北师大版数学八年级下册 1.4线段的垂直平分线 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026·黔南期末）观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是 ( )
A．作已知线段的垂直平分线
B．作一个角等于已知角
C．经过直线外一点作已知直线的垂线
D．作一个角的平分线
2．（2026八上·临海期末）如图，在△ABC中， ∠BAC的平分线AD交BC于点D， 分别以点A 和点D 为圆心， 大于 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ，交AB，AC于点E，F，下列结论不一定成立的是 ( )
A．AE=ED B．EF⊥AD C．AF∥ED D．∠AEF=∠EAD
3．（2025八上·道县期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则=（ ）
A． B． C． D．
4．（2025八上·睢县期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于（ ）
A．4 B．6 C．10 D．16
5．（2025八上·唐县期末）下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的作图过程．在作图过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（ ）
已知：如图，直线及外一点． 求作：经过点，且垂直于的直线． 作法；（1）以点为圆心，适当的长为半径画弧，交直线于点． （2）分别以点为圆心，适当的长为半径，在直线的另一侧画弧，两弧交于点． （3）过点作直线，直线为所求．
A．这两个“适当的长”相等
B．（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离
C．（2）中“适当的长”指等于线段的长
D．（2）中“适当的长”指大于点到直线的距离
6．（2025八上·攸县期末）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025八上·杭州期中）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025八上·临平期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC=2cm， ∠A=108°， 通过观察尺规作图的痕迹， 可以求得CD 长度为 cm。
9．（2025八上·隆回期末）如图，在中，的垂直平分线交、于点、，，的周长为，则 ．
10．（2025八下·茂名期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，，则的周长为 ．
二、能力提升
11．（2026八上·广州期末） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， 若 根据作图痕迹可知，△BDE 的周长是( )
A． B． C．10 D．12
12．（2026八上·广州期末）如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的( )
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处
13．（2026八上·宁波期末） 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=6， BC=8， 以点A为圆心， AC长为半径画弧， 交AB 于点D，再分别以B、D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、BC于点E、F， 则线段BE的长为( )
A．1 B． C．2 D．
14．（2026八上·宁波期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连结MN交AB于点E，若AB=18， AC=10， 则△ADE的周长为 .
15．（2025八上·黔南期末）如图，在中，，且点在外，且点在的垂直平分线上，连接，若，，则的度数为 ．
16．（2025八下·龙岗期中）如图，在中，．
（1）实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
（2）猜想与证明：在（1）的条件下，试判断与的数量关系，并加以证明．
17．（2025八上·泸县期中）如图所示，已知在中，为的垂直平分线，交于，交于，求的长．
三、拓展创新
18．（2025八上·播州期末）小明用下列方法作射线：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③画射线．射线即为所求．
（1）如图1，写出一组相等角或线段：___________；
（2）如图2，连接，试说明射线与线段的位置关系；
（3）如图3，的平分线与相交于点，请说明点在的平分线上．
19．（2025八上·荔湾月考）在中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q．
（1）如图，当时，求的度数．
（2）当满足什么条件时，？说明理由．
（3）在（2）的条件下，，求的周长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：由尺规作图的痕迹可得，该图的作法为经过直线外一点作已知直线的垂线．
故答案为：C．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可.
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由作图知EF垂直平分AD
∴AE=DE，FA=FD，故A、B正确；
∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠FAD
∴∠FAD=∠EDA
∴AF||ED，故C正确；
∠AEF与∠EAD不一定相等，故D错误；
故答案：D.
【分析】由作图知EF垂直平分AD，知∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA结合角平分线得∠FAD=∠EDA，即有AF||DE，由此可判定A、B、C正确，而D不一定成立.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据作图可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据线段垂直平分线尺规作图得到垂直平分，得，从而根据等腰三角形”等边对等角“性质得，进而根据三角形外角性质得，于是得，然后利用三角形内角和定理求出，根据，即可求解．
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DC＝DB，
∴△ADC的周长＝AC+AD+DC＝AC+AD+DB＝AC+AB＝16，
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等得到DC＝DB，进行计算即可.
