【备考2026】高考数学最后一题最优解 讲义（PDF版）

高考数学最后一题丨最优解 1
高考数学最后一题丨最优解
说 明
本文档按“卷种+题型”分类，涵盖 2021-2025年全国范围内高考数学创新性强+高综合性+
高思维量的压轴题，涵盖新高考Ⅰ/Ⅱ卷、全国甲/乙卷、自主命题卷，每道题标注核心技巧、易
错点，排版简洁适配打印，方便备考刷题、总结规律。
第一类：新高考Ⅰ卷（共 5道）
一、导数综合题（4道）
编号 1：2021 新高考Ⅰ卷压轴题（导数-双变量不等式）
【题目】已知 ( ) = (1 ln )，
（1）求 ( )的单调性；
（2）设 , > 0， ( ) = ( )，证明：2 < 1 + 1 < 。

【核心技巧】
1.导数判断单调性（求导化简直接判断）；
2.双变量问题换元转化（令 = 或换元 ( ) = (1 + ln )）；
3.放缩法证明不等式上界。
【易错点】
1.换元后忽略变量取值范围（如 > 1）；
2.放缩法使用不当，无法精准推导上界 ；
3.双变量转化时，等式变形出错。
【最优解法】
（1）求导 ′( ) = ln ，当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；当 > 1 时，
′( ) < 0， ( )单调递减。
( ) = ( ) 1 1 + ln 1 = 1 1 + ln 1 1 1（2）由 得 ，设 ( ) = (1 + ln )，转化为 = ，

利用 ( ) 1 1单调性结合放缩，证明 2 < + < 。

编号 2：2022 新高考Ⅰ卷压轴题（导数-零点个数求参数）
【题目】已知 ( ) = ， ( ) = ln + ，
（1）求 ( )的极值；
（2）若 ( ) = ( )有两个解，求 的取值范围。
【核心技巧】
1.导数求极值（分类讨论参数 的取值）；

2. 2 = ln 方程变形分离参数（转化为 ）；

3.构造函数分析单调性、极值，结合极限判断零点个数。
【易错点】
1.忽略 ≤ 0 时 ( )无极值的情况；
2.分离参数后，构造的函数求导出错；
3.忽略 → 0+和 →+∞时的函数极限，导致参数范围判断不完整。
【最优解法】
（1） ′( ) = ， ≤ 0时无极值； > 0时，极小值为 (ln ) = ln ，无极大值。
2 ln
ln
（ ）由 ( ) = ( )得 ln = 2 ，分离参数得 2 = ，设 ( ) = ，求导得 ( )


在(0,1)减、(1, +∞)增，极小值 (1) = ，结合极限得 ∈ , +∞ 。
2
编号 3：2024 新高考Ⅰ卷压轴题（导数+三角-极值点个数求参数）
【题目】已知 ( ) = sin 1 3，
6
（1）证明：当 ≤ 1时， ( )在 上单调递增；
2 创新性强+高综合性+高思维量
高考数学最后一题丨最优解 3
（2）若 ( )在(0, )有两个极值点，求 的取值范围。
【核心技巧】
1.导数结合三角恒等变换判断单调性；
2.二阶导数分析一阶导数的单调性（多次求导）；
3.零点存在性定理判断极值点个数。
【易错点】
1.求导出错（三角函数导数记忆错误，如(sin )′ = cos 混淆）；
2.忽略二阶导数的符号判断，无法确定一阶导数的单调性；
3.端点处函数值计算失误，导致参数范围偏差。
【最优解法】
（1） ′( ) = cos 1 2 ≤ 1 ′( ) ≥ cos + 1 1，当 时， 2，设 ( ) = cos + 1
2 2
1 2，易证 ( ) ≥ 0恒成立，故 ( )单调递增。
2
（2） ″( ) = sin < 0， ′( )在(0, )单调递减，结合 ′(0) = 1 、 ′( ) = 1
2 ∈ 1
2
，得 , 1 。
2 2
编号 4：2025 新高考Ⅰ卷压轴题（导数-恒成立+不等式放缩）
【题目】已知 ( ) = ln + ( ∈ )，
（1）求 ( )的单调性；
（2）若 ( ) ≤ 2 2 1 1 1恒成立，求 的取值范围；（3）证明： ln > + + + （ ≥
2 3
2, ∈ ）。
【核心技巧】
1.导数分类讨论单调性（按 的取值分类）；
2.参变分离构造新函数，求函数最值；
3. 放缩法证明数列不等式（令 = 累加）。
1
【易错点】
1.参变分离时，忽略 = 1 的特殊情况；
2.构造函数后，求导化简出错；
3.放缩法中，变量替换不当，无法完成累加证明。
【最优解法】
（1） ′( ) = 1 ， ≤ 0时 ( ) 1 1在(0, +∞)增； > 0时， ( )在 0, 增、 , +∞ 减。

