北师大版数学八年级下册 1.4线段的垂直平分线 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·越秀月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE．若AE=5，EC=3，则BC的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2026八上·金平期末） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AB的垂直平分线交AB 于D，交BC于E， 连结AE， 若CE=5， AC=12， BE=13， 则△ACE的周长为（ )
A．22 B．30 C．31 D．33
3．（2023八上·丹阳期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，，，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C． D．11
4．（2024八上·思明期末）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线是的垂直平分线
C．若，则直线是的垂直平分线
D．若，则直线是的垂直平分线
5．（2023八上·琼山期中）如图，，则有（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．平分
6．（2025八上·麦积期末）学期末数学复习时，教师要求学生回归教材，挖掘教材数学价值．再次研做教材第75页练习2时，在图形和现有已知条件下，这道题还隐含着丰富的数学信息，复习到更多的数学知识．以下四个叙述中错误的是（ ）
A．与是．因为已知，考查了直角三角形的定义
B．连接，则是等腰三角形．因为已经证明了，考查了等腰三角形的定义
C．连接，则是等边三角形．因为由图形可以直观发现，考查了等边三角形的定义
D．是线段的垂直平分线．考查了线段垂直平分线的判定定理
7．（2025八上·柯桥月考） 如图，在中，，DE垂直平分AB交于，交AB于，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2026八上·桂林期末） 如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，若△ABC的周长为23，CD=4，则△ABE的周长为 .
9．（2024八上·盱眙期中）如图，在中，，，的垂直平分线与相交于点，则的周长为 ．
10．（2025八下·成华期末）如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB，AC的垂直平分线分别与BC交于点D，E，若BC=4，则△ADE的周长是 .
二、能力提升
11．（2026八上·长沙期末）如图，在 中，DE是AC 的垂直平分线， 的周长为31，则 BC的长为（ ）
A．9 B．12 C．19 D．29
12．（2026八上·昌邑期末）如图，在ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
13．（2025八上·温州期中）如图，在等腰中，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，D为边的中点，点为线段上一动点，若，的面积为12，则周长的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
14．（2025八上·宝安月考）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB的中点，AE⊥BC交BC延长线于点E，射线DC，AE交于点F，若AE=3，EF=2，则△AFD的面积为 .
15．（2025八上·嵊州月期中） 如图，在中， ，，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交B于点N，交AC于点F，则MN的长为 cm.
16．（2026八上·宣化期末）如图，在 中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接．
（1）若 求 的度数；
（2）若的周长为， 求的周长．
17．（2025八上·温州开学考）如图，在△ABC中，∠ACB=9O°，点D在边AC上，AE⊥BD交BD的延长线于E.
（1）若AD是△BAE角平分线，说明∠ABD与∠CBD的数量关系：
（2）若点D同时在AB的垂直平分线上，求证CD=DE；
（3）若AC=BC，BD是∠ABC的角平分线，直接写出AE与BD的数量关系.
三、拓展创新
18．（2025八上·平武期中）如图，已知，，、相交于点E，这样的图形我们称为“筝形”．根据以上的条件，你能发现哪些结论？请直接写出4个你认为正确的结论（不再添辅助线，不再标注其它字母）．
19．（2026八上·海珠期末） 在△ABC中， ∠A=90°， AC=2， ∠ACB=60°， D为AB的延长线上一点， E为线段BC， BD的垂直平分线的交点，连接EC， EB， ED.
（1）如图1， BC的长为 .
（2）如图2，连接CD，请判断△CDE的形状，并说明理由.
（3）如图3，过点B作直线BF，使得∠BFD=∠BCE， P为直线BF上的一个动点，求PE-PD的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE＝5，
∴BC＝BE＋EC＝5＋3＝8，
故答案为：B．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，再利用线段的和差求解即可.
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵BE=13， AB的垂直平分线交AB 于D
∴BE=AE=13，
∵CE=5，AC=12，
∴△ACE的周长为30，
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离得到AE=13，再计算周长，解答即可.
