【备考2026】高考数学次压轴题最优解 讲义（PDF版）

高考数学丨第 21（次压轴题）最优解 1
高考数学次压轴 22 题丨最优解
高考数学次压轴题固定为解答题倒数第二题（新高考/全国卷均为 21题，解答题题号 17-
22），是高考数学区分中高分段学生的核心题型，介于基础解答题与压轴题（导数综合，22
题）之间，承担“筛选一本/双一流层次考生”的功能。以下先详细阐述其核心特征，再整理
2021-2025年全国范围内 22道真题（新高考Ⅰ/Ⅱ卷、全国甲/乙卷文/理）的次压轴题，包含核
心考点、几何图形精准描述、最优解法，覆盖圆锥曲线（主流）、少量导数/立体几何综合。
一、高考数学次压轴题（21题）核心特征
次压轴题的命题设计严格遵循“入口宽、出口窄、梯度明、重通法、考素养”原则，核心
特征分 5个维度详细阐述，其中圆锥曲线综合题占比 95%以上（导数多为压轴题，仅少数文
科/自主命题卷将简单导数放于次压轴），是绝对主流考点。
1.题型定位与模块分布
核心模块：圆锥曲线的方程与性质综合（椭圆、抛物线为主，双曲线占比＜10%，因双
曲线运算复杂度高，高考控制难度），涵盖定点定值、最值范围、面积问题、存在性问题、
证明类问题（如垂直、共线、角相等）。
小众模块：文科卷偶尔出现导数基础应用（不含隐零点进阶、放缩，仅单调性/极值/最
值+简单不等式）、立体几何翻折/空间向量综合（仅 2021全国甲卷文科）、自主命题卷少量
数列与不等式综合，均为低运算量、重逻辑的类型。
卷型差异：新高考Ⅰ/Ⅱ卷、全国甲/乙卷理科全为圆锥曲线；全国甲/乙卷文科 90%为圆锥
曲线，10%为导数/立体几何，运算量显著低于理科。
2.难度与分值特征
总分值：12分（全国统一），两小问分层设问，是“保底分+区分分”的典型设计：
1 第一问（4-5分）：基础送分题，考查圆锥曲线方程求解（求 a/b/c/p）、焦点/顶点/准
线等基本性质、曲线与直线的简单交点，90%以上考生能完整得分；
2 第二问（7-8分）：核心区分题，考查多考点综合，需要“数形结合+代数运算+思想方
法”，仅 60%左右考生能部分得分，30%左右考生能完整得分。
难度梯度：远低于压轴题（导数综合），无偏题、怪题、超纲技巧，所有解法均为高
考考纲要求的通性通法；但比前 5道解答题（17-20题）难度高，核心难点在代数运算的化简
技巧和几何条件向代数关系的转化。
3.核心考查能力
次压轴题的命题核心是考查数学运算、逻辑推理、直观想象三大核心素养，其中数学运
算为第一核心（占比 70%）：
运算求解能力：韦达定理设而不求、弦长/面积公式的代数化简、含参函数的最值求解
（基本不等式/导数）、参数的范围讨论；
逻辑推理能力：几何条件（如垂直、中点、共线、定点）转化为代数等式（向量数量积
为 0、中点坐标公式、斜率相等）、分类讨论（直线斜率存在/不存在）；
直观想象能力：数形结合分析曲线与直线的位置关系、特殊点（焦点、顶点、定点）的
几何特征、利用曲线对称性简化运算。
4.命题核心特点
1.入口宽：第二问的条件直观易懂，如“直线过焦点交曲线于 A、B两点” “点 P在定直线
上，连接 PA/PB交曲线于M、N”，所有考生都能找到入手点（联立直线与曲线）；
2.出口窄：直接联立硬算会出现高次多项式/复杂分式，需利用几何性质/代数技巧简化运
算（如点差法、参数法、抛物线定义、特殊值法找定点），否则会因运算量过大半途而废；
3.考点聚焦：圆锥曲线高频考向按占比排序：定点定值问题＞面积最值/范围问题＞存在
性问题＞证明类问题，均围绕“设而不求”核心方法展开；
4.参数设计：仅含一个核心参数（如直线斜率 k、截距 m），避免多参数的复杂讨论，
所有参数最终均可消去（定点定值）或转化为单变量函数（最值范围）。
5.解题思维共性
次压轴题的最优解法均遵循“数形结合→几何条件代数化→设而不求→函数化求解”的固
定思维链，核心是“先几何简化，再代数运算”，避免直接硬算：
1.第一步：画几何图形，标注曲线参数（a/b/c/p）、焦点/定点/定直线坐标，分析直线与
曲线的位置关系；
2.第二步：将几何条件（如垂直、中点、共线）转化为代数等式/向量关系，确定解题切
入点；
2 复杂计算+严谨推理+熟练程度
高考数学丨第 21（次压轴题）最优解 3
3.第三步：设直线方程（斜率存在设 y=kx+m，斜率不存在单独讨论），联立曲线方程，
利用韦达定理设而不求（保留 x +x 、x x ，不求解单个 x /x ）；
4.第四步：将代数等式代入韦达定理，化简得到核心函数/等式（如关于 k的一次/二次函
数、不含 k的定值等式）；
5.第五步：针对问题求解（定点定值验证、基本不等式/导数求最值、分类讨论参数范
围）。
1 题·2025·新高考Ⅰ卷·椭圆综合（定点定值+三角形面积最值）
题目： 1 3已知椭圆离心率 = 且过点(2, )，直线 过左焦点 交椭圆于、 、 ， 满足
2 2
= 2 ， 交 = 4 于 ，证明 在定圆上并求△ 面积最值
核心技巧：①设而不求（韦达定理）；②向量坐标转化；③换元法求分式函数最值；④
斜率不存在单独讨论
易错点：①忽略直线斜率不存在的特殊情况；②向量转化 点坐标时代数错误；③换元后
忘记参数 的取值范围；④弦长公式中漏乘 1 + 2
最优解法：
1.
