《学霸笔记 同步精讲》6.4.3 第2课时 正弦定理 练习（教师版）数学人教A版必修二

第2课时　正弦定理
课后训练巩固提升
A组
1.在△ABC中,一定成立的等式是(　　)
A.asin A=bsin B B.acos A=bcos B
C.asin B=bsin A D.acos B=bcos A
解析:由正弦定理,可得asin B=bsin A,故C选项一定成立.
答案:C
2.在△ABC中,A=60°,B=75°,b=2+2,则△ABC中最小的边长为(　　)
A.2 B.4 C D
解析:∵C=180°-A-B=45°,由三角形的边角关系可知最小的边长为c,由正弦定理得,
∴c==4.
答案:B
3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,c=2,cos A=,则b等于(　　)
A B C.2 D.3
解析:(方法一)由cos A=,且A∈(0,π),得sin A=,由正弦定理得sin C=
由a>c,得A>C,则cos C=
∵B=π-(A+C),
∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=1,
∴b=3.
(方法二)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得()2=b2+22-2b·2,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去),即b=3.
答案:D
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B=bcos A,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.钝角三角形
解析:由正弦定理的变形公式,知a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径),代入acos B=bcos A,得sin Acos B=sin Bcos A,即sin(A-B)=0,则A-B=0,即A=B,故△ABC为等腰三角形.
答案:C
5.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹的边的长为1,那么这个三角形最小的边长为　　　　　.
解析:不妨设A=45°,B=60°,
则AB=1,C=180°-45°-60°=75°.
∵A由正弦定理,得BC=-1.
即这个三角形最小的边长为-1.
答案:-1
6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则sin B=　　　　　,b=　　　　　.
解析:由cos A=,cos C=,可得sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,由正弦定理可得b=.
答案:
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8,则角B的大小为　　　　　.
解析:利用正弦定理化简已知等式,得a∶b∶c=5∶7∶8,设a=5k,b=7k,c=8k(k>0),利用余弦定理的推论,得cos B=,
∵B∈(0,π),∴B=
答案:
8.在△ABC中,已知a=,b=2,A=30°,解此三角形.
解:由正弦定理,
得sin B=
∵0°当B=45°时,
C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°.
,
∴c=+1;
当B=135°时,
C=180°-(A+B)=180°-(30°+135°)=15°,
∴c=-1.
综上可得,B=45°,C=105°,c=+1或B=135°,C=15°,c=-1.
9.已知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+c=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,b=,求c的值.
解:(1)由正弦定理及acos C+c=b,
得sin Acos C+sin C=sin B.
因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
所以sin C=cos Asin C.
因为sin C≠0,所以cos A=
因为0(2)由正弦定理,得sin B=
因为0①当B=时,由A=,得C=,
因为c=,所以c=2;
②当B=时,由A=,得C=,即c=a=1.
综上可得c=1或c=2.
二、B组
1.在△ABC中,A=60°,a=,则等于(　　)
A B C D.2
解析:由a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径),
得=2R=
答案:B
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果m=(a2,b2),n=(tan A,tan B),且m∥n,那么△ABC一定是 (　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解析:由m∥n,得a2tan B=b2tan A,
结合正弦定理有,即
则sin 2A=sin 2B.
得2A=2B或2A+2B=π.
故A=B或A+B=,
即△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D.
答案:D
3.(多选题)根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是(　　 )
A.a=8,b=16,A=30°,有一解
B.b=18,c=20,B=60°,有两解
C.a=5,c=2,A=90°,无解
D.a=30,b=25,A=150°,有一解
解析:对于选项A,由正弦定理,得sin B==1,即B=90°,有一解,故A正确;对于选项B,sin C=,即sin C>sin B,又c>b,∴C>B,故C有两解,故B正确;对于选项C,sin C=,∵A=90°,∴Cb,A=150°,∴B只有一解,故D正确.
答案:ABD
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3bcos A=ccos A+acos C,则tan A的值是(　　)
A.-2 B.- C.2 D
解析:由正弦定理,得b=2Rsin B,c=2Rsin C,a=2Rsin A(R为△ABC外接圆的半径),
则3(2Rsin B)cos A=2Rsin Ccos A+2Rsin Acos C,
则有3sin Bcos A=sin(C+A)=sin B.
∵sin B≠0,∴cos A=>0.
∵A∈(0,π),∴A为锐角,
∴sin A=,
则有tan A==2
答案:C
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=x,b=2,B=45°.若△ABC有两解,则x的取值范围是　　　　　.
解析:因为△ABC有两解,所以asin B答案:(2,2)
6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=　　　　　.
解析:∵2bcos B=acos C+ccos A,
∴由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,
∴2sin Bcos B=sin(A+C)=sin(π-B)=sin B.
又sin B≠0,∴cos B=
∵0答案:
7.在△ABC中,B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.
解:∵2b=a+c,B=60°,
∴由正弦定理得2sin B=sin A+sin C.
由A+C=120°,知C=120°-A.
=sin A+sin(120°-A)=sin A+cos A+sin A=sin A+cos A=sin(A+30°),
∴sin(A+30°)=1,
∴A=60°,C=60°.
∴△ABC为等边三角形.
8.已知△ABC为锐角三角形,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsin A,求cos A+sin C的取值范围.
解:设R为△ABC外接圆的半径.
∵a=2bsin A,
∴2Rsin A=4Rsin Bsin A.
∵sin A≠0,∴sin B=
又B为锐角,∴B=
令y=cos A+sin C=cos A+sin[π-(B+A)]=cos A+sin=cos A+sincos A+cossin A
=cos A+sin A=sin
由△ABC为锐角三角形,知-B则即得sin,即故cos A+sin C的取值范围是
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