5．【答案】B
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可知（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离；
（2）中“适当的长”指大于线段的长的一半，
四个选项说法中，只有B选项正确，
故选：B．
【分析】
（1）中“适当的长” ：以点P为圆心画弧，要使弧与直线AB有两个交点C、D，则这个半径（即“适当的长”）必须大于点P到直线AB的距离，否则弧与直线AB可能没有交点或只有一个交点，所以（1）中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离；（2）中“适当的长” ：分别以点C、D为圆心画弧，要使两弧在直线AB的另一侧有交点Q，则这两个半径（即“适当的长”）必须大于的长，若等于或小于的长，两弧可能没有交点或交点在直线AB上，而不是在直线AB另一侧。根据每次画弧要达到的目的（即与其他图形有特定位置的交点），来确定“适当的长”的范围，进而判断各个选项的正确性。
6．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：且，
，
，
点是线段中垂线与的交点，
故选：B．
【分析】由且知，根据等角对等边可知，由线段的中垂线的性质，中垂线上的一点到线段两端的距离相等，则分别以B、C为顶点，大于BC一半画弧，连接两个交点即可．
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意，，
由图可知，，
∴，
故符合要求的作图是作线段的垂直平分线，
由作图痕迹可知，只有B选项符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据题意，结合图形分析可得点P满足PA=PB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得点P在线段AB得垂直平分线上，故只需作线段AB的垂直平分线，该线与BC的交点就是所求的点P，进而利用尺规作线段垂直平分线的方法逐一分析即可得出结论．
8．【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，由作图痕迹知D在线段AB的垂直平分线上，
∵DA=DB
∴∠DAB=∠DBA
∵AB=AC，∠A=108°
∴∠ABC=∠ACB=
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=108°-36°=72°
∵∠ADC为△ABD的外角
∴∠ADC=∠DAB+∠DBA=36°+36°=72°
∴∠CDA=∠CAD
∴CD=AC=2cm
故答案：2.
【分析】由垂直平分线的性质得∠DAB=∠DBA，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=36°，由此得∠CAD=∠CDA，即CD=AC.
9．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，，
，，
的周长为，
，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得，，利用三角形的周长公式可得，即可求解．
10．【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得为的垂直平分线，
∴，
∴的周长为：，
∵，，
∴的周长为：；
故答案为：19．
【分析】由尺规作图可知，为的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，再根据三角形周长即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，
∵ ∠C=90°，
∴DC=DE，
∴ △BDE 的周长=BD+BE+BE=BD+DC+BE=BC+BE，
又AD=AD，∠C=∠DEA=90°，
∴
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∴ △BDE 的周长=AE+BE=AB=10.
故答案为： C.
【分析】由作图可知：AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，进而根据角平分线的性质，可得出DC=DE，即可得出 △BDE 的周长=BD+BE+BE=BD+DC+BE=BC+BE，再根据HL可得出，得出AC=AE，即可得出△BDE 的周长=AE+BE=AB=10.
12．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意： 发射塔到三个村庄的距离相等，
∴ 信号发射塔应建在△ABC的 三条垂直平分线的交点处
故答案为：D .
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得出到三个村庄的距离相等的发射塔应该在△ABC的 三条垂直平分线的交点处 。
13．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由作图可知：，，
在中，，
∴，
，
故选：C．
【分析】根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，在中，由勾股定理得到，由，，即可求解，
14．【答案】28
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，
∴，
∵以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
故答案为：28 ．
【分析】根据作法可得，为的垂直平分线，即可得到，再根据三角形的周长求解即可．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过作，交的延长线于，过作于，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
【分析】本题做出辅助线后，先利用垂直平分线的定义以及条件，可以得出，然后利用含角直角三角形的性质得出，从而得出；接着利用HL证明，从而结合全等三角形性质得出，然后计算可以求出的度数，最后根据等腰三角形的内角和，即可求出的度数．
16．【答案】（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：，证明如下：
由图可知，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题考查尺规作图（垂线）与等腰三角形性质、三角形内角和定理。
（1）尺规作高：以为圆心画弧交于两点，再以这两点为圆心画弧交于一点，连接与该点交于，即为高（保留痕迹）。
