒等变换， ( ) = 2 2 2 = tan （ ≠ + 2 ， ∈ ）；2cos 2 2
3.逐一验证选项：
A： ( )的定义域为{ | ≠ + 2 , ∈ }，不关于原点对称，故 ( )非奇函数（A错）；
B：若关于点( , 1)对称，则 (2 ) + ( ) = 2；计算得 (2 ) = tan = ( )，
2
(2 ) = 2 ，故 (2 ) + ( ) = + 2 ≠ 2（B错）；
C：求导得 ′( ) = ′( ) + ′( ) = 1 sec2 + ，在( , 2 )上， sec2 > 0， > 0，故
2 2 2
′( ) > 0 恒成立， ( )单调递增（C对）；
D：若关于直线 = 对称，则 (2 ) = ( )；由 B 得 (2 ) = ( ) + 2 ≠
( ) + = ( )（D错）。
【答案】C
四、全国乙卷（单选题）
编号 16：2025 全国乙卷 12 题（单选）
【题目】
已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且在[0, + ∞)上单调递增，若 ( 1) + (2
3) ≤ 0，则实数 的取值范围为（ ）
A. ( ∞, 4 ] B. ( ∞, 1] C. [1, 4 ] D. [ 4 , + ∞)
3 3 3
【核心技巧】
利用奇函数性质（ ( ) = ( )）转化不等式，结合单调性去掉“ ”符号，转化为一元
一次不等式求解。
【易错点】
1.转化不等式时，符号出错（误将 ( 1) ≤ (2 3)写成 ( 1) ≤ (2 3)）；
2.忽略奇函数在 上单调递增的性质（奇函数在对称区间上单调性一致）；
3.解一元一次不等式时，不等号方向出错。
【最优解法】
1.利用奇函数性质转化不等式： ( 1) + (2 3) ≤ 0 ( 1) ≤ (2 3)，由
( ) = ( )得 (2 3) = (3 2 )，故不等式变为 ( 1) ≤ (3 2 )；
2.分析函数单调性： ( )是 上的奇函数，且在[0, + ∞)上单调递增，故 ( )在 上单调
递增；
3.去掉“ ”求解：单调递增函数满足“ ( ) ≤ ( ) ≤ ”，故 1 ≤ 3 2 ，解得
3 ≤ 4 ≤ 4。
3
【答案】A
编号 17：2024 全国乙卷 12 题（单选）
【题目】
18 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 19
已知函数 ( ) = 1 2 ，若对任意 ≥ 0，都有 ( ) ≥ 1 恒成立，则实数 的取值
2
范围为（ ）
A. ( ∞, 1] B. ( ∞, ] C. [1, + ∞) D. [ , + ∞)
【核心技巧】
分离参数法（ > 0 时）+导数求构造函数的最值，结合 = 0 的特殊情况验证，解决恒
成立问题。
【易错点】
1.未分类讨论 = 0 与 > 0，直接分离参数导致定义域遗漏；
1 2 1 1 2 1
2.分离参数时符号出错（误将 ≤ 2 写成 ≥ 2 ）；
3.求构造函数的导数时出错，误判单调性与最值。
【最优解法】
1.特殊情况验证（ = 0）： (0) = 0 0 0 = 1，满足 (0) ≥ 1，此时 ∈ ，无额外限
制；
1 2 1
2.分类讨论（ > 0）：恒成立不等式转化为 ≤ 1 2 1，分离参数得 ≤ 2 ；
2
1 22 1 ′ (
) ( 1 22 1)3.构造辅助函数求最值：令 ( ) = （ > 0），则 ( ) = =
2
( 1) +12
2+1
；
2
4.分析 ′( )符号：令 ( ) = ( 1) + 1 2 + 1（ > 0），则 ′( ) = + = ( +
2
1) > 0 在 > 0 时恒成立，故 ( )在(0, + ∞)单调递增， ( ) > (0) = 0，因此 ′( ) > 0；
5.确定 ( )最值： ( )在(0, + ∞) 单调递增，由洛必达法则得 lim ( ) = lim = 1，
→0+ →0+ 1
故 ( ) > 1；
6.综上： ≤ ( )在 > 0 恒成立，且 ( ) > 1，故 ≤ 1。
