河北沧州市沧县中学等校2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题(含解析)

高一数 学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 在三角形 中， “ ” 是 “ ” 的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3. 已知圆心角为 2 弧度的扇形的弧长为 ,则该扇形的面积为 ( )
A. B. C. D.
4. 已知函数 的最小值为 1,则 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. -1
5. 当 时，关于 的不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
6. 已知定义在 上的函数 满足: 关于 中心对称, 是偶函数,且 在 上是增函数，则( )
A. B.
C. D.
7. 设函数 在区间 上单调递增,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
8. 已知幂函数 在 上单调递增,若实数 满足 , 则 的最小值为( )
A. B. 1
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. (多选)下列叙述中错误的是( )
A. 若 ，则 B. 若 ,则 与 的方向相同或相反
C. 若 ,则
D. 对任一非零向量 是一个单位向量
10. 已知函数 ，则( )
A. 当 时， 的单调递减区间为
B. 当 时, 的单调递增区间为
C. 的图象关于 轴对称
D. 当 时, 的定义域为
11. 已知 ,下面结论正确的是 ( )
A. 的最小正周期为
B. 在 上单调递增
C. 在 上恰有 3 个零点
D. 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知正方形 的边长为 1, ,则 为_____.
13. 若 为实数且 在其定义域上有最大值为 ,最小值为 . 则 _____
14. 将函数 的图象向左平移 个单位,得到函数 的图象, 若 为奇函数，则 的最小值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知集合 .
(1)若集合 为非空集合且 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
16. 已知函数 是函数 ( ，且 )的反函数， 的图象过点 .
(1)求函数 的解析式；
(2)若 成立,求 的取值范围.
17. 某芯片生产企业准备再建一条 AI 芯片生产线,在现有条件下,每月生产 (千片) 芯片，每片芯片售价 0.3 万元且全部销售完. 该生产线每月需投入 500 万元的固定成本，另需投入的成本 (万元) 与 的关系满足:
(1)求每月的利润 (万元)关于月产量 (千片)的函数解析式(利润=销售额-成本)； (2)求该企业每月所获取的最大利润及相应的月产量.
18. 已知函数
(1)求函数 的增区间
(2)直接写出 取得最大值时 的集合；
(3)若关于 的方程 在 上有四个不同的实数根，求实数 的取值范围.
19. 已知函数 对任意实数 恒有 ,当 时, ,且 .
(1)判断 的奇偶性并证明;
(2)判断 的单调性并证明;
(3)若 对所有的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
1. D
因为 ,集合 ,
所以 ,
故选: D.
2. C
因为在三角形 中, ,
所以 ,则 ,所以 “ ” 是 “ ” 的充分条件;
由于 ,所以 或 ,又因为三角形 中, ,
所以 ,所以 .
所以 “ ” 是 “ ” 的必要条件;
综上,“ ” 是 “ ” 的充要条件.
故选: C.
3. D
因为扇形的弧长为 ,所以 ,
所以 .
故选: D
4. A
是增函数,所以 的最小值由指数 的最小值确定,
因为 ,所以 的最小值为 (当 时取得),
因此函数 的最小值为 ,又已知 的最小值为 1,
所以 ,解得 .
故选: A.
5. C
时, ,
不等式 可化为 ,
因为 ,且 ,
所以 ,
解原不等式,得 ,
所以原不等式的解集为 .
故选: C.
6. D
因为 关于 中心对称,
所以 对称中心是 ,即 是奇函数,故 ,
因为 是偶函数,所以 的对称轴是 ,即 ,
所以 中,将 替换为 ,得到 ,
故 ,将 替换为 ,得到 ,
所以 ,因此 的周期为 8 .
所以 ,
因为 在 上递增且 是奇函数,所以 在 上递增,
所以 ,即 .
故选: D.
7. A
令 ,则 ,
当 时, 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
由一次函数的性质可得, 在 上单调递增,在 上单调递减,
因为 在区间 上单调递增,根据复合函数的单调性可知 ,且 ,解得 ,
所以 的取值范围是 .