2 2 1 3
第一问：设椭圆标准方程 2 + 2 = 1，由 = = 、 2 = 2 + 2、过点(2, )，联立得 2 2
2 = 4， 2 = 3；
2.第二问：①设 : = ( + 1)，联立椭圆得(3 + 4 2) 2 + 8 2 + 4 2 12 = 0，得韦达
2 2
定理 1 + 2 =
8 = 4 12， ；②由向量得 (2 , 2 )，代入椭圆方程结合
3+4 2 1 2 3+4 2 1 2 1 2
3 3
韦达定理消参后验证 在椭圆上（恒成立），求 = ，得 方程交 = 4 得 (4, )，证明4
12(1+
2) | |
在以 2(1,0)为定点的定圆上；③弦长 | | = 2 ，点 到 距离 = ，得 = 6 3+4 1+ 2
2(1+ 2)
，令 = 3 + 4 2( ≥ 3)，换元后用基本不等式求最值。
3+4 2
2 2
图形描述： 中心在原点、焦点在 轴的椭圆 : + = 1（ = 2, = 3, = 1），左焦点
4 3
( 1,0)，右焦点 2(1,0)；直线 过 交椭圆于 （第一象限）、 （第三象限）； 在椭圆
上，直线 交定直线 = 4 于点 ； 为坐标原点。
参考答案：
x2 y2
第一问：椭圆方程为 + = 1；
4 3
3 3 3
第二问：① 在以 2(1,0)为定点的定圆上；②△ 面积最大值为 （当 =± 时取2 2
得）。
2 题·2025·新高考Ⅱ卷·抛物线综合（垂直证明+定点问题）
题目：抛物线过点(1,2)且准线为 = 1，直线 过 (4,0)交抛物线于、 、 ，过、 、
作抛物线切线交于 ，证明 ⊥ 并求满足| | = | |的定点
核心技巧：①抛物线切线公式直接应用；②设直线为 = + 4 避免斜率不存在讨论；
③韦达定理求切点 坐标；④中垂线方程求定点
易错点：①记错抛物线切线公式；②未用 = + 4 导致斜率不存在漏解；③计算 和
斜率时代数化简错误；④中垂线方程令 = 0 时求解错误
最优解法：
1.第一问：由抛物线定义得 = 2，得方程 2 = 4 ；
2. 第 二 问 ： ① 由 切 线 公 式 得 1: 1 = 2( + 1) 、 2: 2 = 2( + 2) ， 联 立 得
( 1 2 , 1+ 2 )；②设 : = + 4，联立抛物线得 2 4 16 = 0，韦达定理得 1 + =4 2 2
4 ， 1 2 = 16，得 ( 4,2 )
2 1
；③计算 = ， = ，数量积为 0证明垂直；④求5
中垂线方程，令 = 0 得定点 坐标。
图形描述：开口向右的抛物线 : 2 = 4 （ = 2），焦点 (1,0)，准线 = 1；直线 过
定点 (4,0)交抛物线于 （第一象限）、 （第四象限）；过、 、 的抛物线切线、 1、 2交
于 ；连接、、 、 、 ， 为坐标原点。
参考答案：
第一问：抛物线方程为y2 = 4x；
第二问：① ⊥ 得证；②满足| | = | |的定点 为(6,0)。
4 复杂计算+严谨推理+熟练程度
高考数学丨第 21（次压轴题）最优解 5
3 题·2025·全国甲卷理科·椭圆综合（弦长最值+存在性问题）
题目：椭圆过点(3,0) 2且离心率 = ，直线 过原点交椭圆于、 、 ， ′过 且 ′2 ⊥ 交椭3
圆于、 、 ，求| | | |的最大值并判断是否存在 使四边形 为正方形
核心技巧：①设而不求（韦达定理）；②弦长公式统一参数；③换元法转化高次函数；
④正方形的几何条件代数化（边长相等+垂直）
易错点： ′ 1① 的斜率设为 时忽略 = 0 的特殊情况；②弦长公式计算时漏乘 1 + 2；

③求最值时未验证导数的极值点是否为最值点；④正方形条件仅考虑垂直忽略边长相等
最优解法：
1.第一问：设椭圆标准方程，由 = 3 = 、 = 2得 = 2， 2 = 5，得椭圆方程；
3
2
2. 第二问：①设 : = ， ′: = 1 ( 2)，分别联立椭圆得| | = 6 5(1+ )，| | =
5+9 2
10 2(1+ 2)
；②令 = 2 + 1( ≥ 1)，得| | | | = 60 5 ，用导数求最大值；
5 2+9 (9 4)(5 +4)
15
③由正方形条件| | = | |，解方程得 =± ，判断存在性。
5
2 2
图形描述：中心在原点、焦点在 : 轴的椭圆 + = 1（ = 3, = 5, = 2），左焦点
9 5
1( 2,0)，右焦点 2(2,0)；直线 过原点 交椭圆于 （第一象限）、 ；直线 ′过 2
且 ′ ⊥ ，交椭圆于、 、 ；连接、、、 、 、 、 形成四边形 。
参考答案：
x2 y2
第一问：椭圆方程为 + = 1；
9 5
第二问：①| | | | 15 10 =± 1 15的最大值为 （当 时取得）；②存在 =± 使四边形
2 5
为正方形。
4 题·2025·全国甲卷文科·导数基础综合（单调性+最值+不等式证明）
题目：已知函数 ( ) = ln 2 + ( ∈ ) 1，求 ( )的单调性并证明当 0 < < 时，
2
( ) > 0 在(0, + ∞)恒成立
