《学霸笔记 同步精讲》8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定定理 练习（教师版）数学人教A版必修二

第1课时　直线与平面垂直的判定定理
课后训练巩固提升
A组
1.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交垂直
C.异面垂直 D.相交但不垂直
解析:连接AC交BD于点O(图略).
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD.
又MC⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
∴BD⊥MC.
∵MC∩AC=C,∴BD⊥平面AMC.
又AM 平面AMC,
∴BD⊥AM,∴MA与BD异面垂直.
答案:C
2.已知直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则b与α所成的角等于(　　)
A.40° B.50° C.90° D.150°
解析:根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.
答案:B
3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:如图,连接AC.
∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PCA即为PC与平面ABCD所成的角.
∵AC=,PA=,
∴tan∠PCA=
∴∠PCA=60°.
答案:C
4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是(　　)
A B.2
C.3 D.4
解析:如图所示,过点P作PD⊥BC于点D,连接AD,则PD即为点P到BC的距离.
∵PA⊥平面ABC,
∴PA⊥BC.
又PA∩PD=P,
∴BC⊥平面PAD,∴BC⊥AD.
∵AB=AC,∴D为BC的中点.
在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,∴AD=4.
在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,
∴PD==4
答案:D
5.(多选题)如图所示,PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上不同于点A,B的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,则下列结论正确的是(　　)
A.AF⊥PB
B.EF⊥PB
C.AF⊥BC
D.AE⊥平面PBC
解析:∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴PA⊥BC.
又AC⊥BC,PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.
∵AF⊥PC,BC∩PC=C,
∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB.
又AE⊥PB,AE∩AF=A,
∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF,故ABC正确.
答案:ABC
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是(　　)
A.线段B1C
B.线段BC1
C.BB1中点与CC1中点连成的线段
D.BC中点与B1C1中点连成的线段
解析:连接AB1,B1C,AC,如图所示,由于BD1⊥平面AB1C,故点P一定位于线段B1C上.
答案:A
7.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件　　　　　时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)
解析:∵VC⊥VA,VC⊥VB,VA∩VB=V,
∴VC⊥平面VAB,∴VC⊥AB.
答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一)
8.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,且边长为3,BD1与底面所成角的正切值为,则该四棱柱的侧棱长等于　　　　　.
解析:由题意得tan∠DBD1=,
因为BD=3,
所以DD1=BD=3=2
答案:2
9.如图,已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,D是AB的中点.
求证:(1)AC⊥BC1;
(2)AC1∥平面CDB1.
证明:(1)∵在△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,
∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.
又CC1⊥平面ABC,AC 平面ABC,
∴AC⊥CC1.
又BC∩CC1=C,∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1 平面BCC1B1,∴AC⊥BC1.
(2)设B1C交BC1于点E,则E为BC1的中点,连接DE(图略),则在△ABC1中,DE∥AC1.
又DE 平面CDB1,AC1 平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
10.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.
(1)求证:D1C⊥AC1;
(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并说明理由.
(1)证明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
连接C1D,如图.
∵DC=DD1,
∴四边形DCC1D1是正方形.
∴DC1⊥D1C.
又AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D,
∴AD⊥平面DCC1D1.
∵D1C 平面DCC1D1,∴AD⊥D1C.
∵AD,DC1 平面ADC1,且AD∩DC1=D,
∴D1C⊥平面ADC1.
又AC1 平面ADC1,∴D1C⊥AC1.
(2)解:连接AD1,AE,如图.
设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN.
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,要使D1E∥平面A1BD,需使MN∥D1E,又M是AD1的中点,
∴N是AE的中点.
又易知△ABN≌△EDN,
∴AB=DE,即E是DC的中点.
综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E∥平面A1BD.
二、B组
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是 (　　)
A.平面DD1C1C B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
解析:由题意知A1B1⊥平面ADD1A1,
∵AD1 平面ADD1A1,∴A1B1⊥AD1.
又A1D⊥AD1,A1B1∩A1D=A1,
∴AD1⊥平面A1DB1,故选B.