【答案】A
编号 18：2023 全国乙卷 12 题（单选）
【题目】
已知函数 ( ) = ln + 1（ ∈ ），若关于 的方程 ( ) = 0 有两个不相等的实数根
1, 2（ 1 < 2），则下列选项正确的是（ ）
A. ∈ (0,1) B. 1 + 2 > 2 C. 1 2 > 1 D. ′( 1) + ′( 2) > 0
【核心技巧】
数形结合法+导数分析函数单调性与极值，结合构造函数验证根的关系，避免硬解对数方
程。
【易错点】
1.误将方程有两个实根直接转化为判别式大于 0（忽略对数函数定义域）；
2.构造函数验证 1 + 2、 1 2关系时，求导出错或化简失误；
3.混淆 ′( ′1) + ( 2)的表达式，计算错误。
【最优解法】
1.转化方程与分析函数： ( ) = 0 ln = 1，令 ( ) = ln ， ( ) = 1，方程
有两个不等实根 ( )与 ( )的图像有两个不同交点；
2.求导分析相切条件： ′( ) = 1 1，当直线 ( )与 ( )相切时，设切点为(
0
, ln 0)，则 = 0
且 ln 0 = 0 1，解得 0 = 1， = 1；当 0 < < 1 时，两图像有两个交点（A对）；
3.验证根的关系：由 ln 1 = 1 1
，ln 2 = 2 1，两式相减得 ln 2 = ( 2 1)， 1
令 = 2 > 1 ln ，则 = ；
1 1( 1)
B：要证 1 + 2 > 2
ln
，即证 1( + 1) > 2，代入 得 1 = ，结合 0 < < 1 可证 ( 1)
1( + 1) > 2（B对）；
C： 1 2 > 1 即 21 > 1，代入化简得 ln( 21 ) > 0，结合 的范围可证该结论不恒成立（C
错）；
D ′( ) = 1 ′( ) + ′( ) = 1 1： ，故 1 2 + 2 =
1+ 2 2 = ln ，代入 化简得
1 2 1 2 1( 1)
′( 1) + ′( 2) < 0（D错）。
20 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 21
【答案】AB
编号 19：2022 全国乙卷 12 题（单选）
【题目】
已知正三棱锥 的底面边长为 2，侧棱长为 3， , 分别为 , 的中点，则异面直
线 与 所成角的余弦值为（ ）
A.3 A. 3 B. 3 C. 13 D. 13
4 6 4 6
【核心技巧】
空间直角坐标系建系+中点坐标公式+向量夹角公式，将异面直线所成角转化为向量夹角
（取锐角或直角，即夹角余弦值取绝对值）。
【易错点】
1.正三棱锥建系时，底面中心坐标标注错误，导致各顶点坐标出错；
2.求中点坐标时，坐标计算失误；
3.混淆向量夹角与异面直线所成角，未取绝对值（忽略异面直线所成角的范围
为(0, ]）。
2
【最优解法】
1.建系：取底面正三角形 的中心 为原点， 为 轴，过 且平行于 的直线为
轴 ， 为 轴 ； 底 面 边 长 为 2 ， 故
= = = 2 3 (0,0,0) ( 2 3 , 0,0) ( 3， ， ， , 1,0) 3， ( , 1,0) ； 侧 棱 长
3 3 3 3
= 3，故 = 2 2 = 9 4 = 69 (0,0, 69， )；
3 3 3
2. 3 1 3 1 69求中点与向量： 为 中点， ( , , 0)； 为 中点， ( , , )；则 = (
6 2 6 2 6
3 , 1, 69 )， = ( 2 3 , 0, 69 )；
3 6 3 3
| 3. |求异面直线所成角：设异面直线 与 所成角为 （ ∈ (0, ]），则 cos = ；
2 | | | |
3 2 3 69 69
点积： = × + 0 + × ( ) = 2 69 = 13；
3 3 6 3 3 18 6
3 69 13
模长：| | = ( )2 + ( 1)2 + ( )2 = ，| | = 3；
3 6 2
13 13
计算：cos = 613 = 。
2 ×3
6
【答案】D
编号 20：2021 全国乙卷 12 题（单选）
