北师大版数学八年级下册 1.5角平分线 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·宁波期末） 如图，在中，，，以A为圆心任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·平舆期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，与边分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线与边交于点．若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2025八上·新昌期中）观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段AD 是△ABC 的( )
A．中线 B．高线 C．中垂线 D．角平分线
4．（2024八上·青龙期末）如图，已知钝角三角形，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤：以为圆心，为半径画弧①；
步骤：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；
步骤：连结，交的延长线于点．
下列叙述正确的是（ ）
A．平分 B． C． D．
5．（2024八上·睢宁期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
6．（2025八上·临夏期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ）
A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线
7．（2025·平塘模拟）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为 ．
8．（2023八上·新和期中）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．
9．（2025八上·平武期中）如图，中，平分，则的面积是 ；
二、能力提升
10．（2026八上·二道期末） 如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线。点是上任意一点，于点，点是边上任意一点，连结。若，则下列选项中正确的是( )
A． B． C． D．
11．（2025八下·成华期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E；再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长AF交BC于点G.若△ACG的面积为8，则△ABG的面积是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
12．如图，在△ABC中，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE，CD相交于点P，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．∠BAP=∠CAP
B．△ABP与△ACP的面积比等于边AB与AC之比
C．BC=AP+AC
D．若∠BAC=60°，则∠BPC=120°
13．（2026八上·越秀月考）如图，OC为∠AOB的角平分线，点P为OC上一点，点D，E分别为射线OA，OB上的点，且∠PEO=120°，若PD=PE，则∠PDO的度数为 ．
14．（2026八上·宽城期末）如图，在中，在、上分别截取、，使，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则点到的距离为 ．
15．（2023八上·高唐月考）如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点P，需要满足以下条件：附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，P点到两条道路，的距离相等．请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点P的位置．
16．（2025八上·海宁期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED交BC的延长线于点F.
（1）求证：AD=DF：
（2）若CF =6，EF =18，求DE 的长.
17．（2025八上·普陀期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．
三、拓展创新
18．（2025八上·大兴月考）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（ ）
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
19．（2024八上·陵城期中）角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，的角平分线交于点，则．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵由作图痕迹知AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠DAB=∠CAB
∵∠CAB=90°-∠B
∴∠CAB=60°
∴∠DAB=∠DAC=30°
∴AD=BD，AD=2CD=6
∴BC=BD+CD=6+3=9
故答案为：A .
【分析】由作图痕迹知AD平分∠CAB，求出∠DAC和∠DAB的度数，即知AD=2CD且BD=AD，由此可得BC的长.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线
3．【答案】D
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知AD平分 ，故线段AD 是△ABC 的角平分线．
故选：D．
【分析】根据作图痕迹判断出线段AD 是△ABC 的角平分线即可．
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-直线、射线、线段；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，
由题意得，
∴是等腰三角形
在和中
∴，
∴
∴是的角平分线，
又∵
∴
故选：D．
【分析】连接，由题意得，，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理可得是的角平分线，再根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作于点H，
由作图可得，平分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的面积为，
故答案为：A．
【分析】过点D作于点H，根据作图可得平分，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
6．【答案】A
【知识点】角平分线的判定；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：由图①得在AC上，，
∴是的角平分线；
由图②得在BC上，，AD⊥BC
∴是的高线；
由图③得与B重合，，D是BC的中点
∴是的中线；
∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线．
故选：A．
【分析】
本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线的定义，三角形的一个角的平分线把这个角分成两个相等的角；三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高； 在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线 。
7．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据作图过程可得平分，根据角平分线的定义求得，根据二直线平行，内错角相等求得，由等量代换得出，再根据等角对等边即可求解．
8．【答案】80
【知识点】角平分线的性质；角平分线的应用
【解析】【解答】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是，
∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是．
故答案为：．
【分析】利用角平分线的定义和性质（角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等）分析求解即可.
9．【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵平分∴ED=CD=4，
∴S△ABD；
故答案为：15．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，如图，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=CD=4，然后根据三角形面积公式列式计算可得答案.