3．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵直线m垂直平分BC，
∴BP=CP，
∴AP+PC=AP+BP≥AB，
∴△APC周长为AP+PC+AC=AP+BP+AC≥AB+AC，
∴△APC周长的最小值是．
故答案为：A．
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得BP=CP，则由等量代换及三角形三边关系得出AP+PC=AP+BP≥AB，进而根据两点之间线段最短得出AP+BP的最小值为AB，从而根据三角形周长计算公式得出△APC周长的最小值为AB+AC.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴点P在直线的垂直平分线上，
∴若，则直线是的垂直平分线，故C说法正确，符合题意
根据先有条件无法证明A、B、D中的结论，故A、B、D说法错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据垂直平分线判定定理即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：，，
点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
垂直平分．
故选：A．
【分析】先根据，结合垂直平分线的判定得到点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，从而即可求解。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：A、与是，考查了直角三角形的定义；本选项不符合题意；
B、连接．因为已经证明了，正确；本选项不符合题意；
C、连接．因为由图形可以直观发现，错误；本选项符合题意；
D、是线段的垂直平分线，正确，本选项不符合题意；．
故选：C．
【分析】根据直角三角形判定定理可判断A，根据等腰三角形判定定理可判断B，根据等边三角形判定定理可判断C，根据垂直平分线判定定理可判断D.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ DE垂直平分AB交于，
∴∠DAB=∠B，
∵∠C+∠CAD+∠DAB+∠B=180°，，，
∴.
故答案为：C .
【分析】根据垂直平分线的性质可得∠DAB=∠B，再根据三角形的内角和即可得出答案.
8．【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴，且。
∵，
∴。
∵的周长为23，即，
∴。
的周长为，
又∵，
∴。
故答案为：15
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出和AC的长度（AC = 2CD），将的周长通过等量代换转化为，再结合的周长求出的长度，即为的周长。
9．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线与相交于点，
∴，
∵，，
∴的周长为，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据三角形的周长公式进行计算即可求解.
10．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由垂直平分线可知：AD=BD，AE=EC，
△ADE周长=AD+AE+DE=BD+DE+EC=BC=4，
故答案为：4.
【分析】利用中垂线的性质，将周长中的AD和AE边转移即可.
11．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为31，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可．
12．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD
又∵CD平分∠ACB，∠A=50°，
∴∠ACB=2∠ACD=100°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-100°=30°，
故答案为：B.
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数.
13．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵D为边的中点，BC=4，
∴CD=2，
∵的周长，
∴当最小时，的周长最小，
∵是的垂直平分线，
∴两点关于对称，
∴，
连接，交于点，此时的周长最小，
∵，D为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：A．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得出两点关于对称，得出连接，交于点，从而得出此时的周长最小，利用等腰三角形的性质，得出，再利用三角形的面积公式求出，进而求出的周长的最小值，即可得出答案．
14．【答案】5134
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】
连接BF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=AB，又 AC=BC，
∴DF为AB的垂直平分线，
∴AF=BF，DF ⊥AB，
∵ AE=3，EF=2，
∴BF=AF= AE+EF=5，
在RTBEF中，
由勾股定理得：BF2=BE2+EF2=13，
∴BF=，
∴S △ABF=AFBE=，
∵AD=BD=AB，
∴S△ABF=ABDF=ADDF，
∴S△ABF=ADDF，
∴S△ABF=S△AFD= 5134 ， ∴S△AFD= 5134 .
故答案为：5134
【分析】连接BF，由已知先判定DF为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出AF=BF，DF ⊥AB，再在RTBEF中，运用勾股定理得出BF=，利用三角形面积公式可求出S △ABF=AFBE=，运用等面积法分别表示S △ABF=AFBE，S△ABF=ABDF，利用等量代换即可得出S△AFD的面积，即S△AFD= 5134 .
15．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AM、AN，
在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝18cm，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵EM是AB的垂直平分线，
∴BM＝AM，
∴∠B＝∠BAM＝30°，则∠AMN＝∠B+∠BAM＝60°，
同理AN＝CN，∠C＝∠CAN＝30°，则∠ANM＝∠C+∠CAN＝60°，
∴△AMN为等边三角形，
∴MN＝AM＝AN＝BM＝CN，
∵BC＝BM+MN+CN＝18（cm），
∴，
故答案为：6 .