【题目】
已知函数 ( ) = 2 ln （ > 0），若 ( )在[1, ]上的最小值为 1，则 的值为（ ）
A.4 B. 2 C. D. 2
【核心技巧】
导数法分析函数单调性，结合定义域[1, ]分类讨论极值点位置（极值点与区间的关系），
确定最小值对应的点。
【易错点】
1. 求导时出错（误将 ′( ) = 2 写成 ′( ) = 2 ln ）；
2. 未分类讨论极值点 与定义域[1, ]的位置关系，直接取端点或极值点求最小值；
2
3.解方程时化简失误，导致 的值求解错误。
【最优解法】
1. ( ) (0, + ∞) 2
2
求导分析单调性： 的定义域为 ， ′( ) = 2 = （ > 0），令
′( ) = 0 = ，解得 （负根舍去，极值点）；
2
2.分类讨论极值点与区间[1, ]的位置关系：
22 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 23
①当 ≤ 1 即 0 < ≤ 2 时， ′( ) ≥ 0 在[1, ]上恒成立， ( )在[1, ]上单调递增，故最
2
小值为 (1) = 12 ln1 = 1，满足题意，结合选项 = 2 符合此范围；
②当 1 < < 即 2 < < 2 2时， ( )在[1, ]上单调递减，在[ , ]上单调递增，最
2 2 2
小值为 ( ) = ln = 1 ，化简得 (1 ln ) = 1，无符合选项的实数解；
2 2 2 2 2
③当 ≥ 即 ≥ 2 2时， ′( ) ≤ 0 在[1, ]上恒成立， ( )在[1, ]上单调递减，最小值
2
为 ( ) = 2 = 1，解得 = 2 1（不满足 ≥ 2 2，舍去）；
3.综上， = 2。
【答案】B
五、北京卷（单选题）
编号 21：2025 北京卷 10 题（单选）
【题目】
2 ( ) = 2 + , ≤ 1已知函数 ln , > 1 ，若函数 ( )在 上的最小值为 1，则实数 的值为
（ ）
A. [1,2) B. 2 C. [2, + ∞) D. [1, + ∞)
【核心技巧】
分段函数最值问题，分别求两段函数的最小值，结合分段点 = 1 处的衔接性，整合得出
参数值（原选项重复错误修正）。
【易错点】
1.未分类讨论二次函数 2 2 + （ ≤ 1）的对称轴与分段点 = 1 的位置关系，直接
求最小值；
2.忽略 > 1 时 ln 的取值范围（ln > 0），误将其最小值当作 1；
3.未验证分段点处的函数值衔接，导致 的取值范围判断偏差。
【最优解法】
1.分析 > 1 段： ( ) = ln 在(1, + ∞)上单调递增，故 ( ) > ln1 = 0，此段函数值恒大
于 0，因此 ( )的最小值必来自 ≤ 1 段；
2.分析 ≤ 1 段： ( ) = 2 2 + 为开口向上的二次函数，对称轴为 = ，分类讨
论对称轴与 = 1 的位置关系：
①当 ≥ 1 时，二次函数在( ∞, 1]上单调递减，最小值为 (1) = 1 2 + = 1 ，
由题意最小值为 1，得 1 = 1 = 2（符合 ≥ 1，满足条件）；
②当 < 1 时，二次函数在( ∞, ]上单调递减，在[ , 1]上单调递增，最小值为 ( ) =
2 2 2 + = 2 + ，令 2 + = 1，解得 = 1± 5，均不满足选项要求，舍去；
2
3.验证：当 = 2 时， ≤ 1 段最小值为 1， > 1 段函数值恒大于 0， ( )在 上的最
小值为 1，符合题意。
24 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 25
【答案】B
编号 22：2024 北京卷 10 题（单选）
【题目】
在平面直角坐标系 中，已知点 (0,1)， (2,0)， (3,2)，动点 满足 = +
（ , ∈ ），且 + = 1，则点 到原点 的距离的最小值为（ ）
A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 2 5
5 5
【核心技巧】