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，OC平分∠AOB，
∴当PQ⊥OB时，PQ的值最小，
此时PQ=PD=6，
∴PQ≥6.
故答案为：B.
【分析】由作图可知，OC平分∠AOB，再利用角平分线的性质及垂线段最短即可得出答案.
11．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作GM⊥AB交AB于点M，
∵AG为角平分线，
∴CG=GM，
∵ ∠C=90°，∠B=30° ，
∴AB=2AC，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质，△ACG与△ABG的高相等，从而判断底边AC与AB的比即可.
12．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AC于点N，作PH⊥BC于点H
∵BE平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥AC
∴PM=PN
∵CD平分∠ACB，PN⊥AC，PH⊥BC
∴PN=PH
∴PM=PN
∵PM⊥AB，PN⊥AC
∴AP平分∠BAC
∴∠BAP=∠CAP，A选项正确，不符合题意
∴，B选项正确，不符合题意
∵∠BAC=60°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴
∴
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=120°，D选项正确，不符合题意
根据题意无法证明C选项
故答案为：C
【分析】过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AC于点N，作PH⊥BC于点H，根据角平分线性质可得PM=PN，PN=PH，则PM=PN，根据角平分线判定定理及定义可判断A选项；根据三角形面积可判断B选项；根据补角可得∠ABC+∠ACB=120°，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可判断D选项.
13．【答案】60°或120°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N．
∵OP平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
在Rt△PND和Rt△PME中，
∴Rt△PND≌Rt△PME（HL），
∴∠PEM＝∠PDN，
∵∠OEP＝120°，
∴∠PEM＝∠PDN＝60°，
∴∠ODP＝120°，
当点D'在点N的上方时，∠OD'P＝60°，
综上所述，∠ODP＝120°或60°．
故答案为：120°或60°．
【分析】过点P作PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N．证明Rt△PND≌Rt△PME（HL），利用全等三角形的性质可得∠PEM＝∠PDN，再分两种情况计算求解．
14．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
在中，，
根据作图过程，得出是的平分线，
∵，
∴点到的距离，
故答案为：3．
【分析】先根据等腰三角形的三线合一得出BN=CN=4，然后在Rt△CMN中，利用勾股定理算出MN；根据作图痕迹可得CM是∠ACB的角平分线，最后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得点M到AC的距离就等于MN，从而可得答案.
15．【答案】解：连接并作的垂直平分线，同时作的角平分线交点即为P点如图所示．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；角平分线的应用
【解析】【分析】根据角平分线性质及垂直平分线性质作图即可.
16．【答案】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠FCD=∠DEA.
在△DAE和△DFC中，
∴△DAE≌△DFC(ASA)，
∴AD=DF.
（2）解：∵△DAE≌△DFC，
∴AE=CF=6，AD=DF.
又∵EF=18，
∴AD+DE=18，
即AD=18-DE.
在Rt△ADE中，
解得DE=8，
∴DE的长为8.
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)先根据角平分线的性质得出DC=DE，在利用全等三角形即可解决问题.
(2)根据(1)中所得全等三角形，得出DF=DA，AE=CF，然后在Rt△ADE中利用勾股定理即可解决问题.
17．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F.
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)
（2）解：∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CE⊥AE，
∴CF=CE.
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，
∴AF=AE.
∵Rt△BCE≌Rt△DCE
∴DF=BE，
∴AE=15
∴BE=6，
∵，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)易证∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF；
(2)易求CF=CE，即可证明Rt△ACF≌Rt△ACE，可得AF=AE，根据DF=BE，即可求得AE的长，可求得BE的长，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据勾股定理即可求得AC的长，即可解题.
18．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图：
∵平分，点H在上，
∴点H到、的距离相等，
∵是边上的中线，
∴，，
∴，
∴，
∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的性质可得点H到、的距离相等，再利用三角形的中线平分三角形的面积可得，，再证出，从而可得凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，最后得解.
19．【答案】（1）证明：如图，过点作于点，作于点，过点作于点．
∵是的角平分线，
∴ ，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点作于点，作于点，过点作于点，根据角平分线性质可得 ，再根据三角形面积化简即可求出答案.
