高考数学二轮复习函数与导数突破专题提分点12导数与函数的零点课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
提分点 12　导数与函数的零点
真题重做

(2)设x1，x2分别为f(x)在区间(0，＋∞)的极值点和零点．
(ⅰ)设函数g(t)＝f(x1＋t)－f(x1－t)．证明：g(t)在区间(0，x1)单调递减；
(ⅱ)比较2x1与x2的大小，并证明你的结论．
(ⅱ)2x1>x2，证明如下：
由(ⅰ)知函数g(t)在区间(0，x1)上单调递减，
所以g(0)>g(x1)即0>f(2x1)，又f(x2)＝0，
由(1)可知f(x)在(x1，＋∞)上单调递减，x2∈(x1，＋∞)，且对任意x∈(0，x2)，f(x)>0，
所以2x1>x2.
命题预测
命题依据：有关函数的零点问题是高中数学的重点内容，近几年新高考一直没考查，预测2026年高考考查可能性较大．

答案：由题意得f′(x)＝ex－a－x，且f′(x)≥0在定义域R内恒成立，则ex－x≥a在定义域R内恒成立．
令g(x)＝ex－x，g′(x)＝ex－1，x<0时，g′(x)<0，即g(x)单调递减，
x>0时，g′(x)>0，即g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(x)min＝g(0)＝1，则a≤1，故实数a的取值范围为(－∞，1].
(2)试判断f(x)在(－∞，1)上的零点个数．
得分秘籍
零点个数问题常用两种方法处理，第一种，利用数形结合思想，将问题转化为直线与函数图象交点的个数问题；第二种，利用单调性结合零点存在定理确定零点所在区间，从而确定个数．
[对点练1]　(2025·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝x(x＋c)2在x＝1处有极大值．
(1)求实数c的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋a有三个不同的零点，求实数a的取值范围．
答案：由(1)可得函数f(x)＝x(x－3)2，则f′(x)＝3(x－1)(x－3)，
令f′(x)＝0，解得x＝1或3，可得下表：
x (－∞，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f(x)的极大值为f(1)＝4，极小值为f(3)＝0，
函数g(x)＝f(x)＋a存在三个零点，等价于函数f(x)的图象与直线y＝－a存在三个交点，
如图所示，
由图可得0<－a<4，则－4

(2)若a>0且函数f(x)在(0，π)上没有零点，求实数a的取值范围．
得分秘籍
(1)分离参数法：先分离参数，再通过求导求出分离参数后构造的新函数的最值，根据条件，通过数形结合构建关于参数的不等式，解不等式确定参数的取值(范围)．
(2)分类讨论法：结合单调性确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，再将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求．


(2)在(1)的条件下，若函数g(x)＝f(x)－m(x－1)有两个零点，求实数m的取值范围．

专题强化练
1．(15分)已知函数f(x)＝(x＋1)ex.
(1)求f(x)的单调区间及最小值；

(2)令g(x)＝f(x)－a，求g(x)的零点个数．


(2)求证：当a≥0时，f(x)有且仅有一个零点．
3．(15分)(2025·河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝x2(ln x－1)－2ax.
(1)当a＝0时，求f(x)的极小值．
(2)若函数g(x)＝ex＋f(x)有两个零点，求a的取值范围．
(2)已知F(x)＝f(x－1)，且F(x)在(1，＋∞)上存在零点，求实数λ的取值范围．