高考数学二轮复习函数与导数突破专题提分点9抽象函数的性质探索问题课件(共52张PPT)

(共52张PPT)
提分点 9　抽象函数的性质探索问题
真题重做
1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　)
A．f(10)>100 B．f(20)>1 000
C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000
答案：B
解析：因为当x<3时f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2，又因为f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，则f(3)>f(2)＋f(1)＝3，f(4)>f(3)＋f(2)>5，f(5)>f(4)＋f(3)>8，f(6)>f(5)＋f(4)>13，f(7)>f(6)＋f(5)>21，f(8)>f(7)＋f(6)>34，f(9)>f(8)＋f(7)>55，f(10)>f(9)＋f(8)>89，f(11)>f(10)＋f(9)>144，f(12)>f(11)＋f(10)>233，f(13)>f(12)＋f(11)>377，f(14)>f(13)＋f(12)>610，f(15)>f(14)＋f(13)>987，f(16)>f(15)＋f(14)>1 597>1 000，则依次下去可知f(20)>1 000，则B正确，且无证据表明A，C，D一定正确．故选B.
2．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则 ＝(　　)
A．－3　　B．－2 C．0　　　D．1
答案：A
解析：因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，则f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x－6)，所以函数f(x)的一个周期为6，因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，由于22除以6余4，所以 ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.
3．(2023·新高考Ⅰ卷)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　)
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
答案：ABC
解析：取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确．综上，选ABC.
答案：BC
命题预测
命题依据：抽象函数的性质问题是近几年高考的热点，这类问题能综合检验考生对函数性质的理解与应用能力，符合高考“强化基础、注重综合”的命题导向，应引起重视．
预测角度1　抽象函数的求值
预测1 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－y)－f(x＋y)＝f(x－1)f(y)，且f(－1)＝－2，则f(2 025)＝(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
答案：D
解析：令x＝1，y＝0，则f(1－0)－f(1＋0)＝f(1－1)f(0)，可得f(0)＝0；令x＝0，y＝1，则f(0－1)－f(1＋0)＝f(0－1)f(1)，可得f(1)＝2；令x＝1，y＝1，则f(1－1)－f(1＋1)＝f(1－1)f(1)，可得f(2)＝0；令x＝2，y＝1，则f(2－1)－f(2＋1)＝f(2－1)f(1)，可得f(3)＝－2；令x＝3，y＝1，则f(3－1)－f(3＋1)＝f(3－1)f(1)，可得f(4)＝0；令x＝4，y＝1，则f(4－1)－f(4＋1)＝f(4－1)f(1)，可得f(5)＝2.可得f(x)是以4为周期的周期函数，则f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝2.故选D.
得分秘籍
抽象函数求值问题常用赋值法，依据已知条件，对自变量合理赋值解决问题．
[对点练1]　(1)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2x＋2y，且f(1)＝1，则f(1 000)＝(　　)
A．2999＋2 995 B．2999＋2 996
C．21 000＋2 995 D．21 000＋2 996
答案：D　
(2)(2025·河北沧州模拟)已知函数f(x)满足 x∈R，f(x－1)＋6≥f(x＋5)，f(x＋1)－3≥f(x－2)，若f(3)＝2，则f(2 025)＝________．
答案：2 024
解析：依题意，因为f(x－1)＋6≥f(x＋5)，则f(x)＋6≥f(x＋6)，令x＝－3，则f(－3)＋6≥f(3)，因为f(3)＝2，所以f(－3)≥－4，又因为f(x＋1)－3≥f(x－2)，则f(x)－3≥f(x－3)，即f(x)≥f(x－3)＋3，令x＝0，则f(0)≥f(－3)＋3，即f(0)≥－1，令x＝3，则f(3)－3≥f(0)，所以f(0)≤－1，故得f(0)＝－1，又f(2 025)＝f(2 019＋6)≤f(2 019)＋6≤f(2 013)＋6＋6≤…≤f(3)＋337×6＝2 024；又f(2 025)≥f(2 025－3)＋3＝f(2 022)＋3≥f(2 019)＋3＋3≥…≥f(0)＋675×3＝－1＋2 025＝2 024，所以2 024≤f(2 025)≤2 024，即f(2 025)＝2 024.