（2）根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：如图，过点作于点，作于点，过点作于点．
∵是的角平分线，
∴ ，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
．
1 / 1北师大版数学八年级下册 1.5角平分线 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·宁波期末） 如图，在中，，，以A为圆心任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵由作图痕迹知AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠DAB=∠CAB
∵∠CAB=90°-∠B
∴∠CAB=60°
∴∠DAB=∠DAC=30°
∴AD=BD，AD=2CD=6
∴BC=BD+CD=6+3=9
故答案为：A .
【分析】由作图痕迹知AD平分∠CAB，求出∠DAC和∠DAB的度数，即知AD=2CD且BD=AD，由此可得BC的长.
2．（2024八上·平舆期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，与边分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线与边交于点．若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线
3．（2025八上·新昌期中）观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段AD 是△ABC 的( )
A．中线 B．高线 C．中垂线 D．角平分线
【答案】D
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知AD平分 ，故线段AD 是△ABC 的角平分线．
故选：D．
【分析】根据作图痕迹判断出线段AD 是△ABC 的角平分线即可．
4．（2024八上·青龙期末）如图，已知钝角三角形，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤：以为圆心，为半径画弧①；
步骤：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；
步骤：连结，交的延长线于点．
下列叙述正确的是（ ）
A．平分 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-直线、射线、线段；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，
由题意得，
∴是等腰三角形
在和中
∴，
∴
∴是的角平分线，
又∵
∴
故选：D．
【分析】连接，由题意得，，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理可得是的角平分线，再根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
5．（2024八上·睢宁期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作于点H，
由作图可得，平分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的面积为，
故答案为：A．
【分析】过点D作于点H，根据作图可得平分，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
6．（2025八上·临夏期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ）
A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线
【答案】A
【知识点】角平分线的判定；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：由图①得在AC上，，
∴是的角平分线；
由图②得在BC上，，AD⊥BC
∴是的高线；
由图③得与B重合，，D是BC的中点
∴是的中线；
∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线．
故选：A．
【分析】
本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线的定义，三角形的一个角的平分线把这个角分成两个相等的角；三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高； 在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线 。
7．（2025·平塘模拟）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据作图过程可得平分，根据角平分线的定义求得，根据二直线平行，内错角相等求得，由等量代换得出，再根据等角对等边即可求解．
8．（2023八上·新和期中）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．
【答案】80
【知识点】角平分线的性质；角平分线的应用
【解析】【解答】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是，
∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是．
故答案为：．
【分析】利用角平分线的定义和性质（角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等）分析求解即可.
9．（2025八上·平武期中）如图，中，平分，则的面积是 ；
【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵平分∴ED=CD=4，
∴S△ABD；
故答案为：15．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，如图，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=CD=4，然后根据三角形面积公式列式计算可得答案.
二、能力提升
10．（2026八上·二道期末） 如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线。点是上任意一点，于点，点是边上任意一点，连结。若，则下列选项中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，OC平分∠AOB，
∴当PQ⊥OB时，PQ的值最小，
此时PQ=PD=6，
∴PQ≥6.
故答案为：B.
【分析】由作图可知，OC平分∠AOB，再利用角平分线的性质及垂线段最短即可得出答案.
11．（2025八下·成华期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E；再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长AF交BC于点G.若△ACG的面积为8，则△ABG的面积是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作GM⊥AB交AB于点M，
∵AG为角平分线，
∴CG=GM，
∵ ∠C=90°，∠B=30° ，
∴AB=2AC，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质，△ACG与△ABG的高相等，从而判断底边AC与AB的比即可.
12．如图，在△ABC中，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE，CD相交于点P，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．∠BAP=∠CAP
B．△ABP与△ACP的面积比等于边AB与AC之比
C．BC=AP+AC
D．若∠BAC=60°，则∠BPC=120°
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AC于点N，作PH⊥BC于点H
∵BE平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥AC
∴PM=PN
∵CD平分∠ACB，PN⊥AC，PH⊥BC
∴PN=PH
∴PM=PN
∵PM⊥AB，PN⊥AC
∴AP平分∠BAC
∴∠BAP=∠CAP，A选项正确，不符合题意
∴，B选项正确，不符合题意
∵∠BAC=60°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴
∴
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=120°，D选项正确，不符合题意
根据题意无法证明C选项
故答案为：C
【分析】过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AC于点N，作PH⊥BC于点H，根据角平分线性质可得PM=PN，PN=PH，则PM=PN，根据角平分线判定定理及定义可判断A选项；根据三角形面积可判断B选项；根据补角可得∠ABC+∠ACB=120°，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可判断D选项.
