《学霸笔记 同步精讲》10.2 事件的相互独立性 练习（教师版）数学人教A版必修二

10.2　事件的相互独立性
课后训练巩固提升
A组
1.已知袋内有除颜色外其他完全相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地随机摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是(　　)
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.无法确定
答案:B
2.如图,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 (　　)
A. B. C. D.
解析:左边圆盘指针落在奇数区域的概率为,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,因为两个圆盘中指针落在圆盘的哪个数所在区域是相互独立的,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为.
答案:A
3.甲和乙两人各投篮一次,已知甲投中的概率是0.8,乙投中的概率是0.6,则恰有一人投中的概率为(　　)
A.0.44 B.0.48 C.0.88 D.0.98
解析:设事件A=“甲投中”,事件B=“乙投中”,则P(A)=0.8,P(B)=0.6,且A与B相互独立,则恰有一人投中的概率为P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×0.4+0.2×0.6=0.44.
答案:A
4.(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子一次,则下列各组事件是相互独立事件的是(　　)
A.E=“向上的点数为偶数”,F=“向上的点数为奇数”
B.E=“向上的点数为奇数”,F=“向上的点数为3”
C.E=“向上的点数为偶数”,F=“向上的点数为3的倍数”
D.E=“向上的点数为奇数”,F=“向上的点数大于4”
解析:A中,P(E)=,P(F)=,P(EF)=0,所以事件E与事件F不相互独立;
B中,P(E)=,P(F)=,P(EF)=,P(E)P(F)≠P(EF),所以事件E与事件F不相互独立;
C中,P(E)=,P(F)=,P(EF)=,P(EF)=P(E)P(F),所以事件E与事件F相互独立;
D中,P(E)=,P(F)=,P(EF)=,P(E)P(F)=P(EF),所以事件E与事件F相互独立.
答案:CD
5.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.9,在两批种子中各取一粒,则恰有一粒种子能发芽的概率是　　　　.
解析:所求概率P=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
答案:0.26
6.某自助银行设有两台ATM机.在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为,则客户此刻到达需要等待的概率为　　　　　.
解析:客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用,故所求概率为P=.
答案:
7.一道数学竞赛试题,甲解出它的概率为,乙解出它的概率为,丙解出它的概率为.由甲、乙、丙三人独立解答此题,只有一人解出的概率为　　　　.
解析:甲解出,而乙、丙不能解出为事件A1,则P(A1)=,
乙解出,而甲、丙不能解出为事件A2,
则P(A2)=,
丙解出,而甲、乙不能解出为事件A3,
则P(A3)=.
甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1+A2+A3)=.
答案:
8.在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为.在同一时间内,求:
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率;
(2)至少有一个气象台预报准确的概率.
解:记事件A=“甲气象台预报天气准确”,B=“乙气象台预报天气准确”.显然事件A,B相互独立,且P(A)=,P(B)=.
(1)P(AB)=P(A)P(B)=.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=.
9.已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员的投篮命中率为0.8.
(1)若甲、乙各投篮一次,则都投中的概率为多少
(2)若甲投篮两次,则恰好投中一次的概率为多少
解:(1)记事件A=“甲投中”,B=“乙投中”.
因为A与B相互独立,
所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56.
即甲、乙各投篮一次,都投中的概率为0.56.
(2)记Ai=“甲第i次投中”,其中i=1,2,则P(A1)=P(A2)=0.7.
恰好投中一次,可能是第一次投中且第二次没投中,也可能是第一次没投中且第二次投中,即A1A2,注意到A1与A2相互独立,且A1A2互斥,
因此P(A1A2)=P(A1)+P(A2)
=P(A1)P()+P()P(A2)
=P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))P(A2)
=0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7
=0.42.
故甲投篮两次,恰好投中一次的概率为0.42.
二、B组
1.已知从甲袋内随机摸出1个白球的概率为,从乙袋内随机摸出1个白球的概率为,若从两个袋内各随机摸出1个球,则概率为的事件是(　　)
A.2个球都是白球
B.2个球都不是白球
C.2个球不都是白球
D.2个球中恰好有1个白球
解析:2个球都是白球的概率为;2个球都不是白球的概率为(1-)×(1-)=;2个球不都是白球的概率为1-;2个球中恰好有1个白球的概率为×(1-)+×(1-)=.
答案:C
2.某闯关游戏规则是:在主办方预设的6个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,闯关成功,假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于(　　)
A.0.064 B.0.144 C.0.216 D.0.432
解析:该选手恰好回答了4个问题就闯关成功,包括两种情况:一是前2个问题回答错误,第3,4个问题回答正确,二是第1个问题回答正确,第2个问题回答错误,第3,4个问题回答正确,则对应的概率P=0.4×0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6×0.6=0.144.
答案:B
3.如图,某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中,若该电路为通路的概率为,则p=(　　)
A. B.
C. D.
解析:因为该电路为通路的概率为,所以该电路为不通路的概率为1-,只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-=(1-p)4,解得p=或p=(舍去).
答案:B
4.已知两名实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为　　　　.
解析:所求概率为P=或P=1-.
答案:
5.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这条道路上匀速行驶,假设三盏灯相互独立,则三处都不停车的概率为　　　　　.
解析:由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为.
在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为.
答案:
6.一袋中有除颜色外其他完全相同的3个红球、2个白球,另一袋中有除颜色外完全相同的2个红球、1个白球,从每袋中任取1个球,则至少取到1个白球的概率为　　　　.
解析:至少取到1个白球的对立事件为从每袋中都取得红球,从第一个袋中取1个球为红球的概率为,从另一个袋中取1个球为红球的概率为,则至少取到1个白球的概率为1-.
答案:
7.某同学在参加一次考试时,有三道单项选择题不会,每道单项选择题他都随机选了一个答案,且每道题他猜对的概率均为.
(1)求该同学三道题都猜对的概率;
(2)求该同学至少猜对一道题的概率.
解:记事件Ai=“第i道题猜对了”,其中i=1,2,3,
则P(A1)=P(A2)=P(A3)=.
(1)三道题都猜对可以表示为A1A2A3,因为A1,A2,A3是相互独立的,
所以P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=.
(2)“至少猜对一道题”的对立事件是“三道都猜错”,后者可以表示为,所以P()=P()P()P()=,
因此所求概率为1-P()=1-.
8.某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,且三个项目是否成功互相独立.
(1)求恰有两个项目成功的概率;
(2)求至少有一个项目成功的概率.
解:(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为,
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为,
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为,
所以恰有两个项目成功的概率为.
(2)三个项目全部失败的概率为,
所以至少有一个项目成功的概率为1-.
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