【分析】连接AM、AN，由AB＝AC，∠A＝120°，可知∠B＝∠C＝30°由垂直平分线的性质可知，BM＝AM，∠B＝∠BAM＝30°，AN＝CN，∠C＝∠CAN＝30°，进而可知∠AMN＝∠ANM＝60°，可知△AMN为等边三角形，可知MN＝AM＝AN＝BM＝CN，再结合BC＝BM+MN+CN＝18cm可求结果．
16．【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，的周长为，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解析】（1）由于线段DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，因此。结合△ABC是等腰三角形，可求出的度数，进而得到结果。
（2）由题意可知△ABC是等腰三角形，因此。由于DE垂直平分AB，所以，进一步计算即可求解。
（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，的周长为，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
17．【答案】（1）解：∵AD是 △BAE 的角平分线
∴
∵ ∠ACB=9O° ， AE⊥BD
∴
∵∠ACB=9O°
∴
∴
（2）证明：∵点D在AB的垂直平分线上
∴DB=DA
在和中，
∴
∴CD=DE
（3）解：BD=2AE
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解析】解：(3)在和中，
∴
∴BD=AF
在和中，
∴
∴AF=2AE
∴BD=2AE
【分析】(1)由角平分线的概念可知，利用三角形内角和定理证明，由直角三角形的两个锐角和为90°等量代换可得；
(2)首先利用线段垂直平分线性质可知DB=DA，接着由AAS判定证明，从而得到对应边CD=DE；
(3)先证明，得到对应边BD=AF，再证明，得到AF=2AE，等量代换即得BD=2AE。
18．【答案】解：正确的结论可以为：，，，（答案不唯一）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：，，，
，
，即；
，，，
；
∵CD=CB，∠DCA=∠BCA，CE=CE，
∴△CDE≌△CBE（SAS）；
∵AD=AB，CD=CB，
∴直线AC就是BD的垂直平分线，
∴DE=BE.
【分析】开放性命题，答案不唯一；由“SSS”证△ADC≌△ABC，由全等三角形对应角相等得∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，从而可利用“SAS”判断出△ADE≌△ABE，△CDE≌△CBE；由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得点A、C在线段BD的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线得出AC就是BD的垂直平分线，据此即可得出答案.
19．【答案】（1）4
（2）解：△CDE为等边三角形，理由如下，
∵点E为线段CB，BD的垂直平分线的交点，
∴EC=EB=ED，
∴∠ECB=∠EBC，∠EBD=∠EDB.
∵∠CAB=90°，∠ACB=60°，
∴∠CBA=90°-60°=30°，
∴∠CBD=180°-30°=150°，
∴∠ECB+∠CBD+∠EDB=300°
∴∠CED=360°-300°=60°，
又∵EC=ED，
∴△CED为等边三角形
（3）解：连接CD，由(2)得，△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=60°， CD=DE，
如图，作点D关于直线BF的对称点D'，连接BD'，DD'，ED'.
∴PD=PD'，
∴ PE-PD=PE-PD'∵∠BFD+∠BFE=180°， ∠BFD=∠BCE，
∴∠BCE+∠BFE=180°，
∴∠CBF+∠CEF=180°.
∵∠CED=60°，
∴∠CBF=120°，
∴∠CBA=∠FBD=30°，
∴∠DBF=∠FBD'=30°，
∴∠DBD'=60°.
∵BD=BD'，
∴△BDD'是等边三角形，
∴ DB=DD' ， ∠BDD'=∠CDE=60°，
∴∠CDB=∠EDD'.
∴△CDB≌△EDD'(SAS)，
∴CB=ED'.
∵∠A=90°，∠CBA=30°，
∴CB=2CA，
∴ PE-PD=2CA=4.
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）在中， ∠A=90°，AC=2，∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2AC=4，
故答案为： 4；
【分析】（1）首先根据直角三角形的性质得出∠ABC=30°，进而根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出BC=2AC=4；
（2）△CDE为等边三角形，首先根据线段垂直平分线的性质得出EC=EB=ED，进而再根据四边形内角和求得∠CED=60°，即可得出△CED为等边三角形；
（3）如图，作点D关于直线BF的对称点D'，连接BD'，DD'，ED'.可得出PD=PD'，则点P在ED'的延长线上时， PE-PD的值最大， 此时PE-PD=ED'.进而根据SAS证得△CDB≌△EDD'，即可得出ED'=CB=4.