故选: A.
8. B
因为 是幂函数,且在 上单调递增,
所以 ,解得 ,
所以 ,
易知 ,则 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时等号成立,
所以 的最小值为 1,
故选: B
9. ABC
对于 A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故 A 错误； 对于 ,由于零向量与任意向量共线,且零向量的方向是任意的,故 错误;
对于 ,若 为零向量,则 与 可能不是共线向量,故 错误;
对于 ,对任一非零向量 表示与 同向的单位向量,故 正确.
故选: ABC.
10.
选项 A、B: 当 时, ,
,解得 或 ,
函数 的定义域为 ,
函数 开口向上,对称轴为 ,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
在 上单调递减,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增,故 A 正确,
不在 定义域内,故 错误;
选项 C: ,定义域关于原点对称,
若图象关于 轴对称,则 是偶函数,即 ,
,
是偶函数,其图像关于 轴对称,故 正确;
选项 D: 当 时， ，定义域为 ，不是 ， 故 D 错误.
故选: AC.
11. ABD
,所以 ,故 A 正确;
令 ,当 时, ,
因为 在 上单调递增,且 是关于 的一次函数,且单调递增,
所以 在 上单调递增,故 正确;
令 ,则 ,解得 ,
当 时:
当 时, ;
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，共 4 个零点，故 C 错误；
的图象向左平移 个单位长度后,得到的函数为
因为 ,所以 是偶函数,其图象关于 轴对称,故 正确.
故选: ABD
12.
.
故答案为:
13. 6
由于 ,可得 关于点 对称,
故 .
14. 1
将 向左平移 个单位,
得: ,
又因为 为奇函数,所以 ,
整理得: ,
又因为 ,所以 .
15. (1)2 ≤ m ≤ 3 ；(2) 或 .
(1) 由 知 ,因为 为非空集合,所以, ,解得
(2)当 时,由 得 ，此时 ，满足 ；
当 时, 或 ,解得 .
综上所述， 或 .
16. (1)
(2)
(1) 因为 的图象过点 ,
所以 ,解得 ,所以 .
又因为函数 是函数 的反函数,
所以 .
(2)因为函数 的定义域为 ，且在 上单调递减，
所以 ,解得 ,
所以 的取值范围为 .
17. (1)
(2)最大利润是 800 万元，此时月产量为 50000 片.
(1)当月产量为 千片时,销售额为 (万元),
,
又
当 时
,
当 时
所以
(2)当 时,
当且仅当 时取等号.
当 时, ,
当且仅当 ,即 时,取等号,
,
该企业每月所获取的最大利润是 800 万元,此时月产量为 50000 片.
18. ;
(2) ;
(3) .
(1) 由题意,函数 ,
令 ,解得 ,
故函数 的单增区间为 ;
( 2 )由题意，可得 ，即 的最大值为 ，
令 ,即 ,
故 ,解得 ,
故 取得最大值时 的集合 ;
(3) 由 ，
可得 ,
即 ,
即 ,
即 ,
又根据题意,方程 在 上有四个不同的实数根,
即方程 在 上有四个不同的实数根,
令 ,则 ,
又 ,则 ,所以 ,即 ,
令 ,则 ,如图,
所以要使 在 上有四个不同的实数根,
则需要 在 上有两个不相等的实数根
故 ,
由于 时, 无解,故 ,
则 ,
令 ,则 且 ,
故 ,
由于 在 单调递减,此时 至多一个实数根,不符合题意, 故 ,如图:
当 时, ,
当且仅当 时,取等号,
故 .
19. (1) 取 ,则 ,则 ; 取 ,则 ,
又 定义域为 ,则 是奇函数.
(2)任取 ，则 ，
由 时, 可知 ,
即 ,即 ,
故 在 上单调递减.
(3)由题知，若 对所有的 ， 恒成立，
只需 ,
结合函数的单调性, 时, ,
则 ,即 ,
将不等式左边视作关于 的一次函数 ,
而 时 恒成立,
故只需 ,即 ,
解得 或