河北石家庄市辛集中学2025-2026学年第二学期收心练习高二数学试题(含解析)

河北辛集中学 2025—2026 学年度第二学期收心练习 高二数学试题
一、单选题(本题共 8 题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)
1. 若 是空间中的一组基底,则下列可与向量 构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
2. 已知 ,则 到直线 的距离为 ( )
A. B. C. 1 D.
3. 设圆 与 轴交于 两点 在 的上方 ,过 作圆 的切线 ,若动点 到 的距离等于 到 的距离,则动点 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
4. 已知椭圆 的方程为 ，其中 依次将椭圆 的下半部分分成 10 等份， 若 是椭圆的右焦点，则 ( )
A. 10 B. 16 C. 20 D. 12
5. 已知数列 对任意 满足 ，则 ( )
A. B. 2 C. D.
6. 若一个等差数列的首项为 ,从第 10 项起开始比 1 大,则这个等差数列的公差 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7. 已知直线 被圆 截得的弦长为整数，则满足条件的直线 共有( )
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
8. 已知实数 满足 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题(共 3 题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知两条直线 的方程分别为 与 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则两条平行直线之间的距离为
C. 若 ,则
D. 若 ,则直线 一定相交
10. 已知 为双曲线 的右焦点,过 的直线 与圆 相切于点 ,且 与 及其渐近线在第二象限的交点分别为 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 直线 的斜率为
B. 直线 是 的一条渐近线
C. 若 ,则 的离心率为
D. 若 ,则 的渐近线方程为
11. 已知单位向量 两两的夹角均为 ,若空间向量 满足 ,则有序实数组 称为向量 在 “仿射” 坐标系 ( 为坐标原点) 下的“仿射”坐标,记作 ,则下列命题是真命题的为( )
A. 已知 ,则
B. 已知 ,其中 ,则当且仅当 时,向量 的夹角取得最小值
C. 已知 ,则
D. 已知 ,则三棱锥 的表面积
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，15 分)
12. 已知双曲线 的离心率分别为 和 ,则 的最小值为_____.
13. 如图,在四棱锥 中,底面 是矩形, 平面 且 , ，点 是线段 上一点，当平面 与平面 的夹角为 时， _____， 这时，点 到平面 的距离为_____.
14. 直线 与曲线 有两个不同的交点,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分)
15. 如图,在正三棱柱 中, 分别为棱 的中点, .
(1)证明: 平面 .
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
16. 已知数列 的前 项和 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的最大项是该数列的第几项；
(3)若 ，且数列 是严格递增数列，求实数 的取值范围.
17. 已知 是抛物线 的焦点,纵坐标为 的点 在 上,且 是 上两点,直线 不与 轴垂直,且直线 关于 轴对称. (1)求 的方程；
(2)求证:直线 过定点；
(3)求 的取值范围.
18. 设椭圆 的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为 ，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知动点 不在 轴上，点 在射线 上，且满足 .
(i) 设 ,求点 的坐标 (用 表示);
(ii) 设 为坐标原点, 是椭圆上的动点,直线 的斜率为直线 的斜率的 3 倍,求 的最大值.
19. 已知函数 在 处取得极小值 .
(1)求实数 的值；
(2)当 时，证明: .
1. B
由 是空间中的一组基底,故 两两不共线,
对 A: 有 ,故 A 错误;
对 B: 设 ,则有 ,
该方程无解,故 可与 构成基底,故 B 正确;
对 C: 有 ,故 C 错误;
对 D: 有 ,故 D 错误.
故选: B.
2. D
由 可知 ,
则与 同方向的单位向量为 ,
又 ,
故点 到直线 的距离为 .
故选: D.
3. A
因为圆 与 轴交于 两点 的上方 ,
所以 ,
又因为过 作圆 的切线 ,
所以切线 的方程为 ,
因为动点 到 的距离等于 到 的距离,
所以动点 的轨迹为抛物线,且其焦点为 ,准线为 ,
所以 的轨迹方程为 .
故选: A.
4. C
因为若 是椭圆的右焦点,且 ,可得 ,
设椭圆 的左焦点为 ,连接 ,
由椭圆的对称性,可得 ,
所以 .
故选: C.
5. A
解: 由 ,得 ,
所以 ,
所以 ,即 ①.
又因为 ②，
①②两式相乘，得 .
故选: A.
6. D
设这个等差数列为 ,则 ,
由题意可得 ,解得 .
故选: D.
7.
圆 的圆心、半径分别为 ,
圆心 到直线 的距离为 ,
设直线 被圆 截得的弦长为 ，
由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度 ，故分以下情形讨论:
当 时, ,解得 ,
当 时, ,化简得 ,解得
当 时, ,化简得 ,该方程无解, 当 时, ,化简得 ,该方程无解,
而直线 是斜率为 且过定点 的直线,直线 由 唯一决定,
综上所述，满足条件的直线 共有 3 条.
故选: C.