1 / 1北师大版数学八年级下册 1.4线段的垂直平分线 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·越秀月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE．若AE=5，EC=3，则BC的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE＝5，
∴BC＝BE＋EC＝5＋3＝8，
故答案为：B．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，再利用线段的和差求解即可.
2．（2026八上·金平期末） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AB的垂直平分线交AB 于D，交BC于E， 连结AE， 若CE=5， AC=12， BE=13， 则△ACE的周长为（ )
A．22 B．30 C．31 D．33
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵BE=13， AB的垂直平分线交AB 于D
∴BE=AE=13，
∵CE=5，AC=12，
∴△ACE的周长为30，
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离得到AE=13，再计算周长，解答即可.
3．（2023八上·丹阳期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，，，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C． D．11
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵直线m垂直平分BC，
∴BP=CP，
∴AP+PC=AP+BP≥AB，
∴△APC周长为AP+PC+AC=AP+BP+AC≥AB+AC，
∴△APC周长的最小值是．
故答案为：A．
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得BP=CP，则由等量代换及三角形三边关系得出AP+PC=AP+BP≥AB，进而根据两点之间线段最短得出AP+BP的最小值为AB，从而根据三角形周长计算公式得出△APC周长的最小值为AB+AC.
4．（2024八上·思明期末）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线是的垂直平分线
C．若，则直线是的垂直平分线
D．若，则直线是的垂直平分线
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴点P在直线的垂直平分线上，
∴若，则直线是的垂直平分线，故C说法正确，符合题意
根据先有条件无法证明A、B、D中的结论，故A、B、D说法错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据垂直平分线判定定理即可求出答案.
5．（2023八上·琼山期中）如图，，则有（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．平分
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：，，
点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
垂直平分．
故选：A．
【分析】先根据，结合垂直平分线的判定得到点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，从而即可求解。
6．（2025八上·麦积期末）学期末数学复习时，教师要求学生回归教材，挖掘教材数学价值．再次研做教材第75页练习2时，在图形和现有已知条件下，这道题还隐含着丰富的数学信息，复习到更多的数学知识．以下四个叙述中错误的是（ ）
A．与是．因为已知，考查了直角三角形的定义
B．连接，则是等腰三角形．因为已经证明了，考查了等腰三角形的定义
C．连接，则是等边三角形．因为由图形可以直观发现，考查了等边三角形的定义
D．是线段的垂直平分线．考查了线段垂直平分线的判定定理
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：A、与是，考查了直角三角形的定义；本选项不符合题意；
B、连接．因为已经证明了，正确；本选项不符合题意；
C、连接．因为由图形可以直观发现，错误；本选项符合题意；
D、是线段的垂直平分线，正确，本选项不符合题意；．
故选：C．
【分析】根据直角三角形判定定理可判断A，根据等腰三角形判定定理可判断B，根据等边三角形判定定理可判断C，根据垂直平分线判定定理可判断D.
7．（2025八上·柯桥月考） 如图，在中，，DE垂直平分AB交于，交AB于，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ DE垂直平分AB交于，
∴∠DAB=∠B，
∵∠C+∠CAD+∠DAB+∠B=180°，，，
∴.
故答案为：C .
【分析】根据垂直平分线的性质可得∠DAB=∠B，再根据三角形的内角和即可得出答案.
8．（2026八上·桂林期末） 如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，若△ABC的周长为23，CD=4，则△ABE的周长为 .
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴，且。
∵，
∴。
∵的周长为23，即，
∴。
的周长为，
又∵，
∴。
故答案为：15
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出和AC的长度（AC = 2CD），将的周长通过等量代换转化为，再结合的周长求出的长度，即为的周长。
9．（2024八上·盱眙期中）如图，在中，，，的垂直平分线与相交于点，则的周长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线与相交于点，
∴，
∵，，
∴的周长为，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据三角形的周长公式进行计算即可求解.
10．（2025八下·成华期末）如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB，AC的垂直平分线分别与BC交于点D，E，若BC=4，则△ADE的周长是 .
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由垂直平分线可知：AD=BD，AE=EC，
△ADE周长=AD+AE+DE=BD+DE+EC=BC=4，
故答案为：4.
【分析】利用中垂线的性质，将周长中的AD和AE边转移即可.
