高考数学二轮复习数列突破专题提分点3分段数列与衍生数列课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
提分点 3　分段数列与衍生数列
真题重做
答案：方法一(最优解) 显然2n为偶数，则a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1，
所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3，且b1＝a2＝a1＋1＝2，
所以{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以b1＝2，b2＝5，bn＝3n－1.
方法二(奇偶分类讨论)
由题意知a1＝1，a2＝2，a3＝4，所以b1＝a2＝2，b2＝a4＝a3＋1＝5.
由an＋1－an＝1(n为奇数)及an＋1－an＝2(n为偶数)可知，
数列从第一项起，若n为奇数，则其后一项减去该项的差为1；
若n为偶数，则其后一项减去该项的差为2.
所以an＋2－an＝3(n∈N*)，则bn＝b1＋(n－1)×3＝3n－1.
(2)求{an}的前20项和．


(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
命题预测
命题依据：(1)分段数列的命题形式能够有效覆盖多个知识点，全面考查学生的知识掌握情况，如2023新高考Ⅱ卷第18题．(2)衍生数列(包括插项、去项、公共项)是高考考查的热点．这两种数列多以解答题的形式出现，难度中档．
预测角度1　分段数列
预测1 已知数列{an}是公差大于2的等差数列，其前n项和为Sn，a2＝5，且a1＋1，a2＋1，a5－2成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
答案：设等差数列{an}的公差为d(d>2)，则a1＝a2－d＝5－d，a5＝a2＋3d＝5＋3d，由a1＋1，a2＋1，a5－2成等比数列，得(6－d)(3＋3d)＝62，而d>2，解得d＝3，所以数列{an}的通项公式为an＝a2＋(n－2)d＝3n－1.

得分秘籍
对于通项公式为分段数列{an}求Sn时，可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.对于通项公式含有(－1)n，也可分奇数项和偶数项求解．
[对点练1]　(2025·河南郑州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2n＝2an＋1，S4＝4(a3－1)，n∈N*.
(1)求{an}的通项公式；


预测角度2　衍生数列
预测2 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；….设数列1，2，4经过第n次“积扩充”后所得数列的项数记为An，所有项的积记为Pn.
(1)求A2和P2；
答案：由题意A1＝5，A2＝9，P1＝20＋1＋2＋1＋3＝27＝128，P2＝27＋1＋2＋4＋5＝219.
(2)求An和Pn.
(3)求数列{Pn}的前n项积Tn.
得分秘籍
(1)解决插项问题，首先要弄清楚插入数列的项数，新插入数列与原数列各项之间的关系，然后利用分组或并项法求和．
(2)两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．
[对点练2]　(2025·江西上饶模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a3＝7，数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋3.数列{bn}的前n项和Tn满足Tn＝2bn－1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
答案：由Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋3，
则Sn＋2－Sn＋1＝Sn＋1－Sn＋3，即an＋2－an＋1＝3，
令n＝1时，S3＋S1＝2S2＋3 a1＋a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋3，解得a2＝a3－3＝4，
所以a2－a1＝3，故an＋1－an＝3恒成立，所以数列{an}为等差数列，公差d＝3，
故数列{an}的通项公式为an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
由Tn＝2bn－1，　①
则b1＝T1＝2b1－1，所以b1＝1，
当n>1时，Tn－1＝2bn－1－1，　②
①－②得bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1，
所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，故bn＝2n－1.

专题强化练
1．(15分)(2025·广东清远模拟)已知数列{an}的首项为a1＝4，且满足an＋1＋an＝6×5n(n∈N*)．
(1)求证：{an－5n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.

2．(15分)(2025·安徽芜湖模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*)．
(1)求{an}的通项公式；
答案：由an＋1＝Sn＋2(n∈N*)，得an＝Sn－1＋2(n≥2)，
则an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)，
又a2＝S1＋2＝a1＋2＝4，满足an＋1＝2an，所以an＋1＝2an(n∈N*)，
所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.
(2)保持{an}的各项顺序不变，在ak和ak＋1之间插入k个1，使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T55.

3．(15分)(2025·河南洛阳模拟)已知{an}是首项为1的等差数列，公差d>0，{bn}是首项为2的等比数列，a4＝b2，a8＝b3.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)若数列{bn}的第m项bm，满足bm＝3ak＋1，k∈N*，则将其去掉，数列{bn}剩余的各项按原顺序组成一个新的数列{cn}，求{cn}的前20项和S20.
4．(15分)(2025·河北沧州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n＋3－8.
(1)求{an}的通项公式；
答案：当n＝1时，a1＝S1＝24－8＝8.
当n≥2时，由Sn＝2n＋3－8得Sn－1＝2n＋2－8，
则an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n＋2＝2n＋2.
因为a1＝8＝21＋2，所以an＝2n＋2.