《学霸笔记 同步精讲》8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 练习（教师版）数学人教A版必修二

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课后训练巩固提升
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm,则长方体的体积为(　　)
A.27 cm3 B.60 cm3 C.64 cm3 D.125 cm3
解析:长方体即为四棱柱,其体积为底面积×高,即为3×4×5=60(cm3).
答案:B
2.已知正四棱锥,其底面边长为8,侧棱长为,则正四棱锥的表面积为(　　)
A.48 B.64 C.80 D.144
解析: 如图,正四棱锥P-ABCD,取AB的中点E,连接PE,则PE⊥AB.
在△PAB中,PA=PB=,AE=4,PE==5.
故S△PAB=8×5=20.
即正四棱锥的表面积S=4S△PAB+S四边形ABCD=4×20+82=144.
答案:D
3.已知正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为(　　)
A1 B1 C2 D.2
解析:设正方体的棱长为a,则S正方体=6a2,正四面体的棱长为a,则S正四面体=4(a)2=2a2,故正方体的表面积与正四面体的表面积之比为6a2∶2a2=1.
答案:B
4.已知长方体三个面的面积分别为2,6和9,则长方体的体积是(　　)
A.6 B.3 C.11 D.12
解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则(abc)2=2×6×9=108.
故体积V=abc=6
答案:A
5.如图所示,在三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1∶AB=1∶2,则三棱锥B-A1B1C1与三棱锥A1-ABC的体积比为(　　)
A.1∶2 B.1∶3
C.1 D.1∶4
解析:三棱锥B-A1B1C1与三棱锥A1-ABC的高相等,故其体积之比等于△A1B1C1与△ABC的面积之比,而△A1B1C1与△ABC的面积之比等于A1B1与AB之比的平方,即1∶4,故选D.
答案:D
6.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8 cm和18 cm,侧棱长为13 cm,则其表面积为　　　　　.
解析:由已知可得正四棱台侧面梯形的高h==12(cm),故S侧=4(8+18)×12=624(cm2),S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),于是表面积S=624+64+324=1 012(cm2).
答案:1 012 cm2
7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为　　　　　.
解析:因为点E在线段AA1上,所以1×1=
又因为点F在线段B1C上,所以点F到平面DED1的距离为1,即h=1,所以h=1=
答案:
8.如图①,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图②,这时水面恰好为中截面,则图①中容器内水面的高度是　　　　　.
①
②
解析:设题图①中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=S△ABCh.又题图②中水组成了一个直四棱柱,其底面积为S△ABC,高度为2a,则V=S△ABC·2a,故h=a.
答案:a
9.已知正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的表面积和体积.
解:如图,正四棱锥P-ABCD,其中PE为斜高,PO为高,
则在Rt△POE中,OE=2,∠OPE=30°,
所以PE=2OE=4,OP=2.
因此S侧=4×PE·BC=4××4×4=32,S表面=S侧+S底=32+16=48.
V=S底·PO=×16×2.
10.已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为15 cm,底面边长为12 cm,内接正三棱柱的侧面积为120 cm2.
(1)求正三棱柱的高;
(2)求三棱柱上底面截得的棱锥与原棱锥侧面积之比.
解:(1)如图,设正三棱柱的高为h cm,底面边长为x cm,
则,得x=(15-h).①
因为S三棱柱侧=3x·h=120,所以xh=40.②
解①②,得
故正三棱柱的高为10 cm或5 cm.
(2)由棱锥的性质,得
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