北师大版数学八年级下册 1.5角平分线 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·岷县期末）如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA 于点C，点 D 在OB 上，若 PC=3，OD=6，则△POD 的面积为 （ )
A．3 B．6 C．9 D．18
2．（2026八上·南宁期末）如图， AD平分∠BAC， P是 AD 上的一点， 过点 P作 PE⊥AC， 垂足为 E， PE=3，则点 P到 AB的距离是 （ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
3．（2026八上·德惠期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若BD=6，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2025八上·绍兴期中）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角尺的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．BC边的中垂线上 B．AC边的高上
C．∠A的平分线上 D．AB边的中线上
5．（2024八上·乌鲁木齐期中）如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2025八上·东莞期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD=4cm，BD平分∠ABC，则点D到直线AB的距离为（ ）
A．2cm B．4cm C．1cm D．3cm
7．（2026八上·祁东期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是 ．
8．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高线，BE平分，交CD于点E，BC=6，若△BCE的面积为9，则DE的长为 。
9．（2026八上·昌邑期末）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为 ．
二、能力提升
10．（2026八上·涪城期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠ACD=∠B B．CH=HD C．CH=CE D．AC=AF
11．（2026八上·金平期末） 如图， 已知△ABC的周长是48cm， ∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， OD⊥BC于点D， 若OD=3.5cm， 则△ABC的面积是（ )cm2
A．84 B．48 C．42 D．24
12．（2025八上·东阳月考）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，若AB=6，AD=4，S△ABC=6.则△ACD的面积为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
13．（2025八上·潮阳月考）如图，是的外角的平分线，，于点．若，，则的长为
14．（2025八下·龙岗期中）已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则 ．
15．（2025八上·温州期中） 小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则 ．
16．（2026八上·宁波期末） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AD 是∠CAB 的角平分线， 于E，点F在边AC上，连接DF，若DF=DB.
（1） 试说明∠B 与∠CFD 的数量关系；
（2） 若AB=8， AF=5， 求BE的长.
17．（2025八上·余姚期中）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE．
（2）若CF＝2，CE＝3，求DE的长．
三、拓展创新
18．（2025八上·宝安月考）
（1）如图1，四边形ABCD中，若连接CA，则CA平分，某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE=BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明.请你参考他们的想法，写出完整的证明过程.
（2）借助上一问的尝试，继续探究：如图2所示，在五边形ABCDE中，，连接CA，CA平分吗 请说明理由.
19．（2026八上·岷县期末）已知∠MON=α，P 是∠MON 平分线上的一点，点 A 在射线OM 上，作∠APB=180°-α，交直线ON 于点B，作 PC⊥ON 于点C.
（1）如图1，若∠MON=90°，连接AB，作 PD⊥OM 于点D，则 PA 和PB 的数量关系是 .
（2）如图2，若∠MON=120°，连接AB，试判断△PAB 的形状，并说明理由.
（3）如图3，当∠MON=60°，点 B 在射线ON 的反向延长线上时，判断线段OC，OA 及BC之间的数量关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E
∵OP 平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB
∴PE=PC=3
∴
故答案为：C
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线定义可得PE=PC=3，再根据三角形面积即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC， 过点 P作 PE⊥AC， 垂足为 E，PE=3
∴PF=PE=3
即 则点 P到 AB的距离是 3.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质定理即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BC=8，BD=6
∴CD=BC-BD=8-6=2
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE⊥AB
∴DE=DC=2
故答案为：A .
【分析】先求出CD的长，由角平分线的性质可得DE的长.
4．【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵MF⊥AC，ME⊥AB，MF=ME，
∴点M在∠AD的平分线上.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的判定即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过作于，于，于，则，
∵的外角的平分线与相交于点P，
∴，
∴点P到的距离为3，
故答案为：B．
【分析】 过作于，于，于，由角平分线上的点到角两边的距离相等得，从而即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：如图：过点D作DE，
∵ ∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=4cm，
∴DE=CD=4，
∴点D到直线AB的距离为 4cm
故答案为：B
【分析】先过点D作DE，根据角平分线的性质定理可得DE=CD=4，再由点D到直线AB的距离为DE，解答即可.
