安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含答案）

定远育才学校2025-2026学年高二下学期开学考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为( )
A. B. C. D.
2.如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.设双曲线：的左、右焦点分别为，，点，在上，满足，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
5.在圆幂定理中有一个切割线定理：如图所示，为圆的切线，为切点，为割线，则如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的任意一点，过点作直线垂直于点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两名大学生同时于年月初向银行贷款元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分次还清所有的欠款，从年月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为，则年月初甲比乙将多还多少元精确到个位，参考数据：，，( )
A. B. C. D.
7.已知直线垂直于抛物线：的对称轴，与交于点，点在第一象限，过点且斜率为的直线与交于另一点，若，则
A. B. C. D.
8.在直四棱柱中，已知底面为正方形，若，下列不正确的是( )
A. 平面
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 直线到平面的距离为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，圆：，则( )
A. 两个圆心所在直线的斜率为
B. 两个圆公共弦所在直线的方程为
C. 过点作直线使圆上有且只有一个点到的距离为，则直线的方程为
D. 过点作圆的两条切线，切点为，，则直线的方程为
10.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. B. 取得最小值时或
C. D. 的最小值为
11.已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是( )
A. B. 为递减数列
C. 是和的等比中项 D. 的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知为等差数列，为其前项和若，则 ．
13. 若椭圆上存在两点到直线：的距离均为，则实数的取值范围为 ．
14.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，且且
为何值时，数列是等比数列；
若数列是等比数列，求数列的前项和．
16.本小题分
已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与轴相切，圆：与圆内切，切点为．
求圆的标准方程；
求的值以及点的坐标；
过点的直线与圆，在第一象限分别交于，两点，若，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到直线的距离．
18.本小题分
已知椭圆：，直线与交于点，，且线段的中点为
求的离心率．
若点在轴上，点，点在点的右上方在上，且直线与直线平行．
求直线与直线之间距离的取值范围；
求证：直线，的交点在定直线上．
19.本小题分
给定数列，，，，定义“变换”为将数列变换成，，，，其中，且这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，，依此类推，当得到的数列各项为时变换结束．
求数列，，，经过次“变换”后得到的数列
证明：数列，，经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是
已知数列，，经过次“变换”后得到的数列各项之和最小，求的最小值．
答 案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.．
15.解：若数列是等比数列，
则为常数，
即，对于恒成立，
所以解得，
所以为时，数列是以为首项，以为公比的等比数列．
由，得，
则，
所以
．
16.解：设圆，由题意可知
解得，所以圆的标准方程为；
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距为，因为两圆内切于点，所以，解得或舍去，
所以圆的标准方程为，
联立，解得，所以点的坐标为；
由题意可知，直线的斜率显然是存在的且大于，设直线的方程为，即，
圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得，
圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得，
所以，解得或舍去，
故直线的方程为．

17.解：证明：法一：如图，连接交于，连接，
因为底面为矩形，所以为的中点，
因为为的中点，所以是的中位线，
得到，而平面，平面，故平面；
法二：根据题意，以点为坐标原点，
分别以为轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，
则，
设为平面的法向量，
则，即
令，则，故，
，
平面，平面；
，
，
直线与平面所成角的正弦值为；
由已知得，
由点到直线的距离公式得，
故点到直线的距离为．
18.解：设，，的中点，则，，
由，两式相减整理得，即，
，解得，
所以椭圆离心率．
在中，令，得，故，
由的中点为，故，
所以椭圆的方程为．
由，设，
代入椭圆方程并整理得，
由，得，且，
直线与的距离，
结合的范围，得，，
．
证明：设的中点，直线与的交点为，
由知，即，所以，
即弦的中点始终在直线上，
又，所以直线的方程为，
因为，所以直线与的交点始终在直线上，
即直线与的交点在定直线上

19.解：由题知：数列，，，经过次“变换”后得到的数列依次为：
，，，；，，，；，，，；，，，；
充分性：当时，数列，，经过一次“变换”后结束，
必要性：即证明当，，不全相等时，，，经过有限次“变换”后不会结束，
设数列，，，数列，，，数列，，，且，，
由充分性易知：数列只能为非零常数列，
不妨设，
为了变换得到数列的前两项，数列只有如下四种可能：
，，；，，；，，；，，，
那么数列的第三项只能是或者．
即不存在数列，使其经过一次“变换”后变为非零常数列，
故当，，不全相等时，，，经过有限次“变换”后不会结束，
必要性得证；
数列，，经过一次“变换”后得到数列，，，
其结构为，，，且远大于，
那么其经过次“变换”后得到数列依次为：
，，；，，；，，；，，；，，；，，，
所以数列，，经过次“变换”后得到的数列结构也是形如，，的数列，
仅除之外的两项均减小，
因为，
所以数列经过次“变换”后得到数列，，，
接下来经过“变换”依次得到，，；，，；，，；，，，
至此数列各项之和最小值为，的最小值为．