河北衡水市安平中学2025-2026学年高二年级下学期假期作业测试数学试卷(含解析)

2025—2026 学年第二学期寒假作业测试 高二数学试题
一、单项选择题(本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若直线 的方向向量为 ,则空间一点 到直线 的距离为 ( )
A. B. C. D.
2. 已知直线 经过点 ，且与直线 平行，则 的方程为( )
A. B.
C. D.
3. ” ” 是 “方程 表示焦点在 轴上的椭圆” 的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4. 设 为数列 的前 项和,若 ,则数列 的通项公式为( )
A. B.
C. D.
5. 若函数 与函数 的图象关于直线 对称,则 ( )
A.
B. 1
C. ln3
D.
6. 关于等差数列和等比数列, 下列说法错误的是 ( )
A. 若数列 为等差数列,且 ,则 .
B. 若数列 的前 项和为 ,且 ,则 是等差数列.
C. 若数列 为等比数列, 为前 项和, ,则 .
D. 若数列 为等比数列,且 ,则 .
7. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线内一点，点 在双曲线的右支上，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，全部选对得 6 分， 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分)
8. 已知空间中三个向量 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 与 是共线向量
B. 与 同向的单位向量是
C. 在 方向上的投影向量是
D. 平面 的一个法向量是
9. 如图，在长方体 中， 为侧面 内一点. 若点 到平面 的距离与到直线 的距离相等，则 的值可以是( )
A. 1 B. C. D. 2
10. 已知椭圆的方程为 ,双曲线的方程为 ,则()
A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 椭圆和双曲线共焦点
C. 椭圆的离心率 D. 椭圆和双曲线的图象有 4 个公共点
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
11. 已知椭圆的焦点为 ， ，且经过 ，则椭圆的方程为_____.
12. 从椭圆 上一点 向 轴作垂线,垂足恰为左焦点 是椭圆与 轴正半轴的交点, 是椭圆与 轴正半轴的交点,且 ( 是坐标原点),则该椭圆的离心率是_____.
13. 设 分别是定义在 上的奇函数和偶函数, 为其导函数,当 时， 且 ，则不等式 的解集为_____.
四、解答题 (本大题共 2 小题, 共 32 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤)
14. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 .
(1)求证:数列 是等差数列；
(2)记 ，求数列 的前 22 项和.
15. 已知函数 ,
(1)若函数 在点 处的切线与直线 互相垂直，求实数 的值；
( 2 )若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
1. D
由 ,则 ,
所以 ,而 ,
则点 到直线 的距离为 .
故选: D
2. C
直线 经过点 ,且与直线 平行,则 的方程为 ,化简得
故选: C
3. A
因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆,
所以 ,解得 ,
所以 “ ” 是 “方程 表示焦点在 轴上的椭圆” 的充分不必要条件,
故选: A
4. D
由 ,当 时,可得 ,
两式作差,可得 ,即 ,
所以 ,
当 时,可得 ,即 ,解得 ,
所以数列 是以 -2 为首项,公比为 -2 的等比数列,
所以数列 的通项公式为 .
故选: D.
5. D
由函数 与函数 的图象关于直线 对称,得 , 求导得 ,所以 .
故选: D
6. B
对于 ,由 ,正确;
对于 ,数列 的前 项和 ,当 时, ,
当 时， ，
当 时， ，错误；
对于 ,因为数列 是等比数列,所以 成等比数列,
因为 ,所以 ,所以 ,所以
所以 ,正确;
对于 ,由 ,则 ,所以 ,
若 ,由 ,可得 , 所以 ,与已知条件矛盾,所以 ,正确
7. C
因为 ,所以要求 的最小值,
只需求 的最小值.
如图，连接 交双曲线的右支于点 . 当点 位于点 处时，
最小,最小值为 .
故 的最小值为 .
故选: C
8. BCD
对于 ,设 ,则得 ,显然无解, 故 与 不是共线向量, 错误;
对于 ,与 同向的单位向量是 正确;
对于 在 方向上的投影向量为 正确;
对于 ,即坐标为 的向量,
与 都垂直,因此平面 的一个法向量是 正确.
故选: BCD
9. CD
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系, 设 ,其中 ,则点 到平面 的距离为 ,
所以 ,
点 到直线 的距离为: , 所以 ,
则 ,
,则 .
10. ACD
对椭圆: 焦点在 轴上,且 ,所以 ,所以椭圆的焦点为 ,离心率为 .
对双曲线: 焦点在 轴上,其渐近线方程为 . 所以, AC 正确, B 错误.
对 D: 由 ,
所以 或 或 或 .
即椭圆和双曲线的图象有 4 个公共点, 故 D 正确.
故选: ACD
11.
设椭圆 的标准方程为: ,依题意得 ,
,
,则 ,故椭圆 的标准方程为 ;
故答案为: .
12.
由已知,点 在椭圆上,且在第二象限,代入椭圆方程,得 ,即 ,则 ,则 , 即该椭圆的离心率是 .
答案:
13.
设 ,则 , 因为当 时, ,所以当 时, , 所以函数 在 上单调递减,
又 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，
所以 ,即 是 上的奇函数,
故函数 在 上单调递减， ，
又 为偶函数,则 ,所以 ,所以 ,
不等式 等价于 ,结合图象解得 或 ,
则不等式 的解集为 .
14. (1)因为 ，
所以 ,即 .
又 , 所以数列 是以 18 为首项, -2 为公差的等差数列.
(2)由(1)知 ，
可知,当 时, ,
当 时, ,
所以数列 的前 22 项和为
15.
(2) .
(1)函数 的定义域为 ,
所以 ,
得 ,由 ,解得 .
(2)由题意得， 在 上恒成立.
① 当 时，不等式可化为 ，
令 ,则 ,
当 时, .
所以函数 在 上单调递增.
所以 在 处取得最小值 ,
故实数 的取值范围 .
② 当 时,由 得 ,
此时 ,不符合题意.
综上, 的取值范围为 .