2 ≥ ln
2+2 ( ) = ln
2+2
（ ）分离参数得 ，设 ，求导分析极限得 ≥ 1。（3）由（2）得
1 1
ln > 2 3 + 1 ，令 = ，累加得结论。
1
二、跨模块综合题（1道）
编号 5：2023 新高考Ⅰ卷压轴题（概率+数列）
【题目】 1 1甲乙两人投篮比赛，甲命中概率 ，乙命中概率 ，先命中 3次者获胜，
2 3
（1）求甲以 3:1获胜的概率；
（2）求比赛结束时投篮次数 的分布列和期望；
1
（3）证明：甲获胜的概率大于 。
2
【核心技巧】
1.分步计数求概率（确定甲获胜的投篮顺序）；
2.离散型随机变量分布列（确定 取值，计算对应概率）；
3.数列求和（累加不同比赛次数的甲获胜概率）。
【易错点】
1.忽略甲以 3:1获胜时，第 4次必为甲命中；
2.计算 = 5 时的概率出错（漏算不同投篮顺序）；
3.数列累加时，项数或通项公式写错。
4 创新性强+高综合性+高思维量
高考数学最后一题丨最优解 5
【最优解法】
3
（1）甲第 4 1次命中（获胜），前 3次甲命中 2次、乙命中 1次，概率为 2 × × 13 2 3 ×
1 2× 2 = 1。
3 3 6
3 3 3
（2） 取值 3,4,5 1 1 35 1，分别计算概率： ( = 3) = + = ， ( = 4) = 23 × ×
2 +
2 3 216 2 3
3
2 1 1 133 × × = ， ( = 5) = 1
35 13 = 101；期望 ( ) = 3 × 35 + 4 × 13 + 5 × 101 = 947。
3 2 54 216 54 216 216 54 216 216
3 17 1（ ）设甲获胜概率为 ，累加不同比赛次数的获胜概率得 = ≈ 0.629 > 。
27 2
第二类：新高考Ⅱ卷（共 5道）
一、圆锥曲线综合题（3道）
编号 6：2021 新高考Ⅱ卷压轴题（圆锥曲线-抛物线+切线）
【题目】已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0) ，焦点 ，点 ( , )，
2
（1）求 的方程；
（2）过 作直线 交 于 , ，过 , 作 的切线交于 ，证明： ⊥ 且 △ ≥ 4。
【核心技巧】
1.代入点求抛物线方程；
2.导数求抛物线切线方程（设而不求）；
3.韦达定理化简，计算斜率判断垂直；
4.基本不等式求三角形面积最小值。
【易错点】
1.抛物线切线方程记忆/推导出错；
2.联立切线方程求 点坐标时，计算失误；
3.面积公式化简出错，忽略基本不等式的使用条件。
【最优解法】
（1）代入 ( , )得 = 2， : 2 = 4 。
2
（2）设 : = + 1，联立得 2 4 4 = 0，韦达定理 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4；切线
方程为 1 = 2( + 1)、 2 = 2( + 2)，联立得 (2 , 1)，
1
= ，故 ⊥ ；面积 =
3
4( 2 + 1)2 ≥ 4。
【几何图形描述】
开口向上的抛物线 2 = 4 ，焦点 (0,1)；直线 过 ，交 于 , ；切线交于 (2 , 1)，
⊥ ，△ 以 为底、 为高。
6 创新性强+高综合性+高思维量
高考数学最后一题丨最优解 7
编号 7：2022 新高考Ⅱ卷压轴题（圆锥曲线-椭圆+定值）
2【题目】已知椭圆 : + 2 = 1，焦点 1, 2，3
（1）求| 1| + | 2|的最大值；
（2）设 , 在 上， 为原点， = 1，证明： | |2 + | |2 、△ 面积均为定3
值。
【核心技巧】
1.椭圆定义+均值不等式求最值；
2.参数法表示椭圆上点的坐标；3.斜率关系化简，计算定值。
【易错点】
1.忽略椭圆定义的灵活运用，无法快速求最值；
2.参数法代入时，三角函数化简出错；
3. 1面积公式计算时，忽略绝对值或系数 。
2
【最优解法】
| |2+| |2
（1）由椭圆定义结合均值不等式，| 1| + | | ≤ 2 1 22 ，结合焦半径公式得最大2
值 2 6。
（2）设 ( 3cos , sin ) ， ( 3cos , sin ) ， 由 1 = 得 cos( ) = 0 ， 即3
= ± ，代入得| |2 + | |2 = 4 3，面积 = 。
2 2
【几何图形描述】
2
焦点在 轴上的椭圆 + 2 = 1，长轴顶点( ± 3, 0)，短轴顶点(0, ± 1)； , 为椭圆上动
3
点， 与 1斜率之积为 ，△ 面积、| |2 + | |2均为定值。
3
编号 8：2024 新高考Ⅱ卷压轴题（圆锥曲线-抛物线+切线+中点）
【题目】已知抛物线 : 2 = 4 ，焦点 ，过 的直线 交 于 , ，过 , 作 的切线交
于 ，
（1）证明： 在准线 = 1上；
（2）若 交 于 ，证明： 为 的中点。
【核心技巧】
1.导数求抛物线切线方程；
2.联立切线方程求 点坐标，结合直线 过焦点化简；
3.联立 与 方程，证明 为中点。
【易错点】
1.抛物线准线方程记忆错误（应为 = 1，易写成 = 1）；
2.联立切线方程求 点时，计算失误；
3.证明 为中点时，未结合韦达定理简化计算。
【最优解法】
（1）设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，切线方程为 1 = 2( + 1)、 2 = 2( + 2)，联立得
1 2 2 1 , 2( 2 1) ，结合 过 (1,0)，得 1, 1+ 2 ，在准线 = 1上。
2 1 2 1 2
+ +
（2）求 方程，联立 方程，得 1 2 , 1 2 ，即 中点。
2 2
【几何图形描述】
开口向右的抛物线 2 = 4 ，焦点 (1,0)，准线 = 1；直线 过 ，交 于 , ；切线交于
（准线上）， 与 交于中点 。
二、导数综合题（2道）
编号 9：2023 新高考Ⅱ卷压轴题（导数-零点个数求参数）
【题目】已知 ( ) = ( 1) 1 2，
2
8 创新性强+高综合性+高思维量
高考数学最后一题丨最优解 9
（1）讨论 ( )的单调性；
（2）若 ( )有两个零点，求 的取值范围。
【核心技巧】
1.导数分类讨论单调性（按 ≤ 0、0 < < 1、 = 1、 > 1 分类）；
2.数形结合，分析极值点函数值符号；
3.零点存在性定理判断零点个数。
【易错点】
1.分类讨论不全面（遗漏 = 1 的情况）；
2.求导后因式分解出错，无法精准找到临界点；
3.忽略端点处的函数极限，导致参数范围判断错误。
【最优解法】
（1） ′( ) = ( )， ≤ 0时， ( )在( ∞, 0)减、(0, +∞)增；0 < < 1时， ( )在
( ∞, ln )增、(ln , 0)减、(0, +∞)增； = 1时， ( )在 上增； > 1时， ( )在( ∞, 0)增、
(0, ln )减、(ln , +∞)增。
（2）结合极值点函数值符号，得 ∈ (1, +∞)。
编号 10：2025 新高考Ⅱ卷压轴题（圆锥曲线-椭圆+定点）
2
【题目】 已知椭圆 : + 2 = 1，过原点的直线 交 于 , ，过 作 轴的垂线交 于 ，连
2
接 交 轴于 ，
（1）证明： 为定点；
（2）若 △ = 2 △ ，求直线 的斜率。
【核心技巧】
1.参数法表示椭圆上点的坐标；
2.求直线 方程，令 = 0 证明定点；
3.面积比转化为坐标比，求解斜率。
【易错点】
1.参数法代入时，混淆 , , 三点的坐标关系；
2.求直线 方程时，斜率计算出错；
3.面积比转化时，忽略绝对值，导致斜率符号遗漏。
【最优解法】
（1）设 ( 2cos , sin )，则 ( 2cos , sin )， ( 2cos , sin )，求 方程： +
sin = sin +sin ( + 2cos )，令 = 0得 (1,0)（定点）。
2 2cos 2cos
（2）由面积比得| | = 2| |，代入得 sin =± 2，斜率 =± 1。
2 2
【几何图形描述】