二、能力提升
11．（2026八上·长沙期末）如图，在 中，DE是AC 的垂直平分线， 的周长为31，则 BC的长为（ ）
A．9 B．12 C．19 D．29
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为31，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可．
12．（2026八上·昌邑期末）如图，在ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD
又∵CD平分∠ACB，∠A=50°，
∴∠ACB=2∠ACD=100°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-100°=30°，
故答案为：B.
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数.
13．（2025八上·温州期中）如图，在等腰中，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，D为边的中点，点为线段上一动点，若，的面积为12，则周长的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵D为边的中点，BC=4，
∴CD=2，
∵的周长，
∴当最小时，的周长最小，
∵是的垂直平分线，
∴两点关于对称，
∴，
连接，交于点，此时的周长最小，
∵，D为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：A．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得出两点关于对称，得出连接，交于点，从而得出此时的周长最小，利用等腰三角形的性质，得出，再利用三角形的面积公式求出，进而求出的周长的最小值，即可得出答案．
14．（2025八上·宝安月考）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB的中点，AE⊥BC交BC延长线于点E，射线DC，AE交于点F，若AE=3，EF=2，则△AFD的面积为 .
【答案】5134
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】
连接BF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=AB，又 AC=BC，
∴DF为AB的垂直平分线，
∴AF=BF，DF ⊥AB，
∵ AE=3，EF=2，
∴BF=AF= AE+EF=5，
在RTBEF中，
由勾股定理得：BF2=BE2+EF2=13，
∴BF=，
∴S △ABF=AFBE=，
∵AD=BD=AB，
∴S△ABF=ABDF=ADDF，
∴S△ABF=ADDF，
∴S△ABF=S△AFD= 5134 ， ∴S△AFD= 5134 .
故答案为：5134
【分析】连接BF，由已知先判定DF为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出AF=BF，DF ⊥AB，再在RTBEF中，运用勾股定理得出BF=，利用三角形面积公式可求出S △ABF=AFBE=，运用等面积法分别表示S △ABF=AFBE，S△ABF=ABDF，利用等量代换即可得出S△AFD的面积，即S△AFD= 5134 .
15．（2025八上·嵊州月期中） 如图，在中， ，，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交B于点N，交AC于点F，则MN的长为 cm.
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AM、AN，
在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝18cm，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵EM是AB的垂直平分线，
∴BM＝AM，
∴∠B＝∠BAM＝30°，则∠AMN＝∠B+∠BAM＝60°，
同理AN＝CN，∠C＝∠CAN＝30°，则∠ANM＝∠C+∠CAN＝60°，
∴△AMN为等边三角形，
∴MN＝AM＝AN＝BM＝CN，
∵BC＝BM+MN+CN＝18（cm），
∴，
故答案为：6 .
【分析】连接AM、AN，由AB＝AC，∠A＝120°，可知∠B＝∠C＝30°由垂直平分线的性质可知，BM＝AM，∠B＝∠BAM＝30°，AN＝CN，∠C＝∠CAN＝30°，进而可知∠AMN＝∠ANM＝60°，可知△AMN为等边三角形，可知MN＝AM＝AN＝BM＝CN，再结合BC＝BM+MN+CN＝18cm可求结果．
16．（2026八上·宣化期末）如图，在 中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接．
（1）若 求 的度数；
（2）若的周长为， 求的周长．
【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，的周长为，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解析】（1）由于线段DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，因此。结合△ABC是等腰三角形，可求出的度数，进而得到结果。
（2）由题意可知△ABC是等腰三角形，因此。由于DE垂直平分AB，所以，进一步计算即可求解。
（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，的周长为，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
17．（2025八上·温州开学考）如图，在△ABC中，∠ACB=9O°，点D在边AC上，AE⊥BD交BD的延长线于E.
（1）若AD是△BAE角平分线，说明∠ABD与∠CBD的数量关系：
（2）若点D同时在AB的垂直平分线上，求证CD=DE；
（3）若AC=BC，BD是∠ABC的角平分线，直接写出AE与BD的数量关系.