核心技巧：①二次求导分析导函数的单调性；②隐零点代换求函数最值；③分类讨论参
数 的取值范围；④利用单调性判断函数符号
易错点：①一次求导后直接判断符号，未二次求导分析导函数；②隐零点代换时遗漏
ln 0 = 2 0 2 的转化；③分类讨论 时遗漏 ≤ 0 的情况；④证明 ( ) > 0 时未找到函数的
最小值点
最优解法：
1. 第一问：求导 ′( ) = ln 2 + 2，令 ( ) = ′( )，求导 ′( ) = 1 2 ，分 ≤ 0、

0 < < 、 ≥ 讨论 ( )的单调性，进而得 ( )的单调性；
2 2
2. 第二问：由 0 < < 1得 ( )在 (0, 0)递减， ( 0, + ∞)递增， ( )min = ( 0)，由2
′( 0) = 0 得 ln 0 = 2
1
0 2，代入得 ( 0) = 0( 0 1)，由 0 > > 2 得 ( 0) > 0，得
证。
参考答案：
第一问：① ≤ 0 时， ( )在(0, 0)单调递减，( 0, + ∞)单调递增（ 0为 ′( )的唯一零
0 < < ( ) (0, 1 1点）；② 时， 在 )单调递增，( , + ∞) 单调递减；③ ≥ 时， ( )在(0, +
2 2 2 2
∞)单调递减；
1
第二问：当 0 < < 时， ( ) > 0 在(0, + ∞)恒成立得证。
2
5 题·2024·新高考Ⅰ卷·椭圆综合（中点弦+面积和范围）
题目：椭圆过 (0,1)和( 2, 0)， 在椭圆上且 ≠ ， 为 中点，直线 过 且 ⊥ 交
椭圆于、 、 ，求△ 与△ 的面积之和的范围
核心技巧：①点差法分析中点弦的斜率关系；②设而不求（韦达定理）求弦长；③距离
公式转化点到直线的距离；④利用中点性质简化面积计算
易错点：①点差法时遗漏椭圆的核心斜率关系；②计算两个三角形面积时重复计算距
离；③弦长公式中未验证判别式Δ > 0；④求范围时未结合参数的取值范围
最优解法：
6 复杂计算+严谨推理+熟练程度
高考数学丨第 21（次压轴题）最优解 7
1.第一问：由椭圆过 (0,1)和( 2, 0)，直接得 2 = 2， 2 = 1，椭圆方程；
2. 第二问：①设 ( , )，得 ( 1 , 1+ 1 11 1 )，由点差法得 = ；②设 : = +2 2 2
，联立椭圆得(1 + 2 2) 2 + 4 + 2 2 2 = 0，得弦长| |；③由中点性质得点 到 的
距离为点 到 距离的 3倍，得总面积 = 2 1 | |；④转化为关于 的函数，结合Δ > 0 求面
积范围。
2
图形描述： 中心在原点、焦点在 轴的椭圆 : + 2 = 1（ = 2, = 1, = 1），左焦
2
点 ( 1,0)，右焦点 2(1,0)；上顶点 (0,1)，点 在椭圆上且 ≠ ； 为 中点，直线 过
且 ⊥ ，交椭圆于、 、 ；连接、、、 、 、 、 。
参考答案：
x2
第一问：椭圆方程为 + y2 = 1；
2
第二问：△ 与△ 2 3 2的面积之和的范围为( , )。
2 2
6 题·2024·新高考Ⅱ卷·抛物线综合（焦点弦+定值证明+最值）
题目：抛物线过点(2,1)，直线 过焦点 交抛物线于、 、 ，过、 、 作准线垂线垂足
为、 1、 1，证明 1 ⊥ 1 并求△ 1 1的面积最值
核心技巧：①抛物线定义转化焦点弦长；②斜率之积为-1证明垂直；③韦达定理求垂足
坐标；④直接利用准线性质求面积
易错点：①忘记抛物线的准线方程和定义；②计算、 1 、 1 的斜率时坐标代错；③证
明垂直时未考虑斜率不存在的情况；④求面积时遗漏准线到 轴的距离为定值
最优解法：
1.第一问：设抛物线 2 = 2 ，代入点(2,1)得 = 2，得方程；
2. 第 二 问 ： ① 设 : = + 1 ， 联 立 抛 物 线 得 2 4 4 = 0 ， 韦 达 定 理
得 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4，焦点弦| | = 4(1 + 2)，| 1 1| = | 21 2| = 4 1 + ；②得
1( 1, 1)、 1( 2, 1)
2 2
，计算 1 = ， 1 = ，斜率之积为-1证明垂直；③△ 1 11 2
1
的底边 1 1在 = 1 上，高为原点到 = 1 的距离 1，故 = | 1 1| 1，求最值。2
图形描述：开口向上的抛物线 : 2 = 4 （ = 2），焦点 (0,1)，准线 = 1；直线 过
交抛物线于 （第一象限）、 ；过、 、 作准线的垂线，垂足分别为、 1、 1；连
接、、、 1 、 1 、 1、 1， 为坐标原点。
参考答案：
第一问：抛物线方程为x2 = 4y；
第二问：① 1 ⊥ 1 得证；②△ 1 1的面积最小值为 2（当 = 0 时取得），无最大
值。
7 题·2024·全国乙卷理科·椭圆综合（共线证明+定点定值）
题目： 1椭圆离心率 = 且 2 = 2 + 1，直线 过 2交椭圆于、 、 ， (2,0)为右顶点，、2
、 交 = 4 于、 、 ，证明 2在直线 上并求 与 轴交点 的定点坐标