2
焦点在 轴上的椭圆 + 2 = 1；直线 过原点，交 于 , （关于原点对称）； 与 关于
2
1
轴对称， 交 轴于定点 (1,0)；直线 斜率为± 时满足面积比条件。
2
10 创新性强+高综合性+高思维量
高考数学最后一题丨最优解 11
第三类：全国甲卷（共 6道）
一、理科导数综合题（4道）
编号 11：2021 全国甲卷理科压轴题（导数+三角-零点个数求参数）
【题目】已知 ( ) = sin + ( ∈ )，
1+cos
（1）讨论 ( )在(0, )的单调性；
（2）若 ( )在(0, )有两个零点，求 的取值范围。
【核心技巧】
1. 1 1三角恒等变换化简导数（ = sec2 ）；
1+cos 2 2
2.分类讨论参数 的取值，判断单调性；
3.数形结合+零点存在性定理，分析零点个数。
【易错点】
1.导数化简出错（三角恒等变换不熟练）；
2. = 1分类讨论临界点判断错误（如 的情况）；
2
3.忽略 → 0+和 → 时的函数值，导致参数范围偏差。
【最优解法】
1
（1） ′( ) = + ， ≥ 0时 ′( ) > 0 1，单调递增； < < 0时，先增后减； ≤ 1
1+cos 2 2
时，单调递减。
（2）结合 (0+) = 0、 ( ) = > 0 ∈ 1，极大值 ，得 , 0 。