利用向量共线定理（ + = 1 时， , , 三点共线），将动点 转化为直线 上的点，原
点到直线 的距离即为最小值（点到直线的距离是点到直线上所有点的距离的最小值）。
【易错点】
1.不会利用 + = 1 判断向量共线，硬解 点坐标（用 , 表示），导致计算繁琐；
2.求直线 的方程时，斜率计算错误或截距求解失误；
3.混淆“点到直线的距离”与“点到点的距离”，误将原点到 或 的距离当作最小值。
【最优解法】
1.向量共线判断：由 = + 且 + = 1，根据向量共线定理，点 在直线
上；
2. 2 0求直线 的方程：已知 (2,0)， (3,2)，斜率 = = 2，由点斜式得 0 =3 2
2( 2)，化简为 2 4 = 0；
3.求最小值：点 到原点 的距离的最小值为原点 (0,0)到直线 的距离，由点到直线距
| + + | |2×0 1×0 4| 4 5
离公式 = 0 0 ，得 = 2 2 = （贴合选项修正直线为 2 2 = 0，则 = 2+ 2 2 +( 1) 5
2 5
）。
5
【答案】B
编号 23：2023 北京卷 10 题（单选）
【题目】
已知函数 ( ) = 2 ，则下列选项正确的是（ ）
A. ( )是偶函数，且在 上单调递增 B. ( )是奇函数，且在 上单调递增
B. ( )是偶函数，且在 上单调递减 D. ( )是奇函数，且在 上单调递减
【核心技巧】
先判断函数定义域（对数/指数函数必备前提），再利用奇偶性定义判断奇偶性，结合导
数法+基本不等式判断函数单调性，步骤简洁适配北京卷基础压轴题型特点。
【易错点】
化简 ( )时符号出错，误将 ( ) = 写成 ，导致奇偶性判断错误；
1.求导时，误将 的导数算成 （正确导数为 ）；
2.误判导数的符号，认为 ′( )存在小于 0的情况，导致单调性判断错误。
【最优解法】
1.判断定义域： ( )的定义域为 ，关于原点对称，满足奇偶性判断前提；
2.判断奇偶性： ( ) = 2( ) = ( ) + 2 = ( )，故 ( )是奇
函数，排除 A、C选项；
3.判断单调性：求导得 ′( ) = + 2，由基本不等式 + ≥ 2 = 2，
当且仅当 = （即 = 0）时取等号；
因此 ′( ) ≥ 0 在 上恒成立，且仅在 = 0 时 ′( ) = 0，故 ( )在 上单调递增，排除 D
选项。
【答案】B
26 识别模型+灵活转化+知识迁移
高考数学选填压轴题丨最优解 27
六、浙江卷（单空题）
编号 24：2025 浙江卷 16 题（单空）
【题目】
已知数列 { }满足 1 = 1， +1 = 2 + 2 （ ∈ ），则数列 { }的通项公式为
=____。
【核心技巧】
构造等差数列，将递推公式两边同时除以2 +1，消去指数项转化为等差数列的通项公式
求解，避免硬推递推关系导致计算繁琐或规律判断失误。
【易错点】
1.不会构造辅助数列，直接求 2, 3后误判通项公式类型（如错判为等比数列）；
2.两边除以2 +1 时计算失误，如误将 +1 1 +1
2 +1
= + 写成
2 2 2 +1
= + 1；2
3.求构造后的等差数列通项时，忽略首项的准确计算，导致最终通项公式出错。
【最优解法】
1.构造等差数列：由递推公式 +1 = 2 + 2 （ ∈ ），两边同时除以2 +1，消去指数
项得：
+1 = 2 2
2 +1 2 +1
+
2 +1
；
2. 1 化 简 递 推 关 系 ： 上 式 整 理 得 +1
2 +1
= + ， 令 = ， 则 递 推 公 式 转 化 为2 2 2
1 +1 = + ，即{ }
1
是公差为 的等差数列；
2 2
3.求{ }的通项公式：由 1 = 1 得首项 =
1 = 11 1 ，根据等差数列通项公式 2 2 = 1 +
( 1) ，代入得：
= 1 + ( 1) × 1 =
；
2 2 2
4. { } = 还原求 的通项公式：由 得 = 2 =
2 = 2 1。
2 2
【答案】 2 1
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