【答案】（1）解：∵AD是 △BAE 的角平分线
∴
∵ ∠ACB=9O° ， AE⊥BD
∴
∵∠ACB=9O°
∴
∴
（2）证明：∵点D在AB的垂直平分线上
∴DB=DA
在和中，
∴
∴CD=DE
（3）解：BD=2AE
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解析】解：(3)在和中，
∴
∴BD=AF
在和中，
∴
∴AF=2AE
∴BD=2AE
【分析】(1)由角平分线的概念可知，利用三角形内角和定理证明，由直角三角形的两个锐角和为90°等量代换可得；
(2)首先利用线段垂直平分线性质可知DB=DA，接着由AAS判定证明，从而得到对应边CD=DE；
(3)先证明，得到对应边BD=AF，再证明，得到AF=2AE，等量代换即得BD=2AE。
三、拓展创新
18．（2025八上·平武期中）如图，已知，，、相交于点E，这样的图形我们称为“筝形”．根据以上的条件，你能发现哪些结论？请直接写出4个你认为正确的结论（不再添辅助线，不再标注其它字母）．
【答案】解：正确的结论可以为：，，，（答案不唯一）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：，，，
，
，即；
，，，
；
∵CD=CB，∠DCA=∠BCA，CE=CE，
∴△CDE≌△CBE（SAS）；
∵AD=AB，CD=CB，
∴直线AC就是BD的垂直平分线，
∴DE=BE.
【分析】开放性命题，答案不唯一；由“SSS”证△ADC≌△ABC，由全等三角形对应角相等得∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，从而可利用“SAS”判断出△ADE≌△ABE，△CDE≌△CBE；由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得点A、C在线段BD的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线得出AC就是BD的垂直平分线，据此即可得出答案.
19．（2026八上·海珠期末） 在△ABC中， ∠A=90°， AC=2， ∠ACB=60°， D为AB的延长线上一点， E为线段BC， BD的垂直平分线的交点，连接EC， EB， ED.
（1）如图1， BC的长为 .
（2）如图2，连接CD，请判断△CDE的形状，并说明理由.
（3）如图3，过点B作直线BF，使得∠BFD=∠BCE， P为直线BF上的一个动点，求PE-PD的最大值.
【答案】（1）4
（2）解：△CDE为等边三角形，理由如下，
∵点E为线段CB，BD的垂直平分线的交点，
∴EC=EB=ED，
∴∠ECB=∠EBC，∠EBD=∠EDB.
∵∠CAB=90°，∠ACB=60°，
∴∠CBA=90°-60°=30°，
∴∠CBD=180°-30°=150°，
∴∠ECB+∠CBD+∠EDB=300°
∴∠CED=360°-300°=60°，
又∵EC=ED，
∴△CED为等边三角形
（3）解：连接CD，由(2)得，△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=60°， CD=DE，
如图，作点D关于直线BF的对称点D'，连接BD'，DD'，ED'.
∴PD=PD'，
∴ PE-PD=PE-PD'∵∠BFD+∠BFE=180°， ∠BFD=∠BCE，
∴∠BCE+∠BFE=180°，
∴∠CBF+∠CEF=180°.
∵∠CED=60°，
∴∠CBF=120°，
∴∠CBA=∠FBD=30°，
∴∠DBF=∠FBD'=30°，
∴∠DBD'=60°.
∵BD=BD'，
∴△BDD'是等边三角形，
∴ DB=DD' ， ∠BDD'=∠CDE=60°，
∴∠CDB=∠EDD'.
∴△CDB≌△EDD'(SAS)，
∴CB=ED'.
∵∠A=90°，∠CBA=30°，
∴CB=2CA，
∴ PE-PD=2CA=4.
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）在中， ∠A=90°，AC=2，∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2AC=4，
故答案为： 4；
【分析】（1）首先根据直角三角形的性质得出∠ABC=30°，进而根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出BC=2AC=4；
（2）△CDE为等边三角形，首先根据线段垂直平分线的性质得出EC=EB=ED，进而再根据四边形内角和求得∠CED=60°，即可得出△CED为等边三角形；
（3）如图，作点D关于直线BF的对称点D'，连接BD'，DD'，ED'.可得出PD=PD'，则点P在ED'的延长线上时， PE-PD的值最大， 此时PE-PD=ED'.进而根据SAS证得△CDB≌△EDD'，即可得出ED'=CB=4.
1 / 1