7．【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，、
∴DE=DF=2，
∴，
∵△ABC的面积为10，
∴△ADC的面积为10-4=6，
∴1AC×DF=6
∴AC=6
故答案为：6.
【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案.
8．【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F
∵BE平分∠ABC，∠BDE=∠BFE=90°
∴DE=EF
∵
∴
解得：EF=3
∴DE=3
故答案为：3
【分析】过点E作EF⊥BC于点F，根据角平分线性质可得DE=EF，再根据三角形面积即可求出答案.
9．【答案】7.5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB，
∴AD=DE=3，
又∵BC=5，
∴.
故答案为：7.5.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB，得出AD=DE=3，然后利用三角形面积即可.
10．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°
∴∠ACD=∠B，
故A正确；
作HL⊥AC于点L，则CH>HL，
∵∠BAC的平分线AE交CD于H，HD⊥AB，HL⊥AC，
∴HD=HL，
∴CH>HD
故B不正确
∵∠ACD=∠B，∠CAE=∠BAE
∴∠CHE=∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAE=∠CEH，
∴CH=CE，
故C正确；
∵EF⊥AB于F，
∴∠ACE=∠AFE=90°
在△ACE和△AFE中，
∴△ACE≌△AFE (AAS)，
∴AC=AF，
故D正确；
故答案为：B.
【分析】由Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，得∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，由∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，推导出∠ACD=∠B，可判断A正确；作HL⊥AC于点L，则CH>HL，由角平分线的性质得HD=HL，则CH>HD，可判断B不正确；由∠ACD=∠B，∠CAE=∠BAE，推导出∠CHE=∠CEH，则CH=CE，可判断C正确；再证明△ACE≌△AFE，得AC=AF，可判断D正确，于是得到问题的答案.
11．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，如图所示：
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且ODBC，
∴OE=OD=OF
∵OD=3.5cm，ABC的周长是48cm，
∴SABC=SBOC+SAOB+ SAOC
=AB·OE+AC·OF+BC·OD
=(AB+AC+BC).OD
=x48x35
=84cm2；
故答案为：A.
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，根据角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，从而得到将ABC分成三个等高的三角形，将三角形分成3个三角形将它们的面积相加，利用面积公式计算即可解答..
12．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：解：如图，过C作CH⊥AD于H，
∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CH⊥AD，
∴CH=CE，
∵△ABC的面积=AB CE=6，AB=6，
∴CE=2，
∵CH=CE，
∴CH=2，
∴△ACD的面积=AD CH=×4×2=4．
故选：D．
【分析】过C作CH⊥AD于H，由角平分线的性质易得CH=CE，根据三角形的面积计算可得CE=2，利用面积公式即可计算出△ACD的面积．
13．【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∵是的角平分线，
在和中，
，
，
，
在和中，
故答案为：6
【分析】过点作于，根据角平分线性质可得DE=DF，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵是的平分线，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
故答案为：4．
【分析】本题考查角平分线的性质和含角直角三角形的性质。过作于，因为是的平分线，且、，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得；在中，、，故，而（对顶角相等），因此；在中，角对的直角边是斜边的一半，即，故。
15．【答案】
【知识点】角平分线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接OM，作MI⊥OB于点I，
∵EM=EI，EI⊥OB，EM⊥OE
∴OM平分∠BOE
∵EF=EM，OE⊥FM
∴OE平分∠MOF
∵∠AOB=66°
∴∠EOF=∠EOM=∠IOM=22°
∴∠EOB=44°
故答案：44°.
【分析】由题意知ME=MI，由此可得OM平分∠BOE，同时根据“三线合一”可得OE平分∠MOF，由此可得∠EOB的度数.
