河北秦皇岛市实验中学2025-2026学年高二下学期开学测验数学试题(含解析)

秦皇岛市实验中学 2025-2026 学年度第二学期开学测验 高二数学试题
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线 的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则数列 的公差为 ( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3. 三棱锥 中, ,点 为 中点,点 满足 ,则 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 32 B. 32 或 124 C. 31 或 124 D. 124
5. 已知椭圆 的左、右焦点为 ,离心率为 ,过 的直线 交 于 两点,若 的周长为 ,则 的值为.
A. 4 B. 2 C. D.
6. 设 ,向量 且 ,则 ( )
A. B. 3 C. D. 4
7. 与双曲线 有共同渐近线,且过点 的双曲线方程是 ( )
A. B.
C. D.
8. 已知 为等比数列,若 ,则 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 已知曲线 的方程为 ,则下列结论正确的是 ( ).
A. 若曲线 为圆,则 的值为 2 ;
B. 当 时,曲线 为双曲线,其渐近线方程为 ;
C. “ ”是“曲线 表示椭圆”的充分不必要条件；
D. 存在实数 使得曲线 为双曲线,其离心率为 .
10. 在空间直角坐标系 中,下列说法正确的有( )
A. 与点 关于 轴对称的点的坐标为
B. 若 是空间向量的一组基底,且 ,则 也是空间向量的一组基底
C. 已知 ,则 在 上的投影向量的坐标为
D. 已知 ，平面 的法向量为 ，则
11. 已知公差为 1 的等差数列 满足 成等比数列,则()
A.
B. 的前 项和为
C. 的前 2025 项和为 -1014 D. 的前 10 项和为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若椭圆的焦点在 轴上,长轴的长为 4,离心率 ,则其标准方程为_____.
13. 数列 的前 项和 ,若 ,则 _____.
14. 已知向量 是平面 的一个法向量,向量 为直线 的一个方向向量,若 ,则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤
15. 已知数列 为递增的等比数列, .
(I) 求数列 的通项公式;
(II) 记 ,求数列 的前 项和 .
16. 如图,四棱锥 的底面 是正方形,侧棱 底面 是 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值.
17. 已知椭圆 的左顶点为 ,离心率为 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点 的直线 1 交椭圆 C 于 A，B 两点，当 取得最大值时，求 的面积.
18. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，
,斜率为 -1 的直线 与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)设直线 与 的斜率分别为 ，证明: 为定值.
19. 已知等差数列 的前 项和为 ,数列 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
1. A
抛物线 整理为标准形式 ,故焦点在 轴上,
又 的焦点坐标为 ,
由 得, ,所以此抛物线的焦点坐标为 .
故选: A.
2. B
设等差数列 的首项和公差分别为 和 ,则由题意可得
,联立解得 .
故选:B.
3. C
,又 为 中点,
.
故选:
4. C
,则 或 ,
当 时,公比 ,
则 .
当 时,公比 ,
则 .
5. C
解: 由椭圆的离心率 ,
若 的周长为 ,
,
由 ,
故选 .
6. B
向量 ,且 ,
,解得 ,
,
,
故选: B
7. A
设与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程为 ,
所求双曲线过点 ,
代入 ,
得 ,即 ,
与双曲线 有共同渐近线,且过点 的双曲线方程是 , 即 .
故选: A.
8. D
由题意得 为等比数列,则设首项为 ,公比为 ,
因为 ,所以 ,
联立方程组 ,解得 ,
结合题意可得 是首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 50 项和,
由求和公式得前 50 项和为 ,故 D 正确.
故选: D
9. AC
选项,当方程表示圆时, ,圆的方程为 正确. 选项, 时,方程为 ,表示双曲线,渐近线方程为 错误.
选项,当方程表示椭圆时, 椭圆”的充分不必要条件, 正确.
D 选项,当双曲线离心率为 时,双曲线为等轴双曲线,则 ,此方程无解, D 错误.
故选: AC
10. AC
A. 与点 关于 轴对称的点的坐标为 ,故 A 正确;
B. ,若 ,则 与 共线,所以 不是空间向量的一组基底, 故 B 错误;
C. 在 上的投影向量为 ,故 正确;
D. 因为 ,所以 ,所以 或 ,故 错误. 故选: AC
11. ACD
由题意设等差数列 的公差为 ,则 ,
因为 成等比数列,所以 ,
所以 ,
解得: ,所以 ,
对于 ,故 正确;
对于 的前 项和为 ,故 错误;
对于 ,因为 ,
所以 的前 2025 项和为
,故 C 正确;
对于 ,因为 ,
所以 的前 10 项和为 ,故 正确.
故选: ACD
12.
由题可设椭圆方程为 ,
则由题意得 ,解得 ,
则 .
则其标准方程为 .
故答案为: .
13.
由题意, ,
则
故答案为:
14.
已知 ,
若 ,则 与 平行,
所以 ,则 ,即 .
15. (I) (II)
解: (I) 由 及 ,
得 或 (舍)
所以
所以
(II) 由 (I) 得
所以
.
16. (1)连接 ,交 于点 ,
由底面 是正方形,可知 为 的中点,
又 是 的中点, 是 的中位线,
,
又 平面 平面 ,
平面 .
(2)设 ，
底面 底面 ,
即 是直角三角形, ,
又 是 的中点, ,
同理可得 ,且 平面 ,
平面 ,
在直角 中, ,
又 二面角 的平面角为 ,
.
二面角 的平面角的余弦值为 .
17. (1) (2)
(1) 由题意可得: ，得 ，则 .
所以椭圆 的方程:
(2) 当直线 与 轴重合,不妨取 ,此时
当直线 与 轴不重合,设直线 的方程为: ,设 ,
联立 得 ,
显然 .
所以
当 时, 取最大值 .
此时直线 方程为 ，不妨取 ，所以 .
又 ,所以 的面积
18.(1) 根据题意可得 ,解得 . 所以 的方程为 .
(2)设 ， ，直线 的方程为 .
由 消去 得 ,
所以 即 ,
所以 ,解得 , 所以直线 的方程为 ;
(3)证明:因为点 在 上，所以 或 (舍去)，所以 ，
由 (2) 得 ,
所以 .
因为 ,
所以 ,即 为定值.
19. (1)
(2)
(1)因为数列 是等差数列,且 , 设数列 的公差为 ,所以 ,解得 , 所以 .
当 时, ,
当 时, ,当 时仍成立, 所以 .
(2)由(1)得 ，
所以 ①,
②,
①-②得 ，
所以 .