《学霸笔记 同步精讲》6.2.3 向量的数乘运算 练习（教师版）数学人教A版必修二

6.2.3　向量的数乘运算
课后训练巩固提升
A组
1等于(　　)
A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b
解析:原式=(2a+8b)-(4a-2b)=a+b-a+b=-a+2b=2b-a.
答案:B
2.在△ABC中,D是线段BC的中点,且=4,则(　　)
A=2 B=4
C=2 D=4
解析:由已知得=2,因为=4,所以=2
答案:A
3.已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则(　　)
A.A,C,D三点共线 B.B,C,D三点共线
C.A,B,C三点共线 D.A,B,D三点共线
解析:因为=(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以
又有公共点B,所以A,B,D三点共线.
答案:D
4.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则等于 (　　)
A
B
C
D
解析:=-=
答案:A
5.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb
B.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b
D.若ma=na,则m=n
解析:根据数乘运算的运算律及性质,知选项AB正确;C中,若ma=mb,则a=b或m=0,故C错误;D中,若ma=na,则m=n或a=0,故D错误.
答案:AB
6.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ的值是　　　　　.
解析:∵a=λb,
∴|a|=|λ||b|,
∴|λ|=,∴λ=±
答案:±
7.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为　　　　　　　　.
解析:因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线,所以ma-3b=λ[a+(2-m)b].
又因为向量a,b是两个不共线的向量,
所以m=λ且-3=λ(2-m),解得m=-1或m=3.
答案:-1或3
8. 在 ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,求(用a,b表示).
解法一:如图所示,在 ABCD中,设AC交BD于点O,则点O平分AC和BD.
,
∴N为OC的中点.
又M为BC的中点,∴MN=BO,
(b-a).
解法二:)=(a+b)-a=(b-a).
9.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,证明这个四边形为梯形.
证明:=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b),
=2,共线,且||=2||.
所在直线不重合,
∴AD∥BC,且AD=2BC.
∴四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形.
二、B组
1.已知点P满足向量=2,则点P与AB的位置关系是(　　)
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在直线AB外
解析:=2,,
,
∴点P在线段AB的反向延长线上,故应选C.
答案:C
2.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线交DC于点F,若=a,=b,则等于(　　)
Aa+b Ba+b C.a+b D.a+b
解析:由题意得BE=3DE,DF∥AB,所以DF=AB,所以a+b.
答案:A
3.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2+,则λ等于(　　)
A B.- C D
解析:由题意知,
,
)=,∴λ=
答案:A
4.已知点P是△ABC内的一点,),则△ABC的面积与△PBC的面积之比为(　　)
A.2 B.3 C D.6
解析:设BC的中点为D,则=2
)=,
如图,过点A作AE⊥BC,交BC于点E,过点P作PF⊥BC,交BC于点F,
则,
=3.
答案:B
5.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　.
解析:由已知得=-,
因此,且||≠||,
所以四边形ABCD是梯形.
又因为||=||,
所以四边形ABCD是等腰梯形.
答案:等腰梯形
6.若=t(t∈R),O为平面上任意一点,则=　　　　　　　　(用表示).
解析:=t,
=t(),
+t-t=(1-t)+t
答案:(1-t)+t
7.设a,b是两个不共线的非零向量,如果=a,=tb(t∈R),(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线
解:=a,=tb,(a+b),
=tb-a,
(a+b)-a=b-a.
∵A,B,C三点共线,
∴存在实数λ,使=,即tb-a=λ(b-a).
∵a,b不共线,解得
∴当t=时,A,B,C三点共线.
8.在△ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求t的值.
解:,
∴3=2,即2-2,
∴2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.
∵A,M,Q三点共线,
∴设=x+(1-x)+(x-1),
,
又,且=t,
=t,
解得t=
1