16．【答案】（1）解：，理由如下：
∵是的角平分线，，，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∵，，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得，进一步可证，得到，即可求解；
（2）证得，结合可得即可求解．
17．【答案】（1）证明：∵AD∥EB，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵△ADC≌△BCE，
∴CD＝CE，
∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF．
在Rt△CEF中，CF＝2，CE＝3，
由勾股定理得：EF，
∴．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由AD||EB得A=B，由此可证明 △ADC≌△BCE；
(2)由全等的性质知CD=CE，结合角平分线的性质得DF=EF，由勾股定理得EF的长，即得DE的长.
18．【答案】（1）证明：∵∠B+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADE，
∴在和中，
，
∴≌（SAS），
∴∠ACB=∠E，AC=AE，
∴为等腰三角形，
∴∠ACE=∠E，
∴∠ACB=∠ACE，
∴CA平分∠BCD.
（2）证明：延长CB，使BP=DE，连接AP，AD.
∵∠B+∠AED=180°，∠B+∠ABP=180°，
∴∠AED=∠ABP，
∴在和中，
，
∴≌（SAS），
∴AP=AD，BP=DE，
又CD=BC+DE=BC+BP=CP，
即CD=CP，
∴在和中，
，
∴≌（SSS），
∴∠ACP=∠ACD，
∴CA平分∠BCD.
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)运用同角的补角相等得出∠B=∠ADE，运用三角形全等的判定（边角边）可证明≌，根据三角形全等的性质及等量代换得到∠ACB=∠ACE，由角平分线的定义即证明得到CA平分∠BCD，由角平分线的定义即可证明CA平分∠BCD.
（2）延长CB，使BP=DE，连接AP，AD.运用同角的补角相等得出∠AED=∠ABP，运用三角形全等的判定（边角边）可证明≌，根据三角形全等的性质及等量代换得到AP=AD，CD=CP，再次运用三角形全等的判定（边边边）可证明≌，根据三角形全等的性质得∠ACP=∠ACD，由角平分线的定义即可证明CA平分∠BCD.
19．【答案】（1）PA=PB
（2）解：△PAB为等边三角形.
理由：如图，作PD⊥OM于点D，
∵∠PCO=∠PDO=90°，
∴180°
∴∠APD=∠BPC，
∵点 P 在∠MON 的平分线上，且 PC⊥ON，PD⊥OM，
∴PC=PD，
∴△APD≌△BPC（ASA)，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB 为等边三角形.
（3）解：OA=BC+OC.
理由如下：如图，作 PD⊥OM 于点D，
同（1）可证△APD≌△BPC，
∴AD=BC，
∵点 P 在∠MON 的平分线上，且 PC⊥ON 于点C，
∴PC=PD，
在Rt△OPD 和Rt△OPC 中，
∴Rt△OPD≌RtOPC(HL)
∴OC=OD，
∴OA-AD=OD=OC，
∴OA-BC=OC，
即OA=BC+OC.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：（1）∵点P是∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于点C
∴PC=PD
∵∠MON=90°
∴∠APB=90°，∠CPD=90°
∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°
∴∠APD=∠BPC
∵∠PDA=∠PCB=90°
在△APD和△BPC中
∴△APD≌△BPC(ASA)
∴PA=PB
故答案为：PA=PB
【分析】（1）根据角平分线性质可得PC=PD，再根据角之间的关系可得∠APD=∠BPC，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）作PD⊥OM于点D，根据补角可得∠APB，根据角平分线定义可得∠POA，再根据角之间的关系可得∠APD=∠BPC，根据角平分线性质可得PC=PD，再根据全等三角形判定定理可得△APD≌△BPC（ASA)，则PA=PB，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（3）作 PD⊥OM 于点D，同（1）可证△APD≌△BPC，则AD=BC，根据角平分线性质可得PC=PD，再根据全等三角形判定定理可得Rt△OPD≌Rt△OPC(HL)，则OC=OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1北师大版数学八年级下册 1.5角平分线 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·岷县期末）如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA 于点C，点 D 在OB 上，若 PC=3，OD=6，则△POD 的面积为 （ )
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E
∵OP 平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB
∴PE=PC=3
∴
故答案为：C
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线定义可得PE=PC=3，再根据三角形面积即可求出答案.