预测角度2　抽象函数的奇偶性、周期性与对称性
预测2 (多选)定义在R上的函数f(x)，g(x)满足g(x＋1)－f(2－x)＝2，f′(x)＝g′(x－1)，且g(x＋2)为奇函数，则下列结论正确的是(　　)
A．函数g(x)关于点(2，0)对称
B．函数f′(x)关于直线x＝2对称
C．函数f(x)的周期为4
D． ＝0
答案：AC
解析：对于A，因为g(x＋2)为奇函数，所以g(x＋2)＝－g(－x＋2)，所以函数g(x)关于点(2，0)对称，故A正确；对于B，因为g(x＋1)－f(2－x)＝2，所以g′(x＋1)＋f′(2－x)＝0，所以g′(x)＋f′(3－x)＝0，又f′(x)＝g′(x－1)，所以f′(x＋1)＝g′(x)，所以f′(x＋1)＋f′(3－x)＝0，即f′(x＋2)＋f′(2－x)＝0，所以函数f′(x)的图象关于点(2，0)对称，故B错误；对于C，因为f′(x)＝g′(x－1)，所以[f(x)－g(x－1)]′＝0，所以f(x)－g(x－1)＝c，c为常数，因为g(x＋1)－f(2－x)＝2，所以g(3－x)－f(x)＝2，所以g(3－x)－g(x－1)＝2＋c，取x＝2，可得c＝－2，所以g(3－x)＝g(x－1)，由g(x＋2)＝－g(－x＋2)，得g(x＋1)＝－g(－x＋3)，所以g(x＋1)＝－g(x－1)，即g(x)＝－g(x－2)，所以g(x＋4)＝－g(x＋2)＝g(x)
所以函数g(x)是周期函数，且周期为4，又f(x)－g(x－1)＝c＝－2，即f(x)＝g(x－1)－2，所以函数f(x)也是以4为周期的周期函数，故C正确；对于D，因为g(x＋2)＝－g(－x＋2)，g(x)＝－g(x－2)，所以g(3)＝－g(1)，即g(3)＋g(1)＝0，所以g(4)＝－g(2)＝0，则g(4)＋g(2)＝0，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0， ＝506[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＝g(1)，无法确定该值，故D错误．故选AC.
得分秘籍
解决此类问题的难点在于推出函数的周期并能应用．事实上对于函数的对称轴、对称中心和周期，知道其中两个即可推得第三个．
[对点练2]　(1)(2025·河南鹤壁模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若f(2x－1)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，则(　　)
A．f(2 023)＝0 B．f(2 024)＝0
C．f(2 021)＝0 D．f(2 022)＝0
答案：A
解析：因为f(2x－1)为奇函数，所以f(－2x－1)＝－f(2x－1)，令u＝2x－1，则f(u)＝－f(－u－2)，即f(x)＝－f(－x－2)　①；令x＝0，得到f(－1)＝0；因为f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝f(2－x)　②；结合①②得到f(2－x)＝－f(－x－2)，f(x)＝－f(x＋4)，f(x＋4)＝－f(x＋8)，所以f(x)＝f(x＋8)，所以函数的周期为8，所以f(2 023)＝f(252×8＋7)＝f(7)＝f(－1)＝0.故选A.
(2)(2025·河北石家庄模拟)(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)是定义在R上的奇函数，则(　　)
A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称
B．f(x)是周期为2的函数
C．f(2 027)＝0
D． ＝0
答案：AC
解析：(2)对于A，因为y＝f(x＋1)是R上的奇函数，其图象关于原点对称，又y＝f(x＋1)可看成是函数y＝f(x)向左平移1个单位得到，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；对于B，由y＝f(x＋1)是R上的奇函数，可得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即 f(－x)＝－f(x＋2)，又f(－x)＝f(x)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期为4的函数，故B错误；对于C，由f(－x)＝－f(x＋2)，令x＝－1，得f(1)＝－f(1)，则f(1)＝0，所以f(2 027)＝f(506×4＋3)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，故C正确；对于D，由f(x＋2)＋f(x)＝0，则f(2)＋f(4)＝0，又f(1)＝f(3)＝0，f(x)是周期为4的函数，则 ＝4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(2)，而f(2)的值无法确定，故D错误．故选AC.
专题强化练
1．(2025·江西景德镇模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R，且(y＋1)f(x)＝xf(y＋1)＋a，则a＝(　　)
A．0 B．1 C．2 D．－1
答案：A
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.令x＝y＝0，得f(0)＝a＝0.故选A.
答案：B
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)＝f(2－x)，f(3)＝2，则
＝(　　)
A．0 B．－1 012 C．－2 D．1 010
答案：C
解析：已知f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，因为f(x)＝f(2－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，函数f(x)的周期为4，因为f(3)＝2＝－f(1)，f(1)＝－2，f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－2＋0＋2＋0＝0，因为2 025＝4×506＋1，前2 024 项和为506×0＝0，f(2 025)＝f(1)＝－2，所以
＝0＋(－2)＝－2.故选C.
4．(2025·河南郑州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝(x－3)f(x)的图象关于x＝3对称，若g(－2)＝－5，则f(4)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．0 D．1
答案：D
解析：因为g(－2)＝(－2－3)f(－2)＝－5f(－2)＝－5，所以f(－2)＝1，因为f(x)是奇函数，f(2)＝－f(－2)＝－1，所以g(2)＝(2－3)f(2)＝1，因为函数g(x)＝(x－3)f(x)的图象关于x＝3对称，所以g(4)＝g(2)＝1，即g(4)＝(4－3)f(4)＝f(4)＝1.故选D.
