第二十章 勾股定理 本章重点训练 （含答案） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理本章重点训练
重点1勾股定理及其应用
1.在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为a，b，斜边长为c)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形.甲、乙两位同学给出的构图方案中，可以证明勾股定理的是 ( )
A.甲 B.乙
C.甲、乙都可以 D.甲、乙都不可以
2.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”.若AB=10,AE=8,则正方形EFGH的面积为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
3.如图,△OAB 的顶点O 的坐标为(0,0),顶点A，B分别在第一、第四象限，且AB⊥x轴.若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是 ( )
A.(5,4) B.(3,4) C.(5,3) D.(4,3)
4.如图是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面20cm的点 C 处连接着出水口 D 所在的水管，水管AB 上的点 E 处安装有红外线感应装置.已知出水口 D 到点C的距离为15cm，出水口 D 到点E的距离为17cm，并且CD⊥AB，则红外线感应装置距离洗手台面的高度 BE为 cm.
5.如图,点 B,D在数轴上,OB=3,OD=BC=1,∠OBC = 90°, 以点D为圆心，以DC 的长为半径作弧交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是 .
6.已知线段a,b,c,且线段a,b满足
(1)求a,b的值;
(2)若a，b，c是某直角三角形的三条边的长，求c的值.
重点2勾股定理的逆定理及其应用
7.以下列各组数作为三角形三条边的长，不能围成直角三角形的是 ( )
A.5,12,13 B.3,4,5
C.2,3,4 D.1, ,2
8.在△ABC中,a,b,c分别是三边的长,有下列说法:①∠B=∠C-∠A;②a =(b+c)(b-c);③∠A:∠B:∠C=3:4:5;④a∶b∶c=5:4:3; 其中能判断△ABC为直角三角形的条件的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,边BC上的中线AD=6,则△ABD的面积是 .
10.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在格点上,线段AB 交 CD 于点 F.若∠CFB=α,则∠ABE= .(用含α的代数式表示)
11.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=BC.由于某种原因，由C 到 B 的路现已无法通行，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点 D(点A，D，B在同一条直线上),并新修一条路CD,测得AC=650m,CD=600m,AD=250m.
(1)CD 是否为从村庄 C 到河边最近的路 请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线BC 的长.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,D 是边AC上的一点，
(1)求证:△BCD 是直角三角形;
(2)求△ABC的面积.
13.如图，P是等边三角形ABC 内的一点，连接PA,PB,PC,以BP 为边作 且BP=BQ,连接CQ.
(1)观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并说明理由；
(2)若 求证:PC⊥CQ.
【知识体系梳理】
②c -b ( ④直角
⑤正整数
【高频重点精练】
1. A 2. A 3. D 4.12
6.解:
(2)分两种情况讨论：
①当a，b为直角三角形的两条直角边时，
②当a 为直角三角形的斜边时，
综上所述，c的值为2 或6.
7. C 8. C 9. 15 10.90°+α
11.解:(1) 在△ACD 中,∵ AC= 650 m,CD =600m,AD=250m,600 +250 =650 ,∴CD +AD = AC ,∴ △ACD 为直角三角形,且∠ADC=90°,∴ CD⊥AB,∴ CD 是从村庄 C到河边最近的路.
(2)设BC=AB= xm,则BD=(x-250)m.
在 Rt△BCD 中,∵ ∠BDC = 90°,∴ CD + 即 解得 x=845,∴原来的路线 BC 的长为845m.
12.(1)证明:∵
∴△BCD 是直角三角形.
(2)解:设腰长AB=AC=x,在Rt△ADB中,由勾股定理，得 即 2 ,解得
13.(1)解:AP=CQ. 理由如下:∵ △ABC 是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°.∵ ∠PBQ=60°,∴∠ABP=∠CBQ.
在△ABP 和△CBQ 中
∴△ABP≌△CBQ(SAS),∴AP=CQ.
(2)证明:如答图,连接PQ.
∵PA=PC=1,AP=CQ,
∴PC=CQ=1.
∵BP=BQ,∠PBQ=60°,
∴ △BPQ 是等边三角形,
∴∠PCQ=90°,∴PC⊥CQ.