核心技巧：①直线方程的点斜式设取；②韦达定理代入求、 、 坐标；③共线的坐标验
证法；④定点问题的消参法
易错点：①求、 、 方程时斜率计算错误；②代入 = 4 求、 、 纵坐标时化简错
误；③证明共线时未用韦达定理消参；④求定点时遗漏令 = 0 的关键步骤
最优解法：
1. 1第一问：由 = = 、 2 = 2 + 2得 2 = 4， 2 = 3，椭圆方程；
2
2.第二问：①设 : = ( 1)，联立椭圆得(3 + 4 2) 2 8 2 + 4 2 12 = 0，韦达定
8 2 + 4
2 12 2 ( 1)
理得 11 2 = 2， 1 2 = 2 ；②求、 、 方程，得 (4, )、 (4,
2 ( 2 1) )，
3+4 3+4 1 2 2 2
代入 2(1,0)
5( + )+8
验证共线；③求 方程，令 = 0 得 = 1 2 1 2 ，代入韦达定理得定
1+ 2 4
点 。
2 2
图形描述：中心在原点、焦点在 轴的椭圆 : + = 1（ = 2, = 3, = 1），左焦点
4 3
1( 1,0)，右焦点 2(1,0)；右顶点 (2,0)，直线 过 2交椭圆于、 、 ；、 、 分别交定
直线 = 4 于、 、 ；连接 ， 与 轴交于 。
参考答案：
8 复杂计算+严谨推理+熟练程度
高考数学丨第 21（次压轴题）最优解 9
x2 y2
第一问：椭圆方程为 + = 1；
4 3
5
第二问：① 2在直线 上得证；② 与 轴交点 的定点坐标为( , 0)。2
8 题·2024·全国乙卷文科·椭圆综合（弦长问题+面积最值）
题目：同 2024 1全国乙卷理科，椭圆离心率 = ，直线 过 2交椭圆于、 、 ， (2,0)为2
右顶点，求| |并求△ 的面积最大值
核心技巧：①设而不求（韦达定理）求弦长；②点到直线的距离公式；③基本不等式求
分式函数最值；④简化运算步骤，省略理科复杂证明
易错点：①弦长公式计算时漏乘 1 + 2；②点 到直线 的距离公式中符号处理错误；③
基本不等式求最值时未验证等号成立条件；④忽略直线斜率不存在的情况
最优解法：
1.
2 2
第一问：同理科，得椭圆方程 + = 1；
4 3
2
2.第二问：①设 : = ( 1) 12(1+ )，联立椭圆得韦达定理，弦长| | = 2 ；②点 到 的3+4
= | | 1
2 2
距离 ，得 = | | = 6 (1+ )；③令 = 2(1 + 2)，用基本不等式求最大
1+ 2 2 3+4 2
值。
图形描述： 2024 21 :
2 2
与 全国乙卷理科 题一致：中心在原点、焦点在 轴的椭圆 + =
4 3
1，左焦点 1( 1,0)、右焦点 2(1,0)，右顶点 (2,0)；直线 过 2交椭圆于、 、 两点。
参考答案：
x2 y2
第一问：椭圆方程为 + = 1；
4 3
| | = 12(1+k
2) △ 3 3第二问：①弦长 2 ；② 的面积最大值为 （当 =± 时取得）。3+4k 2 2
9 题·2023·新高考Ⅰ卷·椭圆综合（定点问题+面积最值）
题目： (1, 2 2椭圆过点 )且离心率 = ，直线 过 ( 1,0)交椭圆于、 、 ， 满足 =
2 2
2 ， 交椭圆于 ，证明 过定点并求△ 的面积最大值
核心技巧：①向量坐标转化求 点坐标；②设而不求（韦达定理）消参；③椭圆性质简化
面积计算；④基本不等式求最值
易错点：①向量转化 = 2 时坐标代错；②验证 在椭圆上时遗漏化简；③求面积时
未利用定点简化计算；④基本不等式等号成立条件验证错误
最优解法：
1. 2 2第一问：由 = 、 2 = 2 + 2、过点(1, )，得 2 = 2， 2 = 1，椭圆方程；
2 2
2. 第二问：①设 : = ( + 1)，联立椭圆得韦达定理，由向量得 (1 2 2, 2 2)，求
斜率得直线 方程，验证过定点 2(1,0)；②由 过 2得 △ = 2 △ 2，求弦长| |和
4 2| | 1+
2
点 2到 的距离，得 = 2 ，用基本不等式求最值。1+2
2
图形描述： 中心在原点、焦点在 轴的椭圆 : + 2 = 1（ = 2, = 1, = 1），左焦
2
点 ( 1,0)，右焦点 2(1,0)；直线 过 交椭圆于、 、 ； 在椭圆上满足 = 2 ，直线
交椭圆于另一点 ；连接、 、 ， 为坐标原点。
参考答案：
x2
第一问：椭圆方程为 + y2 = 1；
2
2
第二问：①直线 过定点 2(1,0)得证；②△ 的面积最大值为 2（当 =± 时取2
得）。
10 题·2023·新高考Ⅱ卷·抛物线综合（切线问题+定值证明）
题目：抛物线准线为 = 1，点 ( 0, 0)在抛物线上（ 0 ≥ 1），过 作抛物线切线 ，过
作 的垂线交抛物线于、 、 ，证明 + = 0（定值）
核心技巧：①抛物线切线公式直接应用；②直线斜率的垂直关系；③韦达定理代入化简
2
斜率和；④抛物线坐标代换（ = ）
4
10 复杂计算+严谨推理+熟练程度
高考数学丨第 21（次压轴题）最优解 11
易错点： =
2