（2）要判断数量关系，先由得，在中，；因为，所以，由三角形内角和得；联立两式，整理得。
（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：，证明如下：
由图可知，
，
，
，
，
，
，
．
17．【答案】解：连接，
∵，，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】连接AF，先利用等腰三角形的性质求出底角∠B和∠C的度数，再根据垂直平分线的性质得到AF=BF以及∠BAF的度数，进而求出∠CAF的度数。然后在Rt△ACF中，根据直角三角形中30°角所对直角边与斜边的关系求出FC的长度，最后通过BC=BF+FC求出BC的长度。
18．【答案】（1）或
（2）解：由（1）知，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴点在的平分线上．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）由作图方法可得，，
故答案为：或；
【分析】
（1）由作图方法 ① 可得，由作图方法 ②可得作的是的平分线得到，解答即可；
（2）先证是等腰三角形，由等腰三角形三线合一即可解答；
（3）连接，先用可证明，根据全等三角形的性质得，进而得到，由等边对等角得，进而得到，由角平分线的定义结合角的和差求出，进而得到，即可说明点在的平分线上，解答即可．
（1）解：由作图方法可得，，
故答案为：或；
（2）解：由（1）知，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴点在的平分线上．
19．【答案】（1）解：∵分别是的垂直平分线，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
．
（2）解：当时，．理由如下：
如图，由(1)，得．
．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴时，．
（3）解：周长．
∵，
∴的 周长．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】
本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、垂直的定义、三角形周长计算公式、等腰三角形的性质，熟知以上性质是解题的关键．（1）由题意得：MP、NQ分别是线段AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得：AP=BP，AQ=CQ，根据等腰三角形的性质：等边对等角可得：．再由三角形内角和定理可得：∠BAC+∠B+∠C=180°，结合∠BAC=80°可得：∠B+∠C=100°．由角的和差运算可知：等量代换得：∠PAQ=∠B+∠C-∠BAC=100°-80°=20°，由此可得出答案；
（2）由(1)得： ，根据三角形内角和定理可得：∠B+∠C=180°-∠BAC，∠BAP+∠CAQ=180°=∠PAQ，由垂直的定义可得：∠PAQ=90°，即，移项合并得，由此可得出答案；
（3）由，根据三角形周长计算公式可知：△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，代入数据即可得出答案.
（1）解：∵分别是的垂直平分线，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
．
（2）解：当时，．
理由如下：
如图，由(1)，得．
．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴时，．
（3）解：周长．
∵，
∴的 周长．
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一、夯实基础
1．（2026·黔南期末）观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是 ( )
A．作已知线段的垂直平分线
B．作一个角等于已知角
C．经过直线外一点作已知直线的垂线
D．作一个角的平分线
【答案】C
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：由尺规作图的痕迹可得，该图的作法为经过直线外一点作已知直线的垂线．
故答案为：C．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可.
2．（2026八上·临海期末）如图，在△ABC中， ∠BAC的平分线AD交BC于点D， 分别以点A 和点D 为圆心， 大于 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ，交AB，AC于点E，F，下列结论不一定成立的是 ( )
A．AE=ED B．EF⊥AD C．AF∥ED D．∠AEF=∠EAD
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由作图知EF垂直平分AD
∴AE=DE，FA=FD，故A、B正确；
∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠FAD
∴∠FAD=∠EDA
∴AF||ED，故C正确；
∠AEF与∠EAD不一定相等，故D错误；
故答案：D.
【分析】由作图知EF垂直平分AD，知∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA结合角平分线得∠FAD=∠EDA，即有AF||DE，由此可判定A、B、C正确，而D不一定成立.
3．（2025八上·道县期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据作图可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据线段垂直平分线尺规作图得到垂直平分，得，从而根据等腰三角形”等边对等角“性质得，进而根据三角形外角性质得，于是得，然后利用三角形内角和定理求出，根据，即可求解．
4．（2025八上·睢县期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于（ ）
A．4 B．6 C．10 D．16
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DC＝DB，
∴△ADC的周长＝AC+AD+DC＝AC+AD+DB＝AC+AB＝16，
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等得到DC＝DB，进行计算即可.
