《学霸笔记 同步精讲》6.2.4 向量的数量积 练习（教师版）数学人教A版必修二

6.2.4　向量的数量积
课后训练巩固提升
A组
1.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是 (　　)
A.60° B.120° C.30° D.150°
解析:平移向量a,b使它们有公共起点O,如图所示,则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60°.
答案:A
2.已知向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=1,则|m-n|等于(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:∵|m-n|2=m2-2m·n+n2=3-21+1=1,
∴|m-n|=1.
答案:D
3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a-b)等于(　　)
A B.- C.- D
解析:∵|a|=1,|b|=,a与b的夹角为,
∴a·b=1cos,
∴(a+b)·(2a-b)=2a2+a·b-b2=2+-3=
答案:A
4.已知|b|=3,向量a在向量b上的投影向量为b,则a·b等于(　　)
A.3 B C D
解析:设向量a,b的夹角为θ.
∵a在b上的投影向量为|a|cos b,
,即|a|cos θ=,
∴a·b=|a||b|cos θ=3
答案:D
5.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中是真命题的为(　　)
A.|a·b|=|a||b| a∥b
B.a,b反向 a·b=-|a||b|
C.a⊥b |a+b|=|a-b|
D.|a|=|b| |a·c|=|b·c|
解析:A.∵a·b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角),
∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆,故命题A是真命题.
B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,
∴a·b=|a|·|b|cos π=-|a||b|且以上各步均可逆,故命题B是真命题.
C.当a⊥b时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形,所以有a⊥b,故命题C是真命题.
D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|,故命题D是假命题.
答案:ABC
6.若向量a,b满足|a|=,|b|=1,a·(a+b)=1,则向量a,b的夹角的大小为　　　　　.
解析:∵|a|=,a·(a+b)=1,
∴a2+a·b=2+a·b=1,∴a·b=-1.
设a,b的夹角为θ,则cos θ==-,又θ∈[0,π],∴θ=
答案:
7.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b⊥c,则t=　　　　　.
解析:因为b⊥c,所以b·c=b·[ta+(1-t)b]=ta·b+(1-t)b2=t+1-t=1-t=0,解得t=2.
答案:2
8.已知向量a,b,|a|=4,|b|=2.
(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;
(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.
解:(1)a·b=|a||b|cos 120°=4×2=-4.
∵|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,
∴|3a-4b|=4
(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,∴a·b=-4,
∴cos θ==-.
又0°≤θ≤180°,∴θ=120°.
9.如图,在平面内将两个直角三角形拼接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.
(1)试用a,b表示向量;
(2)若|b|=1,求.
解:(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.
∴b,则=a+b,=a+(-1)b.
(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.
二、B组
1.(多选题)已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是(　　)
A.|a+b|=1 B.a⊥b
C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1
解析:由题意知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误;
∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3,
∴|a+b|=,故A错误;
∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0,
∴(4a+b)⊥b,故C正确;
a·b=1×2×cos 120°=-1,故D正确.
答案:CD
2.定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于(　　)
A.8 B.-8 C.8或-8 D.6
解析:因为|a|=2,|b|=5,a·b=-6,
所以cos θ==-
又θ∈[0,π],所以sin θ=,
所以|a×b|=|a||b|sin θ=2×5=8.
答案:A
3.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则b在a上的投影向量为(　　)
A.3a B.-a C.-3a D.a
解析:设向量a,b的夹角为θ.由a⊥(a+b),得a·(a+b)=0,即|a|2+a·b=0,于是a·b=-9,因此b在a上的投影向量为|b|cos a=-a.
答案:B
4.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是(　　)
A B C D
解析:Δ=a2-4|a||b|cos θ(θ为向量a与b夹角),若方程有实根,则有Δ≥0即a2-4|a||b|cos θ≥0,因为|a|=2|b|,所以4|b|2-8|b|2cos θ≥0,所以cos
又因为0≤θ≤π,所以π.
答案:B
5.设向量a,b满足|a|=1,|b|=1,且|ka+b|=|a-kb|(k>0).若a与b的夹角为60°,则k=　　　　　.
解析:由|ka+b|=|a-kb|,
得k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2,
即(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
∵|a|=1,|b|=1,a·b=1×1×cos 60°=,
∴k2-2k+1=0,∴k=1.
答案:1
6.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为　　　　　.
解析:因为,
所以=()=1+1×||cos 60°-|2=1,
所以|-|2=0,解得||=
答案:
7.已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求:
(1)a与b的夹角;
(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.
解:(1)∵(a-b)·(a+b)=,∴|a|2-|b|2=
∵|a|=1,∴|b|=
设a与b的夹角为θ,则cos θ=
∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°.
(2)∵(a-b)2=a2-2a·b+b2=,∴|a-b|=
∵(a+b)2=a2+2a·b+b2=,∴|a+b|=
设a-b与a+b的夹角为α,则
cos α=
8.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7.是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直
解:若(μa+b)⊥(a-2b),则(μa+b)·(a-2b)=0,即μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.
∵a+b+c=0,
∴c=-a-b,
则|c|2=|a+b|2=9+25+2a·b=49,
∴a·b=,
∴9μ-2×25-2μ=0,∴μ=-,
∴存在μ=-,使得μa+b与a-2b垂直.
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