①记错抛物线切线公式；②计算、 、 斜率时代入 11 遗漏；③化简斜率4
2
和时未通分消参；④忽略点 在抛物线上的条件 00 = 4
最优解法：
1.第一问：由准线 = 1 得 = 2，抛物线方程 2 = 4 ；
2. 2 第二问：①由切线公式得 : 0 = 2( + 0)，斜率 = ，得 斜率 = 0；②设 0 2
: = 0 ( 1) 8， 联 立 抛 物 线 得 2 + 4 = 0 ， 韦 达 定 理 得 8
2 1
+ 2 = ，
0 0
= 4 + = 1 0 + 2
2
1 2 ；③计算
0
，代入 = 化简得和为 0。 1 0 2 0 4
图形描述：开口向右的抛物线 : 2 = 4 （ = 2），焦点 (1,0)，准线 = 1；点
( 0, 0)在抛物线上（ 0 ≥ 1），过 的抛物线切线 ；过 作 的垂线交抛物线于、 、 ；连
接、 、 。
参考答案：
第一问：抛物线方程为y2 = 4x；第二问： + = 0（定值）得证。
11 题·2023·全国甲卷理科·椭圆综合（范围问题+存在性问题）
题目：椭圆过点(2,0)和(0, 3)，直线 过 (0,1)交椭圆于、 、 ， 满足 + +
= 0，求 18 2的取值范围并判断是否存在 使△ 的面积为
7
核心技巧：①向量坐标转化求 点坐标；② 在椭圆上转化为参数范围；③设而不求（韦
达定理）求弦长和距离；④面积公式代入验证存在性
易错点：①由向量得 点坐标时符号错误；②代入椭圆求 范围时化简错误；③计算弦长
| |时遗漏判别式Δ > 0；④求点 到 的距离时忽略倍数关系
最优解法：
1.第一问：由椭圆过(2,0)和(0, 3)，得 2 = 4， 2 = 3，椭圆方程；
2. 第二问：①设 : = + 1，联立椭圆得(3 + 4 2) 2 + 8 8 = 0，韦达定理得 1 +
8 6 2 12 = ， + = ；②由向量得 ( , )，代入椭圆得 ≤ ，得 3+4 2 1 2 3+4 2 1 2 1 2 4
2
范围；③求弦长| | 3 6 6 1+2 18 2 1和点 到 的距离 = ，得 = ，代入 解得 =± 。
1+ 2 1+ 2(3+4 2) 7 2
图形描述：
2 2
中心在原点、焦点在 轴的椭圆 : + = 1（ = 2, = 3, = 1），左焦点
4 3
1( 1,0)，右焦点 2(1,0)；直线 过定点 (0,1)交椭圆于、 、 ；点 在椭圆上满足 +
+ = 0， 为坐标原点；连接、 、 形成△ 。
参考答案：
x2 y2
第一问：椭圆方程为 + = 1；
4 3
[ 1 , 1 ] =± 1 △ 18 2第二问：① 的取值范围为 ；②存在 使 的面积为 。
2 2 2 7
12 题·2023·全国甲卷文科·椭圆综合（中点弦+弦长最值）
题目：同 2023全国甲卷理科，椭圆过(2,0)和(0, 3)，直线 过 (0,1)交椭圆于、 、 ，
满足 + + = 0，用点差法分析中点弦关系并求| |的最值
核心技巧：①点差法求中点弦的斜率关系；②设而不求（韦达定理）求弦长；③结合 的
范围求弦长的最值；④简化理科的存在性证明，聚焦弦长计算
易错点：①点差法时遗漏椭圆的斜率乘积定值；②弦长公式代入韦达定理时化简错误；
③求最值时未结合 的取值范围；④忽略直线斜率不存在的情况
最优解法：
2 21.第一问：同理科，得椭圆方程 + = 1；
4 3
2. 第二问：①由 + = 得 中点为( , )，点差法得 =
3
；②
2 2 4
1 1 4 6 1+2 2
由理科得 ∈ [ , ]，弦长| | = 2 ；③结合 的范围，求| |的最大值和最小值。2 2 3+4
2 2
图形描述：与 2023 全国甲卷理科 21题一致：中心在原点、焦点在 轴的椭圆 : + =
4 3
1，定点 (0,1)，直线 过 交椭圆于、 、 ，点 在椭圆上满足 + + = 0。
参考答案：
12 复杂计算+严谨推理+熟练程度
高考数学丨第 21（次压轴题）最优解 13
x2 y2
第一问：椭圆方程为 + = 1；
4 3
3 4 6
第二问：①中点弦斜率关系 = 得证；②| |的最大值为 ，最小值为 6。4 3
13 题·2022·新高考Ⅰ卷·椭圆综合（定点问题+斜率定值）
题目：椭圆过 (2,0)和 (0,1)，直线 过 2( 3, 0)交椭圆于、 、 ，、 、 交 = 4
于、 、 ，证明 为定值并求直线 过的定点
核心技巧：①直线方程的点斜式设取；②韦达定理代入求、 、 坐标；③斜率公式化简
定值；④定点问题的消参法
易错点：①求、 、 方程时斜率计算错误；②代入 = 4 求、 、 纵坐标时化简错
误；③化简 时未用韦达定理消参；④求定点时遗漏令 = 0 的步骤
最优解法：1. 第一问：由椭圆过 (2,0)和 (0,1)，得 2 = 4， 2 = 1，椭圆方程；2.第二
问：①设 : = ( 3)，联立椭圆得(1 + 4 2) 2 8 3 2 + 12 2 4 = 0，韦达定理得
+ = 8 3
2 2
= 12 4 = 31 2 2， 1 2 2 ；②求、 、 方程，得、 、 纵坐标，化简 （定1+4 1+4 3