5．（2025八上·唐县期末）下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的作图过程．在作图过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（ ）
已知：如图，直线及外一点． 求作：经过点，且垂直于的直线． 作法；（1）以点为圆心，适当的长为半径画弧，交直线于点． （2）分别以点为圆心，适当的长为半径，在直线的另一侧画弧，两弧交于点． （3）过点作直线，直线为所求．
A．这两个“适当的长”相等
B．（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离
C．（2）中“适当的长”指等于线段的长
D．（2）中“适当的长”指大于点到直线的距离
【答案】B
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可知（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离；
（2）中“适当的长”指大于线段的长的一半，
四个选项说法中，只有B选项正确，
故选：B．
【分析】
（1）中“适当的长” ：以点P为圆心画弧，要使弧与直线AB有两个交点C、D，则这个半径（即“适当的长”）必须大于点P到直线AB的距离，否则弧与直线AB可能没有交点或只有一个交点，所以（1）中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离；（2）中“适当的长” ：分别以点C、D为圆心画弧，要使两弧在直线AB的另一侧有交点Q，则这两个半径（即“适当的长”）必须大于的长，若等于或小于的长，两弧可能没有交点或交点在直线AB上，而不是在直线AB另一侧。根据每次画弧要达到的目的（即与其他图形有特定位置的交点），来确定“适当的长”的范围，进而判断各个选项的正确性。
6．（2025八上·攸县期末）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：且，
，
，
点是线段中垂线与的交点，
故选：B．
【分析】由且知，根据等角对等边可知，由线段的中垂线的性质，中垂线上的一点到线段两端的距离相等，则分别以B、C为顶点，大于BC一半画弧，连接两个交点即可．
7．（2025八上·杭州期中）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意，，
由图可知，，
∴，
故符合要求的作图是作线段的垂直平分线，
由作图痕迹可知，只有B选项符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据题意，结合图形分析可得点P满足PA=PB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得点P在线段AB得垂直平分线上，故只需作线段AB的垂直平分线，该线与BC的交点就是所求的点P，进而利用尺规作线段垂直平分线的方法逐一分析即可得出结论．
8．（2025八上·临平期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC=2cm， ∠A=108°， 通过观察尺规作图的痕迹， 可以求得CD 长度为 cm。
【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，由作图痕迹知D在线段AB的垂直平分线上，
∵DA=DB
∴∠DAB=∠DBA
∵AB=AC，∠A=108°
∴∠ABC=∠ACB=
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=108°-36°=72°
∵∠ADC为△ABD的外角
∴∠ADC=∠DAB+∠DBA=36°+36°=72°
∴∠CDA=∠CAD
∴CD=AC=2cm
故答案：2.
【分析】由垂直平分线的性质得∠DAB=∠DBA，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=36°，由此得∠CAD=∠CDA，即CD=AC.
9．（2025八上·隆回期末）如图，在中，的垂直平分线交、于点、，，的周长为，则 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，，
，，
的周长为，
，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得，，利用三角形的周长公式可得，即可求解．
10．（2025八下·茂名期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，，则的周长为 ．
【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得为的垂直平分线，
∴，
∴的周长为：，
∵，，
∴的周长为：；
故答案为：19．
【分析】由尺规作图可知，为的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，再根据三角形周长即可求出答案.
二、能力提升
11．（2026八上·广州期末） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， 若 根据作图痕迹可知，△BDE 的周长是( )
A． B． C．10 D．12
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，
∵ ∠C=90°，
∴DC=DE，
∴ △BDE 的周长=BD+BE+BE=BD+DC+BE=BC+BE，
又AD=AD，∠C=∠DEA=90°，
∴
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∴ △BDE 的周长=AE+BE=AB=10.
故答案为： C.
【分析】由作图可知：AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，进而根据角平分线的性质，可得出DC=DE，即可得出 △BDE 的周长=BD+BE+BE=BD+DC+BE=BC+BE，再根据HL可得出，得出AC=AE，即可得出△BDE 的周长=AE+BE=AB=10.
12．（2026八上·广州期末）如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的( )
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意： 发射塔到三个村庄的距离相等，
∴ 信号发射塔应建在△ABC的 三条垂直平分线的交点处
故答案为：D .
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得出到三个村庄的距离相等的发射塔应该在△ABC的 三条垂直平分线的交点处 。
13．（2026八上·宁波期末） 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=6， BC=8， 以点A为圆心， AC长为半径画弧， 交AB 于点D，再分别以B、D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、BC于点E、F， 则线段BE的长为( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由作图可知：，，
在中，，
∴，
，
故选：C．
【分析】根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，在中，由勾股定理得到，由，，即可求解，
14．（2026八上·宁波期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连结MN交AB于点E，若AB=18， AC=10， 则△ADE的周长为 .