2．（2026八上·南宁期末）如图， AD平分∠BAC， P是 AD 上的一点， 过点 P作 PE⊥AC， 垂足为 E， PE=3，则点 P到 AB的距离是 （ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC， 过点 P作 PE⊥AC， 垂足为 E，PE=3
∴PF=PE=3
即 则点 P到 AB的距离是 3.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质定理即可得出答案。
3．（2026八上·德惠期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若BD=6，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BC=8，BD=6
∴CD=BC-BD=8-6=2
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE⊥AB
∴DE=DC=2
故答案为：A .
【分析】先求出CD的长，由角平分线的性质可得DE的长.
4．（2025八上·绍兴期中）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角尺的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．BC边的中垂线上 B．AC边的高上
C．∠A的平分线上 D．AB边的中线上
【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵MF⊥AC，ME⊥AB，MF=ME，
∴点M在∠AD的平分线上.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的判定即可得出答案.
5．（2024八上·乌鲁木齐期中）如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过作于，于，于，则，
∵的外角的平分线与相交于点P，
∴，
∴点P到的距离为3，
故答案为：B．
【分析】 过作于，于，于，由角平分线上的点到角两边的距离相等得，从而即可得出答案.
6．（2025八上·东莞期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD=4cm，BD平分∠ABC，则点D到直线AB的距离为（ ）
A．2cm B．4cm C．1cm D．3cm
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：如图：过点D作DE，
∵ ∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=4cm，
∴DE=CD=4，
∴点D到直线AB的距离为 4cm
故答案为：B
【分析】先过点D作DE，根据角平分线的性质定理可得DE=CD=4，再由点D到直线AB的距离为DE，解答即可.
7．（2026八上·祁东期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是 ．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，、
∴DE=DF=2，
∴，
∵△ABC的面积为10，
∴△ADC的面积为10-4=6，
∴1AC×DF=6
∴AC=6
故答案为：6.
【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案.
8．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高线，BE平分，交CD于点E，BC=6，若△BCE的面积为9，则DE的长为 。
【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F
∵BE平分∠ABC，∠BDE=∠BFE=90°
∴DE=EF
∵
∴
解得：EF=3
∴DE=3
故答案为：3
【分析】过点E作EF⊥BC于点F，根据角平分线性质可得DE=EF，再根据三角形面积即可求出答案.
9．（2026八上·昌邑期末）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为 ．
【答案】7.5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB，
∴AD=DE=3，
又∵BC=5，
∴.
故答案为：7.5.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB，得出AD=DE=3，然后利用三角形面积即可.
二、能力提升
10．（2026八上·涪城期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠ACD=∠B B．CH=HD C．CH=CE D．AC=AF
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°
∴∠ACD=∠B，
故A正确；
作HL⊥AC于点L，则CH>HL，
∵∠BAC的平分线AE交CD于H，HD⊥AB，HL⊥AC，
∴HD=HL，
∴CH>HD
故B不正确
∵∠ACD=∠B，∠CAE=∠BAE
∴∠CHE=∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAE=∠CEH，
∴CH=CE，
故C正确；
∵EF⊥AB于F，
∴∠ACE=∠AFE=90°
在△ACE和△AFE中，
∴△ACE≌△AFE (AAS)，
∴AC=AF，
故D正确；
故答案为：B.