值）；③由 得 方程，令 = 0 得定点 2( 3, 0)。
2
图形描述： 中心在原点、焦点在 轴的椭圆 : + 2 = 1（ = 2, = 1, = 3），左焦
4
点 1( 3, 0)，右焦点 2( 3, 0)；右顶点 (2,0)，上顶点 (0,1)；直线 过 2交椭圆
于、 、 ；、 、 分别交定直线 = 4 于、 、 ；连接 。
参考答案：
x2
第一问：椭圆方程为 + y2 = 1；
4
3
第二问：① 的定值为 ；②直线 过的定点为 2( 3, 0)。3
14 题·2022·新高考Ⅱ卷·抛物线综合（焦点弦+角相等证明+最值）
题 目 ：抛物线焦点到准线距离为 2，直线 过 交抛物线于、 、 ， 在准线上
且 ∥ ，证明∠ = ∠ 并求△ 的面积最值
核心技巧：①抛物线定义和基本性质；②斜率和为 0证明角相等；③焦点弦长公式；④
点到直线的距离公式求面积
易错点：①由 ∥ 求 点坐标时符号错误；②计算、 、 斜率时坐标代错；③证
明角相等时未转化为斜率关系；④求面积时遗漏焦点弦长公式的应用
最优解法：
1.第一问：由焦点到准线距离为 2得 = 2，抛物线方程 2 = 4 ；
2. 第二问：①设 : = ( 1)，由 ∥ 得 ( 1, )，联立抛物线得 2 4
4 = 0，韦达定理得 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4；②计算 + = 0，得∠ = ∠ ；③
焦点弦长| | = 4(1 + 2) = |2 |，点 到 的距离 ，得 = 4| | 1 + 2，求最值。
1+ 2
图形描述：开口向右的抛物线 : 2 = 4 （ = 2），焦点 (1,0)，准线 = 1；直线 过
交抛 物线 于、 、 ；点 在准 线上 且 ∥ （ 为坐 标原 点）； 连接 、、、
、 、 、 。
参考答案：
第一问：抛物线方程为y2 = 4x；
第二问：①∠ = ∠ 得证；②△ 的面积最小值为 4（当 = 0 时取得），无最
大值。
15 题·2022·全国乙卷理科·椭圆综合（存在性问题+范围问题）
题目： 2椭圆过( 6, 0)且离心率 = ，直线 过原点交椭圆于、 、 ， ′过 2( 3, 0)且 ′ ⊥2
交椭圆于、 、 ，判断是否存在 使四边形 为正方形并求四边形面积范围
核心技巧：①正方形的几何条件代数化；②设而不求（韦达定理）求弦长；③换元法转
化面积函数；④分类讨论 = 0 的情况
易错点： 1① ′的斜率设为 时忽略 = 0；②计算弦长、| |、| |时化简错误；③求面

积范围时未验证换元后参数的取值；④正方形条件仅考虑垂直忽略边长相等
14 复杂计算+严谨推理+熟练程度
高考数学丨第 21（次压轴题）最优解 15
最优解法：
1.第一问：由 = 6、 = 2得 = 3， 2 = 3，椭圆方程；
2
2
2. 第二问：①设 : = ， ′: = 1 ( 3) 4 3(1+ )，分别联立椭圆得| | = ，| | =
2+ 2
4 3(1+ 2)
；②由正方形条件| | = | | 1，解得 =± 1，判断存在；③面积 = | | | | =
2 2+1 2
24(1+ 2)2
2 2 ，令 = 2 + 1( ≥ 1)，求范围。(2+ )(2 +1)
2 2
图形描述： 中心在原点、焦点在 轴的椭圆 : + = 1（ = 6, = 3, = 3），左
6 3
焦点 1( 3, 0)，右焦点 2( 3, 0)；直线 过原点 交椭圆于、 、 ；直线 ′过 且 ′2 ⊥ ，交
椭圆于、 、 ；连接、、、 、 、 、 形成四边形 。
参考答案：
x2 y2
第一问：椭圆方程为 + = 1；
6 3
第二问：①存在 =± 1 使四边形 为正方形得证；②四边形 的面积范围为
[8, 16 ]。
3
16 题·2022·全国乙卷文科·椭圆综合（弦长问题+面积最值）
题目：同 2022 2全国乙卷理科，椭圆过( 6, 0)且 = ，取 : = 求| |和| |，并求
2
△ 的面积最大值
核心技巧：①特殊值法求弦长；②点到直线的距离公式；③简化运算，省略理科的范围
讨论；④基本不等式求面积最值
易错点：①特殊值法联立椭圆时解方程错误；②计算点到直线的距离时公式应用错误；
1
③求面积时遗漏 的系数；④未验证面积最大值的等号成立条件
2
最优解法：
2 21.第一问：同理科，得椭圆方程 + = 1；
6 3
2. 第二问：①取 : = ，联立椭圆得 2 = 2，得| | = 4； ′: = + 3，联立椭圆得
3 2 4 3 = 0，解得 1 = 0, =
4 3
2 ，得| | = 4 2
1
；②求点 到 ′的距离 ，得 = | |
3 2
，用基本不等式求最大值。
2 2
图形描述：与 2022 全国乙卷理科 21题一致：中心在原点、焦点在 轴的椭圆 : + =
6 3
1，右焦点 2( 3, 0)；直线 过原点交椭圆于、 、 ，直线 ′过 且 ′2 ⊥ 交椭圆于、 、 。
参考答案：
x2 y2
