河北衡水市枣强中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题(含解析)

2025-2026 学年高一下学期入学考试数学学科试题
一、单选题(每题 5 分，只有一个正确选项，选对得 5 分，选错 0 分，共 40 分)
1. 设集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知 ，则( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数 是 上的增函数,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
4. 将函数 的图象向左平移 个单位长度,再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 的图象，则 的解析式为( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数 的图象经过定点 ,且点 在角 的终边上,则 ( )
A. B. C. D.
6. 甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为 3 弧度，扇形面积分别为 和 ，周长分别为 和 . 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知 是定义在 上的偶函数,且在区间 上单调递增,若实数 满足 ,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
8. 设 是定义在 上的奇函数,对任意的 满足 且 ，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题(每题 5 分，选全得 5 分，部分选对的 2 分，选错得 0 分，共 20 分)
9. 下列说法不正确的有( )
A. 命题“ ”的否定是“ ”
B.
C. 集合 ，若 ，则 或
D. “ ”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件
10. 下列命题正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
11. 下列函数既是偶函数,又在 上单调递减的是 ( )
A. B. C. D.
12. 已知函数 的部分图象如图所示,则( )
A.
B.
C. 是 的一个对称中心
D. 在 上单调递增
三、填空题(每题 5 分，共 20 分)
13. 函数 的定义域是_____.
14. 若幂函数 的定义域为 ,则 _____.
15. 若 ,则 _____.
16. 已知函数 ,若 图像上存在两组关于原点对称的点,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题(共 70 分，17 题 10 分，18-22 题每题 12 分)
17. 已知集合 .
(1)若 ，求 和 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
18.(1)化简并求值: ；
(2)已知 ，求 的值.
19. (1)设 ，求函数 的最大值；
(2)已知 且 ，求 的最小值；
(3)已知 ，求 的取值范围.
20. 已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集
(2)当 时,若关于 的不等式 在 上有解,求 的取值范围.
21. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)设 是由 向右平移 个单位得到的新函数，其中 ，且 为偶函数，求 在区间 上的最大值和最小值.
22. 已知函数 的最小正周期为 ,且 在 时取得最大值 6 .
(1)求 的解析式；
(2)求 的单调递增区间；
(3)已知函数 恒成立， 求 的取值范围.
1. A
,
所以 ,
故选: A.
2. A
因为 ,所以 .
故选: A
3. A
由题意得,函数为 上的增函数,
有 ,解得 .
故选: A.
4. A
函数 的图象向左平移 个单位长度,则
横坐标缩短到原来的 ,则 ,
纵坐标伸长到原来的 2 倍,则 .
故选: A
5. D
令 ,解得: ,此时 恒过定点 ,
,
.
故选: D.
6. B
甲、乙两个扇形的半径相等,圆心角之和为 3 弧度,
设甲、乙两个扇形的半径均为 ,圆心角分别为 ,弧长分别为 .
,
又 ,
联立 ,
解得: ,
,
.
故选: B
7. C
因为 是定义在 上的偶函数,且在区间 上单调递增,
所以 在区间 上单调递减,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
解得 ,
所以 的取值范围是 ,
故选: C
8. C
由题意可设 ,因为 是 上的奇函数, 则 ,即 是 上的偶函数. 对任意 ,满足 ,即 , ,即函数 在 上单调递减,
又 是偶函数,故 在 上单调递增,且 ,
当 时, ,即 ,即 ;
当 时, ,即 ,即 ,
综上,不等式 的解集为 .
故选: C.
9. AC
对于 ,命题“ ”的否定是“ ”, A错误;
对于 B, 1rad 角在第一象限, 2rad 角在第二象限, 3rad 角在第二象限,
所以 ,所以 正确;
对于 ,
由 ,可得 ,又 ,
所以 或 或 ,
所以 或 或 错误;
对于 ,关于 的方程 有一正一负根的充要条件为 ,即 , 所以 “ ” 是 “关于 的方程 有一正一负根”的充要条件， 正确； 故选: AC.