5．(2025·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，若g(－1)＝3，则f(3)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．0 D．1
答案：B
解析：由函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称可知，g(2－x)＝－g(2＋x)，即(2－x－2)f(2－x)＝－(2＋x－2)f(2＋x)，可得f(2－x)＝f(2＋x)，因此函数f(x)具有对称轴x＝2，由g(－1)＝(－1－2)f(－1)＝3，可得f(－1)＝－1，由f(x)为R上的偶函数且具有对称轴x＝2，可得f(3)＝f(1)＝f(－1)＝－1.故选B.
答案：D
7．(2025·河北秦皇岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x－1)，且f(x－1)是奇函数，则下列结论错误的是(　　)
A．f(－1)＝0 B．f(0)＝f(2)
C．f(－4)＝f(4) D．f(11)＝－1
答案：D
解析：因为f(x＋3)＝－f(x－1)，则有f(x＋7)＝－f(x＋3)＝f(x－1)，所以f(x＋8)＝f(x)，由此可知f(x)是周期为8的周期函数，又因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，因为f(x＋3)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝f(－x－1)．对于A，根据f(－x－1)＝－f(x－1)，将x＝0代入得f(－1)＝－f(－1)，解得f(－1)＝0，A正确．对于B，根据f(x＋3)＝f(－x－1)，将x＝－1代入，得f(0)＝f(2)，B正确．对于C，根据f(x＋8)＝f(x)，将x＝－4代入，得f(－4)＝f(4)，C正确．对于D，根据f(x＋8)＝f(x)，有f(11)＝f(3)，又根据f(x＋3)＝f(－x－1)，将x＝0代入，得f(3)＝f(－1)，由A选项可知f(－1)＝0，所以f(11)＝f(－1)＝0，D错误．故选D.
答案：B
答案：ABD
答案：ACD
11．(2025·河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若满足f(1－x)＋f(x)＝－1，且函数f(x＋1)是奇函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(0)＝－1
B．f(2 025)＝2 023
C．f(x＋2 024)＝f(x)
D． ＝－2 025
答案：AD
解析：函数f(x)的定义域为R，由函数f(x＋1)是奇函数，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，对于A，由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(1)＝0，由f(1－x)＋f(x)＝－1，得f(1)＋f(0)＝－1，则f(0)＝－1，A正确；对于B，由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(1－x)＋f(x)＝－1，得f(x＋1)－f(x)＝1，f(2 025)＝f(1)＋f(2)－f(1)＋f(3)－f(2)＋…＋f(2 025)－f(2 024)＝2 024，B错误；对于C，f(2 025)＝2 024，而f(1)＝0，即f(2 025)≠f(1)，因此f(x＋2 024)≠f(x)，C错误；对于D，由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(1－x)＋f(1＋x)＝0，则 ＝－f(2 026)＋f(－2 024)＋f(2 026)＋f(－2 023)＋f(2 025)＋…＋f(－1)＋f(3)＋f(0)＋f(2)＋f(1)＝－f(2 026)＋f(1)＝－[f(2 025)＋1]＋f(1)＝－(2 024＋1)＋0＝－2 025，D正确．故选AD.
12．(2025·黑龙江大庆模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝3，且f(1)＝－1，则f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝________．
答案：2
解析：由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，令x＋1代替x，可得f(x＋2)＝3－f(x)，则f(x＋4)＝3－f(x＋2)＝f(x)，可得f(2 025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－1，由f(x＋1)＋f(x－1)＝3，令x＝2 025，则f(2 026)＋f(2 024)＝3，所以f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝2.
13．(2025·安徽滁州模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R.若f(－1－2x)＋f(3＋2x)＝0，f(－1)＝1，且f′(x)的图象关于直线x＝－1对称，则 ＝________．
答案：－1 225
14．(2025·河北名校联考)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为g(x)，f(2x＋1)＋2x为偶函数，且g(1＋x)＝g(3－x)，则 ＝________．
答案：－2 025
解析：由f(2x＋1)＋2x为偶函数得f(－2x＋1)－2x＝f(2x＋1)＋2x，则f(2x＋1)－f(1－2x)＝－4x.两边同时求导，得g(2x＋1)＋g(1－2x)＝－2.所以g(x)的图象关于点(1，－1)对称，即g(x)＋g(2－x)＝－2　①，由g(x)的图象关于x＝2对称，得g(x)＝g(4－x)　②.①－②得g(2－x)＋g(4－x)＝－2，所以g(2＋x)＋g(x)＝－2，又g(4＋x)＋g(2＋x)＝－2，所以g(x)＝g(x＋4)，即g(x)的周期为4，g(1)＝g(3)＝－1，g(2)＋g(4)＝－2，
＝g(1)＋g(2)＋…＋g(2 025)＝－2 024＋g(2 025)＝－2 024＋g(1)＝－2 025.