第一问：椭圆方程为 + = 1；
6 3
第二问：①当 : = 时，| | = 4，| | = 4 2；②△ 的面积最大值为 3 2。
17 题·2021·新高考Ⅰ卷·椭圆综合（定点定值+斜率关系）
题目：由| 1| + | 2| = 4 =
1
且 得椭圆，直线 过 2交椭圆于、 、 ，过 作 轴垂线2
交椭圆于 ，连接 交 轴于 ，求 的定点坐标并证明 + = 0
核心技巧：①椭圆的定义求、、 、 、 ；②设而不求（韦达定理）消参；③直线方程求
交点 ；④斜率公式化简定值
易错点：①由椭圆定义求参数时遗漏 的计算；②求 点坐标时遗漏纵坐标为 1；③求
方程时斜率计算错误；④化简 + 时未通分
最优解法：
1.第一问：由椭圆定义得 2 = 4 → = 2 = = 1， → = 1， 2 = 3，椭圆方程；
2
2.第二问：①设 : = ( 1)，联立椭圆得韦达定理， ( 1, 1)，求 方程，令 =
0 得 (4,0)（定点）；②计算 和 ，代入韦达定理化简得和为 0。
2 2
图形描述： 中心在原点、焦点在 轴的椭圆 : + = 1（ = 2, = 3, = 1），左焦点
4 3
1( 1,0)，右焦点 2(1,0)；直线 过 2交椭圆于、 、 ；过 作 轴的垂线交椭圆于 ；连接
， 与 轴交于 。
参考答案：
x2 y2
第一问：椭圆方程为 + = 1；
4 3
16 复杂计算+严谨推理+熟练程度
高考数学丨第 21（次压轴题）最优解 17
第二问：① 的定点坐标为(4,0)；② + = 0（定值）得证。
18 题·2021·新高考Ⅱ卷·抛物线综合（切线+定值证明）
题目：抛物线焦点到准线距离为 2，点 ( 0, 0)在抛物线上，过 作切线 ，过 作 的垂线
交抛物线于、 、 ，证明| | | |为定值
核心技巧：①抛物线切线公式；②直线垂直的斜率关系；③韦达定理求根与系数关系；
④抛物线定义转化焦半径
易错点：①记错抛物线切线公式；②焦半径转化时遗漏 1 + 1 和 2 + 1；③化简| |
| |时未代入韦达定理；④忽略切线斜率不存在的情况
最优解法：
1. 第一问：由焦点到准线距离为 2 得 = 2，抛物线方程 2 = 4 ，焦点 (1,0)，点
( 0, 0)满足 20 = 4 0；
2. 2第二问：①抛物线在 处的切线 : 0 = 2( + 0)，斜率切 切 = ，则 的斜率 =0
0 ， 设 : = 0 ( 1) 8； ② 联 立 与 抛 物 线 得 2 + 4 = 0 ， 设 、
2 2 0
( 1, 1)、 ( 2, 2)，韦达定理得 1 + =
8
2 ， 1 2 = 4；③由抛物线定义，| | = 1 +0
1 =
2 2 2 2 2
1 + 1，| | = 2 + 1 =
2 + 1，化简得| | | | = ( 1 2) + 1+ 2 + 1，代入韦达定理得
4 4 16 4
定值。
图形描述：开口向右的抛物线 : 2 = 4 （ = 2），焦点 (1,0)，准线 = 1；点
( 0, 0)在抛物线上，过 的抛物线切线 ；过 作 的垂线交抛物线于、 、 ；连
接、 、 。
参考答案：
第一问：抛物线方程为y2 = 4x；
第二问：| | | |的定值为 4 得证。
19 题·2021·全国甲卷理科·椭圆综合（范围+存在性）
题目：椭圆过(2,0)和(0,1)，直线 过 (0,1)交椭圆于、 、 ，求| |的取值范围并判断
是否存在 使∠ = 90
核心技巧：①设而不求（韦达定理）求弦长；②向量数量积为 0证明垂直；③结合判别
式求参数范围；④基本不等式求弦长最值
易错点：①联立椭圆时遗漏判别式Δ > 0；②计算| |时化简错误；③由∠ = 90
转化为 = 0 时符号错误；④求弦长范围时未考虑斜率不存在的情况
最优解法：
2
1.第一问：由椭圆过(2,0) (0,1) 和 ，得 2 = 4， 2 = 1，椭圆方程 + 2 = 1；
4
2. 第二问：①设 : = + 1，联立椭圆得(1 + 4 2) 2 + 8 = 0，韦达定理得 1 + 2 =
2
8 2， 1 2 = 0，弦长正确公式| | = 1 + 2 | | =
8| | 1+
1 2 2 ；②结合Δ > 0 确定 1+4 1+4
的取值，利用换元法求| |范围；③由∠ = 90 得 = 1 2 + 1 2 = 0，代入
1 = 1 + 1、 2 = 2 + 1，解得 的值并判断存在性。
2
图形描述：中心在原点、焦点在 轴的椭圆 : + 2 = 1（ = 2, = 1, = 3），左焦
4
点 1( 3, 0)，右焦点 2( 3, 0)；直线 过定点 (0,1)交椭圆于、 、 ； 为坐标原点，
∠ 为原点与、 、 连线的夹角。
参考答案：
x2
第一问：椭圆方程为 + y2 = 1；
4
1
第二问：①| |的取值范围为[ 3, 2 2]；②存在 =± 使∠ = 90 得证。
2
20 题·2021·全国甲卷文科·立体几何综合（翻折+空间向量+体积最值）
题目： △ 中∠ = 90 ， = = 2，沿中线 翻折为△ ，使平面