10. BC
对 ,当 时, 不成立,故 错误;
对 ,若 ,则 ,由不等式的性质 ,故 正确;
对 ,若 ,则 , 正确;
对 ,若 ,不妨取 ,则 , D 错误.
故选: BC.
11. AD
对于 选项,对于函数 的定义域为 ,该函数为偶函数,
当 时, ,则函数 在区间 上为减函数,合乎题意;
对于 选项,函数 的定义域为 , 该函数为偶函数，
由于该函数在区间 上单调递减，则该函数在区间 上为增函数，不合乎题意； 对于 选项,函数 的定义域为 , 该函数为奇函数,不合乎题意;
对于 选项, 的定义域为 ,该函数为偶函数，
由于函数 在区间 上为增函数,在该函数在区间 上为减函数, 合乎题意.
故选: AD.
12. AC
对于 ,由图可得 ,设 最小正周期为 ,则
由图可得: .
若 ,则 ,其中 ,这与 矛盾;
若 ,则 ,其中 ,取 ,满足 .
综上可得: ,故 A 正确, B 错误;
对于 ,由 分析,将 代入 可得 ,则 为 的一个零点, 为 的一个对称中心,故 正确;
对于 ,因 在 上单调递减,在 上递增,
则 在 上先递减,再递增,故 错误.
故选: AC
13.
由题意得: ,
解得 且 且 ,
所以函数的定义域为 .
故答案为: .
14. 1
因为 为幂函数,所以 ,解得 或 ,
当 时, ,定义域为 ,符合题意;
当 时, ,定义域为 ,不符合题意.
故
15.
因为 ,则 . 故答案为: .
16.
在函数 在 上的图像上任取点 ,则 ,即 , 点 关于原点对称的点 即 ,
则点 在函数 的 的图像上,即 ,
所以 ,整理得 ,
令 ,则函数 有两个不等的正零点,
所以 ,解得 .
故实数 的取值范围是 .
故答案为: .
17.
(2)
(1) 当 时, ,
又 ,
.
(2)若 ，
当 时,则 ,解得 ,
当 ,则 ,解得 ,
综上: 实数 的取值范围为 .
18.(1)1 ;(2) .
(1)原式 ;
(2)因为 ，所以 ，则 .
19. (1)2 ; (2) ；(3) .
(1) 因为 ,所以 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时取等号,
所以 的最大值为 2 ;
( 2 )因为 ，所以
当且仅当 ,即 时取等号, 所以 的最小值为 ;
(3)设 ，所以 ，解得 ，
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 的取值范围是 .
20. (1) ；(2) .
解: (1) 当 时, ,
不等式 ,即 ,
所以 ,
解得 ,
即所求不等式的解集为 .
(2)当 时， ，
因为 在 上有解,所以 在 上有解,
令 ,
因为 在 上均为增函数,所以 在 上是增函数,
因为 在 上的值域为 ,
所以 的取值范围是 .
21. (1) .
(2)最小值 ；最大值
(1) 由题意得 ,
所以 的最小正周期 .
由 ,
得 .
所以 的单调递增区间为 .
(2)由题意得 .
由 为偶函数可知 ,
解得 .
又因为 ,所以 .
从而 .
当 时, ,
所以当 ,即 时, 取得最小值 ;
当 ,即 时, 取得最大值
22. (1)
(2)
(3)
(1) 解: 因为函数 的最小正周期为 ,所以 ,解得 ,
因为 在 时取得最大值 6, ,
所以 ,解得
因为 ,所以 ,
所以 的解析式为
(2)解:因为正弦函数 的单调递增区间为 ，
故令 ,解得 ,
所以 的单调递增区间为
(3)解:因为 恒成立，
所以
当 ,即 ,
所以 ,即 ,
另一方面,
令 ,当 时, ,
则函数 ,
由于函数 的对称轴为 ,
所以,当 时, ,此时 等价于 ,
解得 ,故 ;
当 时, ,此时 等价于 ,解得 ,故 ;
当 时， ，此时 等价于 ，解得 ， 故 ;
综上, 的取值范围