【分析】由Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，得∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，由∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，推导出∠ACD=∠B，可判断A正确；作HL⊥AC于点L，则CH>HL，由角平分线的性质得HD=HL，则CH>HD，可判断B不正确；由∠ACD=∠B，∠CAE=∠BAE，推导出∠CHE=∠CEH，则CH=CE，可判断C正确；再证明△ACE≌△AFE，得AC=AF，可判断D正确，于是得到问题的答案.
11．（2026八上·金平期末） 如图， 已知△ABC的周长是48cm， ∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， OD⊥BC于点D， 若OD=3.5cm， 则△ABC的面积是（ )cm2
A．84 B．48 C．42 D．24
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，如图所示：
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且ODBC，
∴OE=OD=OF
∵OD=3.5cm，ABC的周长是48cm，
∴SABC=SBOC+SAOB+ SAOC
=AB·OE+AC·OF+BC·OD
=(AB+AC+BC).OD
=x48x35
=84cm2；
故答案为：A.
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，根据角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，从而得到将ABC分成三个等高的三角形，将三角形分成3个三角形将它们的面积相加，利用面积公式计算即可解答..
12．（2025八上·东阳月考）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，若AB=6，AD=4，S△ABC=6.则△ACD的面积为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：解：如图，过C作CH⊥AD于H，
∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CH⊥AD，
∴CH=CE，
∵△ABC的面积=AB CE=6，AB=6，
∴CE=2，
∵CH=CE，
∴CH=2，
∴△ACD的面积=AD CH=×4×2=4．
故选：D．
【分析】过C作CH⊥AD于H，由角平分线的性质易得CH=CE，根据三角形的面积计算可得CE=2，利用面积公式即可计算出△ACD的面积．
13．（2025八上·潮阳月考）如图，是的外角的平分线，，于点．若，，则的长为
【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∵是的角平分线，
在和中，
，
，
，
在和中，
故答案为：6
【分析】过点作于，根据角平分线性质可得DE=DF，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．（2025八下·龙岗期中）已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则 ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵是的平分线，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
故答案为：4．
【分析】本题考查角平分线的性质和含角直角三角形的性质。过作于，因为是的平分线，且、，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得；在中，、，故，而（对顶角相等），因此；在中，角对的直角边是斜边的一半，即，故。
15．（2025八上·温州期中） 小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则 ．
【答案】
【知识点】角平分线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接OM，作MI⊥OB于点I，
∵EM=EI，EI⊥OB，EM⊥OE
∴OM平分∠BOE
∵EF=EM，OE⊥FM
∴OE平分∠MOF
∵∠AOB=66°
∴∠EOF=∠EOM=∠IOM=22°
∴∠EOB=44°
故答案：44°.
【分析】由题意知ME=MI，由此可得OM平分∠BOE，同时根据“三线合一”可得OE平分∠MOF，由此可得∠EOB的度数.
16．（2026八上·宁波期末） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AD 是∠CAB 的角平分线， 于E，点F在边AC上，连接DF，若DF=DB.
（1） 试说明∠B 与∠CFD 的数量关系；
（2） 若AB=8， AF=5， 求BE的长.
【答案】（1）解：，理由如下：
∵是的角平分线，，，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∵，，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得，进一步可证，得到，即可求解；
（2）证得，结合可得即可求解．
17．（2025八上·余姚期中）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE．
（2）若CF＝2，CE＝3，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵AD∥EB，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵△ADC≌△BCE，
∴CD＝CE，
∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF．
在Rt△CEF中，CF＝2，CE＝3，
由勾股定理得：EF，
∴．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由AD||EB得A=B，由此可证明 △ADC≌△BCE；
(2)由全等的性质知CD=CE，结合角平分线的性质得DF=EF，由勾股定理得EF的长，即得DE的长.
三、拓展创新
18．（2025八上·宝安月考）
（1）如图1，四边形ABCD中，若连接CA，则CA平分，某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE=BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明.请你参考他们的想法，写出完整的证明过程.
（2）借助上一问的尝试，继续探究：如图2所示，在五边形ABCDE中，，连接CA，CA平分吗 请说明理由.