编号 12：2022 全国甲卷理科压轴题（导数-切线+零点+中心对称）
【题目】已知 ( ) = 3 3 2 + 3 + 1，
（1）求 ( )在 = 0处的切线方程；
（2）证明： ( )在 上仅有一个零点；
（3）证明： ( )的图像关于点(1,2)中心对称。
【核心技巧】
1.导数求切线方程（求导得斜率，代入点求方程）；
2.导数判断单调性，结合零点存在性定理证明唯一零点；
3.中心对称定义（证明 (1 + ) + (1 ) = 4）。
【易错点】
1.求导出错（三次函数导数记忆错误）；
2.证明中心对称时，等式变形出错；
3.零点存在性定理运用时，端点取值不当。
【最优解法】
（1） ′(0) = 3，切线方程 = 3 + 1。
（2） ′( ) = 3( 1)2 ≥ 0，单调递增， ( 1) = 6 < 0、 (0) = 1 > 0，仅有一个零点。
（3） (1 + ) = (1 + )3 3(1 + )2 + 3(1 + ) + 1 = 3 + 2， (1 ) = (1 )3 3(1 )2 +
3(1 ) + 1 = 3 + 2，故 (1 + ) + (1 ) = 4，关于(1,2)中心对称。
【几何图形描述】
三次函数 ( ) = ( 1)3 + 2，由 = 3平移得到，单调递增，关于(1,2)中心对称，与 轴
交于( 1,0)之间，切线 = 3 + 1相切于(0,1)。
编号 13：2024 全国甲卷理科压轴题（导数-最值+恒成立）
【题目】已知 ( ) = 1 2 1，
2
（1）求 ( )的最小值；
（2）证明： ≥ 1 2 + + 1 + 1 4在 上恒成立。
2 24
12 创新性强+高综合性+高思维量
高考数学最后一题丨最优解 13
【核心技巧】
1.导数求函数最值（多次求导判断单调性）；
2.构造新函数，多次求导分析最值，证明恒成立。
【易错点】
1.多次求导时，导数计算出错；
2.分析各阶导数的单调性时，符号判断错误；
3.忽略 = 0 处的函数值，无法确定最小值。
【最优解法】
（1） ′( ) = 1， ″( ) = 1， ( )在( ∞, 0)减、(0, +∞)增，最小值 (0) = 0。
（ 2 1 1）设 ( ) = 2 1 4，四阶求导得 (4)( ) = 1，分析得 ( ) ≥
2 24
(0) = 0，恒成立。
编号 14：2025 全国甲卷理科压轴题（导数-双变量极值点偏移）
【题目】已知 ( ) = ln 1 2 ( ∈ )，
2
（1）求 ( )的单调性；
（2）若 ( )有两个极值点 1, 2，证明：ln 1 + ln 2 > 2。
【核心技巧】
1. ln ln 导数分类讨论单调性（按 的取值分类）；2.双变量转化（由极值点得 = 1 2）；3.
1 2
极值点偏移（构造辅助函数证明 1 22 > ）。
【易错点】
1.导数化简出错（ ′( ) = ln 记忆错误）；
2.双变量转化时，等式变形出错；
3.构造辅助函数不当，无法证明极值点偏移。
【最优解法】
1 1
（1） ′( ) = ln ， ≤ 0时 ′( )在(0, +∞)增； > 0时， ′( )在 0, 增、 , +∞

