河北衡水市冀州中学2025-2026学年高一下学期开学检测数学试题(含解析)

河北冀州中学 2025-2026 学年高一下学期开学检测数学试题
考试时间:120 分钟 试题分数:150 分
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 若 ,且角 的终边经过点 ,则 点的横坐标 是( )
A. B. C. D.
3. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 ,则 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知扇形弧长为 5,弧所对圆心角为 ,则该扇形的半径为( )
A. B. C. D.
6. 设 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
7. 已知不等式 的解集为 ，则 的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
8. 已知函数 在 上单调递增,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列是 的必要条件的是( )
A. B.
C. D.
10. 取整函数: 不超过 的最大整数,如 ,以下关于 “取整函数”的性质是真命题的有( )
A. B. ,则
C. D.
11. 已知 , 都是定义在 上的函数,其中 是奇函数, 是偶函数,且 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 为偶函数 B.
C. 为定值
D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的图象恒过定点_____.
13. 不等式 的解集为_____.
14. 已知 ,且 ,若 恒成立，则实数 的取值范围是_____. 四、解答题:本题共 6 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知集合 .
(1)求集合
(2)若 ,求实数 的取值范围.
16. 在① ; ② ; ③
中任选一个条件,补充在下面问题中,并解决问题.
已知 .
(1)求 ；
(2) 求 .
17. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)求 单调递减区间；
(3)当 时，求函数 的最大值以及取得最大值时 的值.
18. 已知函数 定义域为 ，
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，函数 在 上的最大值与最小值和为 0，求实数 的值.
19. 函数
(1) 当 时,是否存在实数 ,使得 为奇函数;
(2)若函数 过点 ，且函数 图像与 轴负半轴有两个不同交点，求实数 的取值. 范围.
20. 已知函数 是定义在 上的奇函数,且 .
(1)求 和 的值；
(2)判断 在 上的单调性,并用定义证明;
(3) 设 ,若对任意的 ,总存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
1. D
由 ,则 ,
集合 ,
故
故选: D.
2. D
由三角函数的定义可得:
,
解得 ,
故选: D
3. B
由 ,得 ,显然 ,
所以 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
故选: B
4. B
因为 ,
所以 ,
所以 ,
故选: B.
5. D
由题设,弧所对圆心角为 ,且弧长为 5,则扇形的半径为 .
故选: D
6. D
因为 在 上递增,且 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
因为 在 上递增,且 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
故选: D
7. C
因为不等式 的解集为 ,
所以方程 的两个根分别为 3 和 4,
则 ,解得 ,
所以 ,即 ,
即 ,即 或 ,
所以 的解集为 或 .
故选: C.
8. B
因为 在 上单调递增,且 时, 单调递增,
则需满足 ,解得 ,
即 的范围是 .
故选: B.
9. CD
A 选项,若 ,则 错误,
选项，等价为 ，当 时不成立，故 错误，
选项,因为 在 上单调递增,而 ,所以 正确;
D 选项,因为 在 上单调递增,而 ,所以 正确.
故选: CD
10. BC
时， ，但 ，故 A 为假命题； 设 ,则 ,故 B 为真命题; 时， ，故 C 为真命题； 时,有 ,但 ,故 为假命题. 故选: BC.
11. ACD
因为 ,所以 ,又 是奇函数, 是偶函数,所以 ,解得 .
对于 ,故 为偶函数, 正确;
对于 ,故 错误;
对于 ,故 正确;
对于 ,当 时, ;
当 时, ,所以
,故 D 正确.
故选: ACD.
12.
因为 时, ,所以图象恒过定点 .
13.
因为 ,根据正弦函数的性质, ,
且 在 上单调递增, 上单调递减,在 上函数值小于 0, , 所以不等式 的解集为 .
14.
因为 ,
所以 ,
当且仅当 时,等号成立,即当且仅当 时,等号成立,
所以 的最小值为 8,
因为 恒成立,所以 ,
所以
所以 的取值范围是 ,
故答案为: .
15. (1) 或
(2)
(1) 或 .
(2)由 ,则 ,
① 当 ,即 时, ,符合题意;
② 当 ，即 时，可得 ，解得 ； 故 的取值范围是 .
16. (1) 条件选择见解析,
(2)
(1)若选①， ，
又因为
解得 ,
所以 .
若选②，因为 ，化简得 ，
又因为 ,解得 ,
所以 .
若选③，因为 ，化简得
又因为 ,解得 ,
所以
( 2 )因为 ，且 ，所以 ，
所以
又因为 ,所以
17.
(2)
(3)当 时， 取得最大值
(1)因为
最小正周期为 .
(2)令 ，
解得 ,
所以函数 的单调递减区间为 .
(3)因为 ，
令 ,
,则 ,
因为 ,
的单调递增区间是 ,单调递减区间是
所以当 时，即 时，
取到最大值，
所以 .
18. ;
(2) .
(1) 由题设, 在 上恒成立,
当 时,易知不等号恒成立;
当 时,有 ,可得 ;
综上, .
( 2 )由 及( 1 )结论，令 ，
由已知及 ,有 ,又 为增函数,
,即 ,
或 ,由 (1) 知: , .
19. (1)不存在
(2) 且
(1) 当 时, ,定义域为 ,
假设 为奇函数,则 ,
而 ,则 ,此时无实数 满足条件,
所以不存在实数 ,使得函数 为奇函数;
(2) 图像经过点 ，则代入得 ，解得 ，
所以 ,定义域为 ,
令 ,则 的图像与 轴负半轴有两个交点,
所以 ,即 ,解得 ,
若 ,即 是方程 的解,
则代入可得 ，解得 或 .
由题意得 ,所以实数 的取值范围是 且 .
20. (1) 因为函数 是定义在 上的奇函数,
所以满足 ,又 ,可得 ,
解得 ,可得 ,
是奇函数,满足题意,
所以 .
(2) ，在 上单调递增，证明如下:
设任意 ,且 ,则
由 ,可得 ,
又 ,
则 ,则 ,
则 在 上单调递增;
(3)对任意的 ，由 在 上单调递增，
可得 ,即 ,则 在 上的值域为 , 的对称轴为 ,
当 时, 在 上为增函数,
值域为 ,
由题意可得 ,则 解得 ,
综上,实数 的取值范围为 .