【答案】（1）证明：∵∠B+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADE，
∴在和中，
，
∴≌（SAS），
∴∠ACB=∠E，AC=AE，
∴为等腰三角形，
∴∠ACE=∠E，
∴∠ACB=∠ACE，
∴CA平分∠BCD.
（2）证明：延长CB，使BP=DE，连接AP，AD.
∵∠B+∠AED=180°，∠B+∠ABP=180°，
∴∠AED=∠ABP，
∴在和中，
，
∴≌（SAS），
∴AP=AD，BP=DE，
又CD=BC+DE=BC+BP=CP，
即CD=CP，
∴在和中，
，
∴≌（SSS），
∴∠ACP=∠ACD，
∴CA平分∠BCD.
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)运用同角的补角相等得出∠B=∠ADE，运用三角形全等的判定（边角边）可证明≌，根据三角形全等的性质及等量代换得到∠ACB=∠ACE，由角平分线的定义即证明得到CA平分∠BCD，由角平分线的定义即可证明CA平分∠BCD.
（2）延长CB，使BP=DE，连接AP，AD.运用同角的补角相等得出∠AED=∠ABP，运用三角形全等的判定（边角边）可证明≌，根据三角形全等的性质及等量代换得到AP=AD，CD=CP，再次运用三角形全等的判定（边边边）可证明≌，根据三角形全等的性质得∠ACP=∠ACD，由角平分线的定义即可证明CA平分∠BCD.
19．（2026八上·岷县期末）已知∠MON=α，P 是∠MON 平分线上的一点，点 A 在射线OM 上，作∠APB=180°-α，交直线ON 于点B，作 PC⊥ON 于点C.
（1）如图1，若∠MON=90°，连接AB，作 PD⊥OM 于点D，则 PA 和PB 的数量关系是 .
（2）如图2，若∠MON=120°，连接AB，试判断△PAB 的形状，并说明理由.
（3）如图3，当∠MON=60°，点 B 在射线ON 的反向延长线上时，判断线段OC，OA 及BC之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）PA=PB
（2）解：△PAB为等边三角形.
理由：如图，作PD⊥OM于点D，
∵∠PCO=∠PDO=90°，
∴180°
∴∠APD=∠BPC，
∵点 P 在∠MON 的平分线上，且 PC⊥ON，PD⊥OM，
∴PC=PD，
∴△APD≌△BPC（ASA)，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB 为等边三角形.
（3）解：OA=BC+OC.
理由如下：如图，作 PD⊥OM 于点D，
同（1）可证△APD≌△BPC，
∴AD=BC，
∵点 P 在∠MON 的平分线上，且 PC⊥ON 于点C，
∴PC=PD，
在Rt△OPD 和Rt△OPC 中，
∴Rt△OPD≌RtOPC(HL)
∴OC=OD，
∴OA-AD=OD=OC，
∴OA-BC=OC，
即OA=BC+OC.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：（1）∵点P是∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于点C
∴PC=PD
∵∠MON=90°
∴∠APB=90°，∠CPD=90°
∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°
∴∠APD=∠BPC
∵∠PDA=∠PCB=90°
在△APD和△BPC中
∴△APD≌△BPC(ASA)
∴PA=PB
故答案为：PA=PB
【分析】（1）根据角平分线性质可得PC=PD，再根据角之间的关系可得∠APD=∠BPC，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）作PD⊥OM于点D，根据补角可得∠APB，根据角平分线定义可得∠POA，再根据角之间的关系可得∠APD=∠BPC，根据角平分线性质可得PC=PD，再根据全等三角形判定定理可得△APD≌△BPC（ASA)，则PA=PB，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（3）作 PD⊥OM 于点D，同（1）可证△APD≌△BPC，则AD=BC，根据角平分线性质可得PC=PD，再根据全等三角形判定定理可得Rt△OPD≌Rt△OPC(HL)，则OC=OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
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