减。
2 ln ln （ ）由 ln 1 = 1、ln 1 22 = 2，得 = ，证明 ln 1 + ln 2 > 2即证 1 2 > 2，构 1 2
造 ( ) = ln 2( 1)，证明偏移。
+1
二、文科压轴题（2道）
编号 15：2021 全国甲卷文科压轴题（圆锥曲线-椭圆+定值斜率）
2 2
【题目】已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
2
，离心率 ，过 (2,1)，
2
（1）求 的方程；
（2）过 作两条直线分别交 于 , ， + = 0，证明：直线 的斜率为定值。
【核心技巧】
1.离心率+代入点求椭圆方程；
2.设斜率，联立直线与椭圆方程，韦达定理求点坐标；
3.计算直线 斜率，化简得定值。
【易错点】
1. 离心率与 , , 的关系混淆（ = ， 2 = 2 + 2）；

2.联立方程时，计算出错；
3.斜率计算时，分式化简出错。
【最优解法】
= 2
2 2
（1）由 得 = 2 1 ， 2 = 2，代入 (2,1)得 2 = 6， 2 = 3，方程 + = 1。
2 2 2 6 3
12 2
（2）设 = 8 6 ， = ，直线 : 1 = ( 2)，联立得 = 2 ，同理 =2 +1
12 2+8 6
， = = 1（定值）。
2 2+1 2
14 创新性强+高综合性+高思维量
高考数学最后一题丨最优解 15
【几何图形描述】
2 2
焦点在 轴上的椭圆 + = 1，点 (2,1)在椭圆内；过 作两条斜率互为相反数的直线，
6 3
交椭圆于 , ，直线 1斜率为 （定值）。
2
编号 16：2022 全国甲卷文科压轴题（导数-单调性+恒成立）
【题目】已知 ( ) = 2 ln ，
（1）求 ( )的单调性；
（2）若 ( ) ≥ + 1恒成立，求 的取值范围。
【核心技巧】
1.导数判断单调性（求导化简，确定临界点）；
2.参变分离，构造新函数，求函数最小值。
【易错点】
1.忽略函数定义域（ > 0）；
2.参变分离时，符号变形出错；
3.构造函数后，求导出错，无法找到最小值。
【最优解法】
（1） ′( ) = 2 1，在 0, 1 1减、 , +∞ 增。
2 2
2 2 ln ≥ + 1 ≤ 2 ln +1 ( ) = 2 ln +1（ ）由 得 ，设 ， ′( ) = ln 2， ( )在(0,1)减、
(1, +∞)增，最小值 (1) = 1，故 ≤ 1。
第四类：全国乙卷（共 4道）
一、理科导数综合题（2道）
编号 17：2021 全国乙卷理科压轴题（导数-单调性+不等式证明）
【题目】已知 ( ) = ln + 2 + (2 + 1) ，
（1）讨论 ( )的单调性；
（2）当 < 0时，证明 ( ) ≤ 3 2。
4
【核心技巧】
1.导数分类讨论单调性（按 的取值分类）；
2.隐零点代换（令极值点为 0，将 用 0表示）；
3.构造函数，求导证明不等式。
【易错点】
1. (2 +1)( +1)导数因式分解出错（无法分解为 ）；

2.隐零点代换时，等式变形出错；
3.构造函数后，求导化简出错。
【最优解法】
（1） ′( ) = (2 +1)( +1)， ≥ 0 1 1时 ( )在(0, +∞)增； < 0时， ( )在 0, 增、 , +
2 2
∞ 减。
2 1 1（ ）令 0 = ， ( )max = ( 0)，代入 = ，构造 ( 0) = ln 0
1 1，证明
2 2 0 4 0
( 0) ≤ 2。
编号 18：2023 全国乙卷理科压轴题（导数-双变量极值点偏移）
【题目】 1已知 ( ) = ln + 1，

