沪科版（2024）八下17.4一元二次方程根与系数的关系 学案

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分课时学案
课题 17.4一元二次方程根与系数的关系 单元 17 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1. 理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程，掌握一元二次方程的根与系数的关系 2. 准确表述一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，并能用数学符号表示 3. 应用根与系数的关系解决有关问题.
重点 理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程，掌握一元二次方程的根与系数的关系
难点 应用根与系数的关系解决有关问题
教学过程
导入新课 复习提问，温故孕新 1.一元二次方程的求根公式： 2.利用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况： 创设情境，引入课题 在前面的学习中，我们掌握了求根公式解方程的方法，而求根公式其实正是体现根与 系数之间的关系.那么对于一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？ (1)求根公式： (2)系数 a，b，c决定根的值，同时也体现了根与系数的关系 本节课我们将从另一个角度除法，研究根与系数的关系
新知讲解 合作探究，活动领悟 思考： 我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且b2－4ac≥0)的两根为： x1=，x2=. 观察x1，x2表达式的特点，你有什么发现？(提示：计算x1+x2与x1x2) x1x2_________________________________________________ x1x2_________________________________________________ 由此得出，一元二次方程的根与系数质检存在下列关系： 如果()的两个根为x1，x2，那么 x1x2______________，x1x2______________ 归纳 由此可知，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根为x1，x2， 那么x1+x2=，x1x2= 这就是根与系数的关系，通常称为___________. 注意： ① 利用韦达定理的前提条件是方程要有实数根，即 =b2-4ac≥0 ② 利用韦达定理时，要先把一元二次方程化为一般形式. 师生互动，变式深化 例1 已知关于的方程有两个根，其中一个根是，求它的另一个根及的值. 例2方程的两个根记作，求的值. 方法点拨：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入求值. 拓展： 如果()的两个根为 那么(1)____________________ (2)x12+x22=_________________________ (3)(x1－x2)2=______________________ (4)+ = _________________________ (5)+ =__________________________
巩固训练 尝试练习，巩固提高 1.已知一元二次方程3x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2等于( ) A.2 B.－ C. D.－ 2.若x1，x2是方程x2＋3x＋2＝0的两个根，则( ) A.x1＋x2＝2 B.x1x2＝2 C.x1＋x2＝－2 D.x1x2＝－2 3.如果关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2－2＝0的两根之和与两根之积互为相反数，那么m＝　　　　. 4. 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1＝－3，x2＝－1，则p＝ ，q＝ . 5. 已知关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2＝0有两个
实数根. （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12＋x22＝7，求m的值
作业布置 1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2， 则x1·x2的值是(　　) A．4　　　B．－4　　C．3　　D．－3 2.已知一元二次方程x2－3x－6＝0的两个根为x1，x2，则x1x2－x1－x2的值为（　　） A. 3 B. －3 C. 9 D. －9 3. 若x1，x2是一元二次方程x2－7x＋5＝0的两个根，则(x1－2)(x2－2)的值为 . 4.若α，β是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的实数根，则α2－3β的值 是 . 5. 已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）＝p（p＋1）. （1）求证：无论p取何值，此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个根x1，x2满足 ＋ －x1x2＝3p2＋1，
求p的值.
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