8. B
解: 根据题意,对于方程 ,
当 时,原方程为 ,为椭圆 在第一象限的部分;
当 时,原方程为 ,为双曲线 在第四象限的部分;
当 时,原方程为 ,为双曲线 在第二象限的部分;
当 时,原方程无解,曲线在第三象限没有图象,
记 ,变形可得 ,则 的几何意义是直线 纵截距的 2 倍,
由图知, ,当直线与四分之一椭圆相切时, 取最大值,
,而 ,当且仅当 时等号成立,
则有 ,变形可得 ,
则有 ,当且仅当 时等号成立,
即 的取值范围为 .
故选: B.
9. ACD
对于 ,两条直线 的方程分别为 与 ,
当 ,则 ,解得 ,经检验,满足两直线平行,故 正确;
对于 ,若 ,则 ,所以平行线间的距离 ,故 错误;
对于 ,当 ,则 ,解得 ,故 正确;
对于 ,由选项 得: 当 ,则直线 一定相交,故 正确.
故选: ACD.
10. ABD
对于 ,根据题意, ,设直线 , 又因为直线 与圆 相切于点 ,
所以 , A 正确;
对于 ,根据题意可知 ,可得 ,
所以直线 是 的一条渐近线, 正确;
对于 ,若 ,根据题意 ,联立 ,解得 ,
同理联立 ,解得 ,
由于 ,故 ,即 ,
化简得 ,则 的离心率为 ， 错误；
对于 ,设 ,依题意知 ,则 ,
故 ,得 ,
故 ,代入 ,得 ,
所以 ,则 ,
得 ,则 的渐近线方程为 正确;
故选: ABD
11. BC
对于 ,
,
因为 ,且 ,所以 ,故 A 错误;
对于 ,如图所示,设 ,则点 在平面 上,点 在 轴上,
由图易知当 时, 取得最小值,即向量 与 的夹角取得最小值,故 正确; 对于 ,根据“仿射”坐标的定义可得,
,故 C 正确;
对于 ,由已知可得三棱锥 为正四面体,棱长为 1,其表面积 ,故 D 错误.
故选: BC.
12.
,
由题意得 ,
则 ,当且仅当 , 即 时,等号成立,所以 的最小值为 .
故答案为: .
13.
因为底面 是矩形, 平面 ,所以 , 故以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,则 , 因为点 是线段 上一点,设
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 . 平面 的法向量为 .
因为平面 与平面 的夹角为 ,
所以 ,
所以 ,解得 ( 舍去),所以 .
此时 ,
所以点 到平面 的距离 .
14.
由 可得 ,整理可得 ,其中 ,
所以曲线 表示圆 的下半圆,
如图所示. 当直线 与曲线 相切时,
由图可知, ,且有 ,解得 .
当直线 过点 时,则有 .
由图可知,当 时,直线 与曲线 有两个不同的交点.
故答案为:
15.(1) 证明: 取 为 的中点,连接 .
因为 为棱 的中点,所以 ,且 .
又 为棱 的中点,所以 .
因为 且 ,所以 且 ,
所以四边形 为平行四边形,
所以 .
又 平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)取 为 的中点， 为 的中点，连接 .
因为 为正三棱柱，所以 两两垂直.
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 .
设平面 的法向量为 ,则
令 ,则 ,可得 ,
又 是平面 的一个法向量,
所以 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
16.
(2)11
(3)
(1) 当 时, , 当 时, ,不满足上式,
故数列 的通项公式为 ;
(2)由已知得 ,
当 时, ,
,则 ,
所以当 时， 单调递增，
所以数列 的最大项是该数列的第11项;
(3)由已知得 , 则 ,解得 ,
当 时，
,
要使 ,即 ,
设 ,
则 ,
所以数列 为单调递增数列,即 ,
综上,实数 的取值范围为 .
17.(1)由题知,点 的横坐标为 ,
根据抛物线的定义知, ,
解得 或 4 (舍去),
的方程为 .
(2)
由(1)知 .
设 ,直线 的方程为 ,代入 ,整理得
则 .
直线 关于 轴对称,
,
,
,
直线 过定点 .
(3)由(II)知， ， ， ，
,
又 在 时单调递增,
,
的取值范围为 .
18. ;
(2) (i) ; (ii)
(1) 因为椭圆 ,所以下顶点为 ,右顶点为 ,
由 ,得 ,即 ——①.
又因为离心率 ,得 ,即 ——②,
将②代入①得 ，
所以椭圆的标准方程为 .
(2)(i)由(1)知 ， ，所以 ，
因为点 在射线 上,设 , ,如图:
由 ,得 ,即 ,
所以 ,即 , 所以 .
(ii) 因为直线 的斜率为直线 的斜率的 3 倍,即 ,所以 .
再将 代入,得 ,
化简得 ,即 .
所以 点在以 为圆心,以 为半径的圆上,如图:
又因为 点是椭圆 上,设 ,
所以 点到圆 的距离
当且仅当 时等号成立,所以 .
19.(1) ,由题意知 ,则 , 即 ,
由 ,知 ,即 .
(2)由(1)得 ，设 ，
则 .
设 ,则 在 上单调递增,
且 ,所以存在唯一 ,使得 , 即 .
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增.
. 设 ,则 , 当 时, 单调递减,所以 ,所以 , 故当 时, .