答案:B
2.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是(　　)
A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定
解析:∵BA⊥α,α∩β=l,l α,∴BA⊥l.
同理BC⊥l.
又BA∩BC=B,∴l⊥平面ABC.
∵AC 平面ABC,∴l⊥AC.
答案:C
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)
A B C D
解析:由于BB1∥DD1,故BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角.
如图所示,过点D作DO⊥平面ACD1,垂足为O,连接D1O,则∠DD1O即为所求的角.
利用等体积法,不妨设正方体的棱长为1,AC·AD1sin 60°=,
则DO=
故sin∠DD1O=,从而cos∠DD1O=
故选D.
答案:D
4.(多选题)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论正确的是(　　)
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面ABCD所成的角是∠SAD
D.AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角
解析:对于A,∵SD⊥平面ABCD,∴SD⊥AC.
又AC⊥BD,且SD∩BD=D,
∴AC⊥平面SBD,∴AC⊥SB,A正确.
对于B,∵AB∥CD,AB 平面SCD,CD 平面SCD,∴AB∥平面SCD,B正确.
对于C,∵SD⊥平面ABCD,
∴AD是SA在平面ABCD内的射影,
∴∠SAD是SA与平面ABCD所成的角,C正确.
对于D,∵AB∥CD,
∴AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角,D正确,故选ABCD.
答案:ABCD
5.若正四棱锥(底面为正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心)的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为　　　　　.
解析:如图,正四棱锥的顶点P在底面ABCD的射影为O,
则O为正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD.
连接OB,由题意可知OB=,PB=1,∠PBO为侧棱PB与平面ABCD所成的角.
因为在Rt△POB中,cos∠PBO=,
所以∠PBO=45°.
答案:45°
6.下列说法中正确的是　　　　　.(填序号)
①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直
②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直
③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行
④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直
解析:④错,过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直.
答案:①②③
7.如图,在Rt△BMC中,∠BCM=90°,∠MBC=60°,BM=5,MA=3,且MA⊥AC,AB=4,求MC与平面ABC所成角的正弦值.
解:因为BM=5,MA=3,AB=4,
所以AB2+MA2=BM2,
所以MA⊥AB.
又因为MA⊥AC,AB,AC 平面ABC,且AB∩AC=A,所以MA⊥平面ABC,
所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角.
因为在Rt△BMC中,∠MBC=60°,所以MC=,
所以在Rt△MAC中,sin∠MCA=
故MC与平面ABC所成角的正弦值为
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.
(1)求证:EF⊥平面PAB;
(2)设AB=BC,求AC与平面AEF所成角的正弦值.
(1)证明:∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AB.
∵AD⊥AB,PD∩AD=D,
∴AB⊥平面PAD,
∴PA⊥AB.
取AB的中点G,连接EG,FG,如图所示.
∵E为CD的中点,∴EG⊥AB.
再由FG为△BAP的中位线,可得FG∥PA,
∴FG⊥AB.
∴AB垂直于平面EFG内的两条相交直线EG,FG,
∴AB⊥平面EFG,∴AB⊥EF.
连接EP,EB.由已知可得,EP==EB=,
故△EPB为等腰三角形,故有EF⊥BP.
∵AB∩BP=B,
∴EF⊥平面PAB.
(2)解:不妨设BC=1,则AD=PD=1,AB=,PA=,AC=
∴△PAB为等腰直角三角形,且PB=2.
∵F是PB的中点,∴BF=1,AF⊥PB.
∵AF∩EF=F,
∴PB⊥平面AEF.
设BE交AC于点K,过点K作KH∥PB交EF于点H,则KH⊥平面AEF,连接AH,
故∠KAH为AC与平面AEF所成的角.
由△EKC∽△BKA可知,EK=KB,AK=2CK,
所以EK=EB,AK=AC=
由△EKH∽△EBF,可知KH=BF=
所以sin∠KAH=,
所以AC与平面AEF所成角的正弦值为
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