河北石家庄第一中学2025-2026学年第二学期高一年级开学检测数学试卷(含解析)

2025-2026 学年第二学期高一年级开学检测 数学试卷
本试卷共 3 页，19 小题，本试卷总分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目答案信息点涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷(选择题，共 58 分)
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“ ”的否定是( )
A. B.
C. D.
2. 全集 ,集合 ,则图中阴影部分表示的集合为 ( )
A. B. C. D.
3. 下列各角中，与 终边相同的角是( )
A. B. C. D.
4. 函数 的定义域是( )
A. B. C. D.
5. 已知 且 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 要得到函数 的图象,只要将函数 的图象 ( )
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
7. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵. 研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 (单位: ) 可以表示为 ,其中 表示鱼的耗氧量的单位数. 假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动,乙在甲正前方 处, 后甲正好追上乙,则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为( )
A. 3 B. 9 C. 27 D. 81
8. 若函数 在 上有且仅有三个零点,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. 下列命题为真命题的是( )
A. B. 若 都是正实数且 ,则
C. D. 若 都是正实数，
10. 已知函数 的部分图象如图所示,则 ( )
A.
B.
C. 曲线 关于原点对称
D. 若 在 上恰有两个实根,则实数 的取值范围为
11. 亚马逊大潮是世界潮涌之最, 当潮涌出现时, 其景、其情、其声, 真是“壮观天下无”, 在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究. 已知函数 的图象关于直线 对称,则下列选项正确的是( )
A.
B. 函数 的一个对称中心为
C. 若函数 在 上的两个零点为 ,则
D. 若将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度后,得到的函数图象关于 轴对称,则 的最小值为
第 II 卷(非选择题，共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 是幂函数，则 _____.
13. 已知 ，且 ，则 _____.
14. 已知函数 在 上单调递减,则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.
15. 计算下列各式的值:
(1)
(2) .
16. 已知集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 ,求实数 的取值范围.
17. 已知幂函数 的图象经过点 .
(1)求 的值及 的解析式；
(2)求不等式 的解集.
18. 已知某车厘子收购市场在过去的 30 天内对车厘子的日收购量 (单位:百斤)与第 天之间的函数关系为① ；② ；③ 这三种函数模型中的一个, 且部分数据如下表:
(天) 6 10 22 28
(百斤) 46 50 58 52
(1)请确定 的解析式，并说明理由；
(2)若第 天平均每斤车厘子的收购价格为 (单位:元)，且 ( ， 且 ),记过去 30 天内第 天该市场收购车厘子的资金总额为 (单位:百元),求 的最小值.
19. 已知函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为 . (1)求 的解析式;
(2)先将 图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左
平移 个单位长度,得到函数 的图象,若关于 的方程 在 上恰有 3 个根 ,求实数 的取值范围和 的值.
1. A
全称命题的否定为特称命题,所以命题“ ”的否定是 " ".
故选: A.
2. C
由集合 ,得 ,
由图象可知阴影部分表示的集合为 ,
所以 .
故选: C
3. B
与 终边相同的角 ,
对于 ,令 ,得 不是整数,故 错误;
对于 ,令 ,得 是整数,故 正确;
对于 ,令 ,得 不是整数,故 错误;
对于 ,令 ,得 不是整数,故 错误.
故选: B.
4. D
由已知可得 ,所以 且 , 所以函数 的定义域是 . 故选: D.
5. B
因为 且 ,
所以
,当且仅当 时等号成立,
所以 的最小值为 .
6. D
,
只需将 图像向右平移 个单位,
得到 的图像.
故选:D.
7. D
设甲的速度为 ,耗氧量的单位数为 ,乙的速度为 ,耗氧量的单位数为 , 由题意得 ,则 , 所以 ,解得 .
故选: D
8. D
由 可得: ,
函数 在 上有且仅有三个零点,
则 ,
解得: ,
故选: D
9. CD
解:对于 ,要 成立,只要 ,只要 , 而 不成立,所以 错误;
对于 ,若 ,则 ,此时 ,所以 错误; 对于 ,因为 ,所以 ,因为对于 ,所以 ,所以 正确;
对于 ,因为
所以 ,所以 正确,
故选: CD
10. ABD
对于 ,设 的最小正周期为 ,由图象可知 ,
,故 A 正确;
对于 ,由 ,
所以 ,解得 ,
又 ，所以 ，
所以 ,故 B 正确；
对于 ,是偶函数,
其图象关于 轴对称,故 错误;
对于 ,当 时, ,
所以 ,
又因为 ,结合 的图象,若 恰有两个实根,则 ,故 正确. 故选: ABD.
11. ABD
图象关于直线 对称,故 ,
故 ,而 ,故 ,故 正确;
所以 ,函数 的一个对称中心为 ,故 正确; 令 ,故 ,故 ,
令 ,故 ,故 ,
故两个零点分别为 ,故 ,故 错误;
由题可知平移后函数为 ,
则 的最小值为 ,故 D 正确.
故选: ABD.
12. 8
函数 是幂函数, ,所以 . 故答案为: 8 .
13.
因为 ,所以 ,
所以 ;
因为 ,所以 ,所以 ,
故答案为:
14.
依题意, 在 上单调递减,
在 上单调递减,两端端点处函数值左边不小于右边,
故 ,解得 ,
所以实数 的取值范围为 .
15. (1) ；(2)11.
解: (1) 原式
(2)
.
16. ;
(2) 或 .
(1) 当 时, ,则 或 ,
故 ;
(2)若 ，
当 时， ，即 ，
当 时, ,解得 ,
综上, 的范围为 或 .
17.
(2)
(1) 因为 为幂函数,所以 ,解得 ,
因为 的图象经过点 ,
所以 ,则 ,
解得 或 ,
又 ,故 ,则 ,
所以 .
(2)由(1)知 ，
则 即为 ,
整理得 ,即 ,
解得 ,
所以原不等式的解集为 .
18. (1) .
(2)
(1) 将表格中数据 代入关系① 中,
得到 ,此方程无解,舍去;
将表格中数据 代入关系② 中，
得到 ,解得 ,故方程为 ,
经验证, 也符合上式,故函数解析式为 ; 由表格数据知, 函数应该先增后减, 不满足③;
综上所述:
(2)因为 ,故 ,
当 时, ,
因为 ,当且仅当 时取等号,
所以 ;
当 时, ,
在区间 上单调递减,故 ,
因为 ,所以
19. (1)
(2)
(1) .
设 的最小正周期为 .
因为两条相邻对称轴间的距离为 ,
所以 ,解得 ,故 .
(2)将 图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，
得到 的图象,再将所得图象向左平移 个单位长度,
得到 的图象,
所以 .
当 时, ,此时 ,
令 ,画出函数 在 上的图象,如图所示:
当 时, ,当 时, ,
结合图象可知,若方程 在 上有 3 个根,
则 ,即实数 的取值范围为 .
根据对称性可知, ,
即 ,得 , 所以 .