《学霸笔记 同步精讲》8.6.1 直线与直线垂直 练习（教师版）数学人教A版必修二

8.6.1　直线与直线垂直
课后训练巩固提升
1.设a,b,c是直线,则下列说法正确的是(　　)
A.若a⊥b,c⊥b,则a∥c
B.若a⊥b,c⊥b,则a⊥c
C.若a∥b,则a与c,b与c所成的角相等
D.若a与c所成的角等于c与b所成的角,则a∥b
解析:由异面直线所成的角的定义知C正确.
答案:C
2.在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD的中点分别是P,Q,R,且PQ=2,QR=,PR=3,那么异面直线AC和BD所成的角是(　　)
A.90° B.60° C.45° D.30°
解析:由已知得∠PQR=90°,
∵AC∥PQ,BD∥QR,
∴AC与BD所成角即∠PQR.
答案:A
3.(多选题)已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,则下列结论正确的是(　　)
A.直线A1C1与B1C是异面直线
B.A1D与B1C所成的角为60°
C.A1C1⊥BD
D.直线A1C1与B1C所成的角为60°
解析:由异面直线的定义知,A正确.
由平行四边形A1DCB1,知A1D∥B1C,故B错误.
如图,连接AC,由A1C1∥AC,AC⊥BD,知A1C1⊥BD,故C正确.
D中,连接C1D,
∵B1C∥A1D,
∴∠DA1C1或其补角为异面直线A1C1与B1C所成的角.
又A1D,DC1,A1C1为正方体的面对角线,
∴A1D=DC1=A1C1,
∴△A1DC1为等边三角形,
∴∠C1A1D=60°,即异面直线A1C1与B1C所成的角为60°.
答案:ACD
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点,则直线AM和BN所成角的正弦值为 (　　)
A B
C D
解析:如图,取DD1的中点G,连接AG,MG,则AG∥BN,
所以∠MAG或其补角为直线AM和BN所成的角.
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
则AG=,MG=,AM=3.
在△AGM中,由余弦定理可得cos∠MAG=,所以sin∠MAG=
因此,直线AM和BN所成的角的正弦值为故选B.
答案:B
5.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为　　　　　.
解析:因为a∥OA,异面直线所成的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60°.
答案:60°
6.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,G,H,J,I分别为AF,AD,DE,BE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成的角为　　　　　.
解析:将三角形折成三棱锥后,其直观图如图所示,GH与IJ是异面直线.
∵G,H分别为AF,AD的中点,
∴GH∥DF.
又I,J分别为AE,DE的中点,
∴IJ∥AD.
∴DF与AD所成的角即为异面直线GH与IJ所成的角.
由题意知△ADF是正三角形,
∴DF与AD所成的角为60°.
即GH与IJ所成的角为60°.
答案:60°
7.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点.求异面直线A1E与GF所成角的大小.
解:如图,连接B1G,EG.
∵E,G分别是DD1和CC1的中点,∴EGC1D1,而C1D1A1B1,∴EGA1B1.
∴四边形EGB1A1是平行四边形.
∴A1E∥B1G,从而∠B1GF或其补角为异面直线A1E与GF所成的角.
连接B1F,由已知得FG=,B1G=,B1F=
由FG2+B1G2=B1F2,得∠B1GF=90°,
即异面直线A1E与GF所成的角为90°.
8.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且,EF=,求AB和CD所成的角.
解:如图,连接BD,过点E作AB的平行线交BD于点O,连接OF.
∵EO∥AB,
又AB=3,∴EO=2.
,,
∴OF∥DC.
∴∠EOF或其补角即为AB和CD所成的角.
∵DC=3,∴OF=1.
在△OEF中,∵OE2+OF2=5,EF2=()2=5,
∴OE2+OF2=EF2,
∴∠EOF=90°.
∴AB和CD所成的角为90°.
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