16 创新性强+高综合性+高思维量
高考数学最后一题丨最优解 17
（1）求 ( )的单调性；
（2）设 1 ≠ 2， ( 1) = ( 2)，证明： 1 + 2 > 2。
【核心技巧】
1.导数判断单调性（求导化简，确定临界点）；
2.极值点偏移（构造对称辅助函数 ( ) = ( ) (2 )）；
3.利用单调性证明不等式。
【易错点】
1. 1导数化简出错（ ′( ) = 2 记忆错误）；
2.构造辅助函数不当；
3.证明 ( ) < 0 时，符号判断错误。
【最优解法】
1 ′( ) = 1（ ） 2 ，在(0,1)减、(1, +∞)增，极小值 (1) = 0。
2
（2）设 1 < 1 < 2，构造 ( ) = ( ) (2 )， ′( ) =
( 1)
2 2 ≥ 0， ( )在 (0,1)增， (2 )
( ) < (1) = 0，得 ( 1) < (2 1)，故 2 > 2 1，即 1 + 2 > 2。
二、理科圆锥曲线综合题（2道）
编号 19：2022 全国乙卷理科压轴题（圆锥曲线-抛物线+线段比）
【题目】已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)，焦点 ，准线 ， 在 上， ⊥ 轴， 在 上，
= 2 ，
（1）求直线 的斜率；
| |
（2）若 交 于另一点 ，求 。
| |
【核心技巧】
1.利用抛物线定义求焦点、准线坐标及线段长度；
2.设点坐标结合距离公式求参数，进而计算直线斜率；
3.联立直线与抛物线方程，借助韦达定理求解线段比。
【易错点】
1. 抛物线焦点、准线坐标记忆错误（焦点 , 0 、准线 = ，易混淆坐标符号）；
2 2
2.计算直线斜率时，忽略斜率的正负情况；
3.求解线段比时，混淆点的坐标对应关系，导致比例计算出错。
【最优解法】

（1）由抛物线定义及 ⊥ 轴，得 , ，故| | = ；准线 : = ，设 , ，
2 2 2 0
2
由 = 2 = 2 ，结合距离公式得 + + (0 0)2 = (2 )2，解得 0 =± 3 ，直线 的斜2 2
± 3
率为

= 1 3。
2 2

（2）取 0 = 3 ，直线 : = (1 3) + ，联立 2 = 2 ，由韦达定理得2
=
2 | | 1
，代入 = 得 = ，结合弦长公式得 = 。4 2 8 | | 3
【几何图形描述】
2 = 2 , 0 : = 开口向右的抛物线 ，焦点 ，准线 ；点 在抛物线上且 ⊥ 轴，
2 2
点 在准线上， = 2 ；直线 1交抛物线于另一点 ，线段 与 的比为 。
3
编号 20：2024 全国乙卷理科压轴题（圆锥曲线-椭圆+定点定值）
【题目】
2 2 3 1
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且过点 2, ， 2 2
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 (1,0)的直线 交椭圆 于 , 两点，过点 作 轴的垂线交椭圆 于另一点 ，连
接 交 轴于点 ，证明：点 为定点，并求△ 面积的最大值。
【核心技巧】
1. 离心率结合待定系数法求椭圆方程（利用 = 、 2 = 2 + 2及已知点代入）；

18 创新性强+高综合性+高思维量
高考数学最后一题丨最优解 19
2.分类讨论直线 的斜率（斜率存在/不存在），联立直线与椭圆方程，运用韦达定理表示
点的坐标关系；
3.求直线 方程，令 = 0 确定定点 ；
4.利用韦达定理结合基本不等式/二次函数求三角形面积最大值。
【易错点】
1.忽略椭圆离心率与 , , 的关系化简错误（ = 3对应 2 = 4 2，易算成 2 = 3 2）；
2
2.未分类讨论直线斜率不存在的情况，导致定点证明不全面；
3. 联立方程时，计算失误导致韦达定理结果错误；4. 求面积最大值时，忽略变量取值范
围，误用基本不等式（未满足“一正二定三相等”）。
【最优解法】
1
= 3
2 3 2 2
（1）由 得 2 = ，即 2 = 4 2

