《学霸笔记 同步精讲》8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质定理 练习（教师版）数学人教A版必修二

第2课时　直线与平面垂直的性质定理
课后训练巩固提升
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1,则(　　)
A.B1B⊥l
B.B1B∥l
C.B1B与l异面但不垂直
D.B1B与l相交但不垂直
答案:B
2.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l α,l β,则(　　)
A.α∥β,且l∥α
B.α⊥β,且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
解析:若α∥β,则由m⊥α知m⊥β,而n⊥β,所以m∥n,与m,n为异面直线矛盾,所以平面α与平面β相交.
由m⊥平面α,m⊥l,且l α,可知l∥α,同理,l∥β,
所以l与两平面的交线平行.
故选D.
答案:D
3.已知直线l∩平面α=O,A∈l,B∈l,A α,B α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD=(　　)
A.2 B.1 C D
解析:因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,
所以AC∥BD.
所以AC,BD共面.
由题意知点O,C,D在平面ABDC与平面α的交线上.连接OD,所以
因为OA=AB,所以
因为AC=1,所以BD=2.
答案:A
4.(多选题)在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分别是棱PB,PC上的动点,则下列说法正确的是(　　)
A.当AE⊥PB时,△AEF一定为直角三角形
B.当AF⊥PC时,△AEF一定为直角三角形
C.当EF∥ 平面ABC时,△AEF一定为直角三角形
D.当PC⊥平面AEF时,△AEF一定为直角三角形
解析:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,
又BC⊥AB,且PA,AB 平面PAB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥AE.
在A选项中,∵AE⊥PB,PB,BC 平面PBC,PB∩BC=B,∴AE⊥平面PBC,∴AE⊥EF,
∴△AEF一定为直角三角形,故A正确.
在C选项中,∵EF∥平面ABC,EF 平面PBC,平面PBC∩平面ABC=BC,
∴EF∥BC,∴EF⊥AE,
∴△AEF为直角三角形,故C正确.
在D选项中,∵PC⊥平面AEF,∴PC⊥AE.
∵AE⊥BC,PC,BC 平面PBC,且PC∩BC=C,
∴AE⊥平面PBC,∴AE⊥EF,
∴△AEF为直角三角形,故D正确.
B选项中,结论无法判断,故B不正确.
答案:ACD
5.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC的垂线DE交平面ABC于点E,其中D PC,则DE与平面PAC的位置关系是　　　　　.
解析:因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.
又DE 平面PAC,PA 平面PAC,
所以DE∥平面PAC.
答案:平行
6.一条与平面α相交的线段,其长度为10 cm,两端点到平面的距离分别是2 cm,3 cm,则这条线段与平面α所成的角是　　　　　.
解析:如图,AB是一条与平面α相交的线段,过点A作AC⊥α,垂足为C;过点B作BD⊥α,垂足为D,
则AC∥BD,AC,BD确定的平面与平面α交于CD,且CD与AB相交于点O,AB=10,AC=3,BD=2,则AO=6,BO=4,可得∠AOC=∠BOD=30°.
即线段AB与平面α所成的角为30°.
答案:30°
7.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
(1)求证:BD1⊥平面B1AC;
(2)求点B到平面B1AC的距离.
(1)证明:连接BC1,AD1,B1D1.
∵AB⊥B1C,BC1⊥B1C,且AB∩BC1=B,
∴B1C⊥平面ABC1D1.
又BD1 平面ABC1D1,
∴B1C⊥BD1.
∵B1B⊥AC,BD⊥AC,且B1B∩BD=B,
∴AC⊥平面BB1D1D.
又BD1 平面BB1D1D,∴AC⊥BD1.
∵AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面B1AC.
(2)解:∵O∈BD,∴连接OB1交BD1于点E.
又O∈AC,∴OB1 平面B1AC.
∴BE⊥平面B1AC,BE即为所求距离.
∵△BEO∽△BDD1,
,∴BE=OB=a=a.
8.如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:
证明:∵PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,∴PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.
又PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.
又EF⊥AC,PC∩AC=C,
∴EF⊥平面PAC,
∴EF∥BD,
9.如图,△ABC是等边三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:
(1)DF∥平面ABC;
(2)AF⊥BD.
证明:(1)如图,取AB的中点G,连接FG,CG.
因为F为BE的中点,
所以FG∥AE,FG=AE.
因为CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.
因为CD=AE,
所以FG∥CD,FG=CD.
所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.
因为CG 平面ABC,DF 平面ABC,
所以DF∥平面ABC.
(2)在Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F为BE的中点,所以AF⊥BE.
因为△ABC是等边三角形,
所以CG⊥AB,所以DF⊥AB.
由(1)得FG⊥平面ABC,所以FG⊥GC,从而FG⊥DF.
因为FG∩AB=G,FG,AB 平面ABE,
所以DF⊥平面ABE.
因为AF 平面ABE,所以DF⊥AF.
因为BE∩DF=F,所以AF⊥平面BDF.
因为BD 平面BDF,所以AF⊥BD.
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