13．（2026八上·越秀月考）如图，OC为∠AOB的角平分线，点P为OC上一点，点D，E分别为射线OA，OB上的点，且∠PEO=120°，若PD=PE，则∠PDO的度数为 ．
【答案】60°或120°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N．
∵OP平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
在Rt△PND和Rt△PME中，
∴Rt△PND≌Rt△PME（HL），
∴∠PEM＝∠PDN，
∵∠OEP＝120°，
∴∠PEM＝∠PDN＝60°，
∴∠ODP＝120°，
当点D'在点N的上方时，∠OD'P＝60°，
综上所述，∠ODP＝120°或60°．
故答案为：120°或60°．
【分析】过点P作PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N．证明Rt△PND≌Rt△PME（HL），利用全等三角形的性质可得∠PEM＝∠PDN，再分两种情况计算求解．
14．（2026八上·宽城期末）如图，在中，在、上分别截取、，使，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则点到的距离为 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
在中，，
根据作图过程，得出是的平分线，
∵，
∴点到的距离，
故答案为：3．
【分析】先根据等腰三角形的三线合一得出BN=CN=4，然后在Rt△CMN中，利用勾股定理算出MN；根据作图痕迹可得CM是∠ACB的角平分线，最后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得点M到AC的距离就等于MN，从而可得答案.
15．（2023八上·高唐月考）如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点P，需要满足以下条件：附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，P点到两条道路，的距离相等．请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点P的位置．
【答案】解：连接并作的垂直平分线，同时作的角平分线交点即为P点如图所示．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；角平分线的应用
【解析】【分析】根据角平分线性质及垂直平分线性质作图即可.
16．（2025八上·海宁期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED交BC的延长线于点F.
（1）求证：AD=DF：
（2）若CF =6，EF =18，求DE 的长.
【答案】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠FCD=∠DEA.
在△DAE和△DFC中，
∴△DAE≌△DFC(ASA)，
∴AD=DF.
（2）解：∵△DAE≌△DFC，
∴AE=CF=6，AD=DF.
又∵EF=18，
∴AD+DE=18，
即AD=18-DE.
在Rt△ADE中，
解得DE=8，
∴DE的长为8.
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)先根据角平分线的性质得出DC=DE，在利用全等三角形即可解决问题.
(2)根据(1)中所得全等三角形，得出DF=DA，AE=CF，然后在Rt△ADE中利用勾股定理即可解决问题.
17．（2025八上·普陀期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F.
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)
（2）解：∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CE⊥AE，
∴CF=CE.
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，
∴AF=AE.
∵Rt△BCE≌Rt△DCE
∴DF=BE，
∴AE=15
∴BE=6，
∵，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)易证∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF；
(2)易求CF=CE，即可证明Rt△ACF≌Rt△ACE，可得AF=AE，根据DF=BE，即可求得AE的长，可求得BE的长，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据勾股定理即可求得AC的长，即可解题.
三、拓展创新
18．（2025八上·大兴月考）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（ ）
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图：
∵平分，点H在上，
∴点H到、的距离相等，
∵是边上的中线，
∴，，
∴，
∴，
∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的性质可得点H到、的距离相等，再利用三角形的中线平分三角形的面积可得，，再证出，从而可得凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，最后得解.
19．（2024八上·陵城期中）角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，的角平分线交于点，则．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，过点作于点，作于点，过点作于点．
∵是的角平分线，
∴ ，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点作于点，作于点，过点作于点，根据角平分线性质可得 ，再根据三角形面积化简即可求出答案.
（2）根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：如图，过点作于点，作于点，过点作于点．
∵是的角平分线，
∴ ，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
．
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