⊥平面 ，证明 ⊥ 并求四面体 的体积最大值（ 为 上动点， 为 中
点）
18 复杂计算+严谨推理+熟练程度
高考数学丨第 21（次压轴题）最优解 19
核心技巧：①翻折问题的垂直关系不变性；②面面垂直的性质定理；③空间直角坐标系
的建立；④体积公式的参数化求最值
易错点：①翻折后混淆不变量和变量；②未利用面面垂直建立空间直角坐标系；③计算
1
三棱锥体积时遗漏 的系数；④求最值时未考虑 点的取值范围
3
最优解法：
1. 第一问：翻折前 为 △ 斜边中线，故 ⊥ ；翻折后 ⊥ 、 ⊥ ，
且 ∩ = ， 、 、 平 面 ， 得 ⊥ 平 面 ， 又 平 面 ，
故 ⊥ ；
2.第二问：①以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间
直角坐标系，设 = (0 ≤ ≤ 1)，得 点坐标；②求△ 的面积（定值），求点 到平
面 1的距离 （含参数 ）；③四面体体积 = △ ，转化为关于 的一次函数，求最3
大值。
图形描述：原图形为 △ （∠ = 90 ， = = 2）， 为 边上的中线
（ 为 中点）；沿 翻折△ ，使平面 ⊥平面 ，形成四面体 ； 为 上
的动点， 为 的中点；以 为顶点、△ 为底面构成四面体 。
参考答案：
第一问： ⊥ 得证；
1
第二问：四面体 的体积最大值为 （当 = 1 即 与 重合时取得）。
3
21 题·2021·全国乙卷理科·椭圆综合（定点+面积最值）
题目： 2椭圆 = 且 2 2 = 1，直线 过 1( 1,0)交椭圆于、 、 ，求△ 2的面积2
最大值并证明直线 过定点
核心技巧：①椭圆的基本性质求参数；②设而不求（韦达定理）求弦长；③点到直线的
距离公式；④换元法+基本不等式求面积最值
易错点：①由 2 2 = 1 和 = 2 1联立求解时计算错误；②计算△ 2的面积时遗漏2 2
的系数；③求最值时未验证等号成立条件；④忽略直线斜率不存在的情况
最优解法：
2 21. 第一问：由 = = 、 = 1 得 = 2， 2 = 2 2 = 1 ，椭圆方程 + 2 = 1，左
2 2
焦点 1( 1,0)，右焦点 2(1,0)；
2.第二问：①设 : = ( + 1)（斜率不存在时单独讨论，面积为 2），联立椭圆得(1 +
2 2
2 2) 2 + 4 2 + 2 2 2 = 0，韦达定理得 1 + 2 =
4 2 2
2， 1+2 1 2 = 2；②弦长 | | =1+2
1 + 2 2 2(1+
2) = 2 2(1+
2)
2 2 ， 点 2 到 直 线 =
|2 |
的 距 离 ； ③ 面 积 = 1 | | =
1+2 1+2 1+ 2 2
2 2| | 1+ 2
，令 = 1 + 2( ≥ 1)，换元后用基本不等式求最大值；④直线 过定点 (
1+2 2 1
1,0)，直接验证得证。
2
图形描述： 中心在原点、焦点在 轴的椭圆 : + 2 = 1（ = 2, = 1, = 1），左焦
2
点 1( 1,0)，右焦点 2(1,0)；直线 过 1交椭圆于、 、 ；连接、 2、 2形成△ 2。
参考答案：
x2
第一问：椭圆方程为 + y2 = 1；
2
2 6 2
第二问：①△ 2的面积最大值为 （当 =± 时取得）；②直线 过定点F3 2 1( 1,0)
得证。
22 题·2021·全国乙卷文科·导数基础综合（单调性+最值+零点问题）
题目：已知函数 ( ) = 3 2 + + 1( ∈ )，求 ( )的单调性并当 = 0 时判断 ( )
的零点个数及所在区间
核心技巧：①一次求导分析导函数的判别式；②分类讨论参数 的取值范围；③利用函数
单调性和零点存在定理判断零点；④求函数的极值点分析符号
易错点：①求导时幂函数的导数公式应用错误；②分类讨论 时遗漏Δ ≤ 0 的情况；③判
断零点时未计算关键点的函数值；④忽略函数的定义域为
最优解法：
20 复杂计算+严谨推理+熟练程度
高考数学丨第 21（次压轴题）最优解 21
1. 第一问：求导 ′( ) = 3 2 2 + ，判别式Δ = 4 12 Δ ≤ 0 ≥ 1，①当 即 时，
3
′( ) ≥ 0 1恒成立， ( )在 上单调递增；②当Δ > 0 即 < 时，令 ′( ) = 0，得
3 1,2
=
1± 1 3
，进而判断 ( )的单调区间；
3
2. 第二问：当 = 0 时， ( ) = 3 2 + 1，求导得 ′( ) = 3 2 2 ，分析单调性得
( )在( ∞, 0)、( 2 , + ∞) (0, 2递增， )递减，计算 ( 1) = 1， (0) = 1 ( 2 ) = 23， > 0，
3 3 3 27
由零点存在定理判断零点个数和区间。
参考答案：
第一问：① ≥ 1时， ( ) 1 1 1 3 在 上单调递增；② < 时， ( )在 ( ∞, )、
3 3 3
( 1+ 1 3 , + ∞) 1 1 3 1+ 1 3 单调递增，在( , )单调递减；
3 3 3
第二问：当 = 0 时， ( )有且仅有 1 个零点，且零点在区间( 1,0)内。