，椭圆方程化为 2 + 2 = 1
1 4
；代入点 2, ，得 2 + 4 =2 4 4 2 4 2
2 2
1，解得 2 = 5， 2 = 5，故椭圆 : + 4 = 1（或 2 + 4 2 = 5）。
4 5 5
（2）① 当直线 斜率不存在时， : = 1，联立得 (1,1)、 (1, 1)，则 (1, 1)（与 重
合，舍去）；② 当直线 斜率存在时，设 : = ( 1)，联立 2 + 4 2 = 5，得(1 + 4 2) 2
2 2
8 2 + 4 2 5 = 0 + = 8 4 5，韦达定理 ， 1+4 2 = ；由 ( , )得 ( , )，求直1+4 2
+ = + 线 方程： ( )，令 = 0，化简得 = 5，故 (5,0)（定点）；面积 △ =
1 2| | | | = 2 ( + )2 4 = 2
20 +5 2
2
，代入韦达定理化简得
(1+4 2 2
，令 = 1 + 4 ≥
)
1 5 4 1 15，则 = ，由基本不等式得最大值 。
2
【几何图形描述】
2 2
焦点在 4 轴上的椭圆 + = 1，长轴顶点( ± 5, 0) 5，短轴顶点 0, ± ；点 (1,0)在椭圆
5 5 2
内，直线 过 交椭圆于 , ， 与 关于 轴对称， 恒过定点 (5,0)；△ 以 为定长底
边，高为| |
15
，最大值为 。
2
第五类：自主命题卷（共 5道，涵盖北京、上海、浙江卷）
一、导数综合题（3道）
编号 21：2023 北京卷压轴题（导数-恒成立+双变量不等式）
【题目】已知函数 ( ) = 1（ ∈ ），
（1）求 ( )的单调性；
（2）若 ( ) ≥ 0对任意 ∈ 恒成立，求 的取值范围；
（3）设 > 1，若存在 1, 2 ∈ (0, +∞)且 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)，证明： 1 + 2 <
2ln 。
【核心技巧】
1.导数分类讨论单调性（按 ≤ 0、 > 0 分类）；
2.恒成立问题转化为求函数最小值（结合极值点求解）；
3.双变量极值点偏移（构造对称辅助函数 ( ) = ( ) (2ln )）。
【易错点】
1.求导后忽略 的分类，导致单调性判断不全面；
2.恒成立问题中，未利用极值点处函数值为最小值的性质；
3.构造辅助函数时，化简出错，无法判断函数符号。
【最优解法】
（1） ′( ) = ， ≤ 0时， ( )在 上单调递增； > 0时， ( )在( ∞, ln )单调递
减，(ln , +∞)单调递增。
（2）由（1）知， > 0时 ( )min = (ln ) = ln 1 ≥ 0，设 ( ) = ln 1，求
导得 ( ) ≤ (1) = 0，故 = 1，综上 ≤ 1。（3）设 1 < ln < 2，构造 ( ) = ( ) (2ln
)，求导得 ′( ) ≥ 0， ( )在(0, ln )单调递增， ( ) < (ln ) = 0，得 ( 1) < (2ln 1)，故
2 < 2ln 1，即 1 + 2 < 2ln 。
20 创新性强+高综合性+高思维量
高考数学最后一题丨最优解 21
编号 22：2024 上海卷压轴题（导数-零点个数+不等式证明）
【题目】 1已知函数 ( ) = ln 2 + ，
2
（1）求 ( )的极值；
（2）判断方程 ( ) = 0的零点个数；
1
（3）证明：对任意 > 0，ln ≤ 2 + 1。
2
【核心技巧】
1.导数求函数极值（求导化简，确定临界点）；
2.结合极值点函数值、极限情况判断零点个数；
3.构造新函数，求导证明不等式恒成立。
【易错点】
1. 1求导化简出错（ ′( ) = + 1 通分错误）；

2.判断零点个数时，忽略 → 0+和 →+∞时的函数极限；
3.证明不等式时，构造函数不当，无法判断最值。
【最优解法】
1 ′( ) =
2+ +1 ′( ) = 0 = 1+ 5 ( ) 1+ 5 = ln 1+ 5（ ） ，令 得 （正根），故 极大值为
2 2 2
1 1+ 5 2 + 1+ 5 > 0，无极小值。
2 2 2
（2） (1) = 1 > 0， 1 = 1 12 +
1 < 0， (3) = ln3 9 + 3 = ln3 3 < 0，结合单调性，
2 2 2 2
零点个数为 2。
3 ( ) = ln 1 2 + 1 1 ( ) ≤ 1+ 5 < 0 ln ≤ 1（ ）设 ，由（ ）知 ，故 2 + 1。
2 2 2
编号 23：2025 浙江卷压轴题（导数+三角-恒成立求参数）
【题目】已知函数 ( ) = sin cos + 1（ ∈ ），
（1）当 = 1时，求 ( )的单调性；
（2）若 ( ) ≥ 0对任意 ∈ [0, ]恒成立，求 的取值范围。
【核心技巧】
1.导数结合三角恒等变换判断单调性；
2.恒成立问题转化为求函数最小值（多次求导分析一阶导数单调性）；
3.端点值结合极值点函数值求解参数范围。
【易错点】
1.三角函数导数记忆错误（(cos )′ = sin 混淆）；
2.多次求导时，符号判断错误；
3.忽略 = 0 和 = 的端点值，导致参数范围偏差。
【最优解法】
（1） = 1时， ′( ) = cos + sin 1 = 2sin + 1 ，当 ∈ 0, 时 ′( ) > 0，单调
4 2