【答案】28
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，
∴，
∵以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
故答案为：28 ．
【分析】根据作法可得，为的垂直平分线，即可得到，再根据三角形的周长求解即可．
15．（2025八上·黔南期末）如图，在中，，且点在外，且点在的垂直平分线上，连接，若，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过作，交的延长线于，过作于，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
【分析】本题做出辅助线后，先利用垂直平分线的定义以及条件，可以得出，然后利用含角直角三角形的性质得出，从而得出；接着利用HL证明，从而结合全等三角形性质得出，然后计算可以求出的度数，最后根据等腰三角形的内角和，即可求出的度数．
16．（2025八下·龙岗期中）如图，在中，．
（1）实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
（2）猜想与证明：在（1）的条件下，试判断与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：，证明如下：
由图可知，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题考查尺规作图（垂线）与等腰三角形性质、三角形内角和定理。
（1）尺规作高：以为圆心画弧交于两点，再以这两点为圆心画弧交于一点，连接与该点交于，即为高（保留痕迹）。
（2）要判断数量关系，先由得，在中，；因为，所以，由三角形内角和得；联立两式，整理得。
（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：，证明如下：
由图可知，
，
，
，
，
，
，
．
17．（2025八上·泸县期中）如图所示，已知在中，为的垂直平分线，交于，交于，求的长．
【答案】解：连接，
∵，，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】连接AF，先利用等腰三角形的性质求出底角∠B和∠C的度数，再根据垂直平分线的性质得到AF=BF以及∠BAF的度数，进而求出∠CAF的度数。然后在Rt△ACF中，根据直角三角形中30°角所对直角边与斜边的关系求出FC的长度，最后通过BC=BF+FC求出BC的长度。
三、拓展创新
18．（2025八上·播州期末）小明用下列方法作射线：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③画射线．射线即为所求．
（1）如图1，写出一组相等角或线段：___________；
（2）如图2，连接，试说明射线与线段的位置关系；
（3）如图3，的平分线与相交于点，请说明点在的平分线上．
【答案】（1）或
（2）解：由（1）知，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴点在的平分线上．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）由作图方法可得，，
故答案为：或；
【分析】
（1）由作图方法 ① 可得，由作图方法 ②可得作的是的平分线得到，解答即可；
（2）先证是等腰三角形，由等腰三角形三线合一即可解答；
（3）连接，先用可证明，根据全等三角形的性质得，进而得到，由等边对等角得，进而得到，由角平分线的定义结合角的和差求出，进而得到，即可说明点在的平分线上，解答即可．
（1）解：由作图方法可得，，
故答案为：或；
（2）解：由（1）知，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴点在的平分线上．
19．（2025八上·荔湾月考）在中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q．
（1）如图，当时，求的度数．
（2）当满足什么条件时，？说明理由．
（3）在（2）的条件下，，求的周长．
【答案】（1）解：∵分别是的垂直平分线，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
．
（2）解：当时，．理由如下：
如图，由(1)，得．
．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴时，．
（3）解：周长．
∵，
∴的 周长．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】
本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、垂直的定义、三角形周长计算公式、等腰三角形的性质，熟知以上性质是解题的关键．（1）由题意得：MP、NQ分别是线段AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得：AP=BP，AQ=CQ，根据等腰三角形的性质：等边对等角可得：．再由三角形内角和定理可得：∠BAC+∠B+∠C=180°，结合∠BAC=80°可得：∠B+∠C=100°．由角的和差运算可知：等量代换得：∠PAQ=∠B+∠C-∠BAC=100°-80°=20°，由此可得出答案；
（2）由(1)得： ，根据三角形内角和定理可得：∠B+∠C=180°-∠BAC，∠BAP+∠CAQ=180°=∠PAQ，由垂直的定义可得：∠PAQ=90°，即，移项合并得，由此可得出答案；
（3）由，根据三角形周长计算公式可知：△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，代入数据即可得出答案.
（1）解：∵分别是的垂直平分线，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
．
（2）解：当时，．
理由如下：
如图，由(1)，得．
．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴时，．
（3）解：周长．
∵，
∴的 周长．
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