递增； ∈ , 时 ′( ) < 0，单调递减。
2
（2） ′( ) = cos + sin = 2sin + ， ∈ [0, ]时 2sin + ∈ [ 1, 2]；分
4 4
类讨论： ≤ 1时 ′( ) ≥ 0， ( ) ≥ (0) = 0； 1 < < 2时，存在极值点 0 ∈ [0, ]，保证
( 0) ≥ 0； ≥ 2时 ′( ) ≤ 0， ( ) ≥ ( ) = 2 ≥ 0得 ≤
2
（舍去），综上 ≤ 2。

二、圆锥曲线综合题（2道）
编号 24：2023 浙江卷压轴题（圆锥曲线-椭圆+最值）
2 2
【题目】 已知椭圆 : + = 1，焦点 1, 2，点 在椭圆上，且 1 ⊥ 4 3 2，
（1）求点 的坐标；
（2）过点 作直线 交椭圆于另一点 ，求△ 1 2面积的最大值。
22 创新性强+高综合性+高思维量
高考数学最后一题丨最优解 23
【核心技巧】
1. 椭 圆 定 义 结 合 勾 股 定 理 求 点 坐 标 （ 利 用 | 1| + | 2| = 2 、
| 2 2 21| + | 2| = | 1 2| ）；
2.分类讨论直线 斜率，联立方程求| |；
3.利用三角形面积公式结合二次函数/基本不等式求最值。
【易错点】
1.椭圆焦点坐标记忆错误（ 1( 1,0)、 2(1,0)，易混淆符号）；
2.勾股定理与椭圆定义结合时，计算失误；
3.求面积最大值时，忽略直线斜率不存在的情况。
【最优解法】
（1）由椭圆得 = 2， = 1，设 | 1| = ， | 2| = ，则 + = 4， 2 + 2 = 4，解得
= 6 2 6 1，结合椭圆方程得 ± , ± 。
3 3
（2）取 2 6 , 1 2 6 1，当直线 斜率不存在时， , ，面积 = 1；当斜率存在时，设
3 3 3 3
24 1 2 6
: 1 = 2 6 3 3 3，联立椭圆方程，韦达定理得 + = ，求得|
3 3 3+4 2
|最大值为 ，
2
3
进而得面积最大值 。
2
【几何图形描述】

2 2
焦点在 轴上的椭圆 + = 1，焦点 ( 1,0)、 (1,0)；点 在椭圆上且满足
4 3 1 2 1
⊥ 2，
直线 过 交椭圆于 ，△ 1
3
2面积最大值为 。2
编号 25：2024 北京卷压轴题（圆锥曲线-抛物线+定点）
【题目】已知抛物线 : 2 = 4 ，过点 (2,0)作直线 交抛物线于 , 两点，过点 作抛物
线准线的垂线，垂足为 ，连接 交 x轴于点 ，
（1）求抛物线的准线方程；
（2）证明：点 为定点。
【核心技巧】
1.抛物线定义求准线方程；
2.分类讨论直线 斜率，联立方程利用韦达定理表示点的坐标关系；
3.求直线 方程，令 = 0证明定点。
【易错点】
1.抛物线准线方程记忆错误（应为 = 1，易写成 = 1）；
2.联立方程时，计算失误导致韦达定理结果错误；
3.求直线 方程时，斜率计算出错。
【最优解法】
（1）抛物线 2 = 4 的准线方程为 = 1。
（2）① 当直线 斜率不存在时， : = 2设直线方程为 x = t（t为常数）， (2,2 2)与曲线
交于两点（如 A、 (2, 2 2) ( 1,2 2) : = 2 2( 2) 2 2B），令 = 0 y = 0 得
(1,0)x = t；② 当直线斜率存在时，设 : = ( 2)直线方程为 y = kx + m，联立 2 = 4 直线
与曲线的方程并整理得 2 2 (4 2 + 4) + 4 2 = 0 一元二次方程，利用韦达定理 =
4 ( , )得到交点坐标的关系（如 x +x = p、 ( , )x x = q）， ( 1, )将直线
方程化简后令 = 0y = 0得 = 1x =定值，故 (1,0)直线恒过定点（定值, 0）。
【几何图形描述】
开口向右的抛物线 2 = 4 ，准线 = 1，点 (2,0)在 x轴上；直线 过 交抛物线于 , ，
为 在准线上的垂足， 恒过定点 (1,0)。
24 创新性强+高综合性+高思维量