河北张家口市第一中学2025-2026学年第二学期高二开学检测数学试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 河北张家口市第一中学2025-2026学年第二学期高二开学检测数学试卷(含解析) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 318.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-11 00:00:00 | ||
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文档简介
张家口市第一中学 2025-2026 学年第二学期 高二年级开学检测 数学试卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 某批待出口的水果罐头,每罐净重 (单位: ) 服从正态分布 . 随机抽取 1 罐,其净重在 与 之间的概率为( )
(注: 若 ,
A. 0.8185 B. 0.84 C. 0.954 D. 0.9755
2. 某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近 6 年投入的年科研经费 (单位: 百万元) 和年利润 (单位: 百万元) 的数据,并绘制成如图所示的散点图. 已知 的平均值分别为 . 甲统计员得到的回归方程为 ; 乙统计员得到的回归方程为 ; 若甲、乙二人计算均未出现错误，有下列四个结论:
①当投入年科研经费为 20 (百万元)时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为 75.6 (百万元) (取 );
② ;
③ 方程 比方程 拟合效果好;
④ 与 正相关.
以上说法正确的是( )
A. ①③④ B. ②③ C. ②④ D. ①②④
3. 为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 (单位: ) 与水生植物的株数 (单位: 株) 之间的相关关系,收集了 4 组数据,用模型 去拟合 与 的关系,设 与 的数据如表格所示: 得到 与 的线性回归方程 ,则 ( )
3 4 6 7
2 2.5 4.5 7
A. -2 B. -1 C. D.
4. 随着城市经济的发展, 早高峰问题越发严重, 上班族需要选择合理的出行方式. 某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为 ,而他自驾,坐公交车,骑共享单车迟到的概率分别为 ,结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )
A. B. C. D.
5. 数列 满足 ,则 ( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
6. 若 ,则 ( )
A. 2 B. 0 C. -1 D. -2
7. 甲、乙、丙等 5 人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有 2 人，则不同排法共有 ( )
A. 20 种 B. 16 种 C. 12 种 D. 8 种
8. 已知函数 ，若 恒成立，则实数 的值为( )
A. B. C.
D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某校高三 1 班 48 名物理方向的学生在一次质量检测中, 语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，“★”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点.从这次考试的成绩看，下列结论正确的是( )
A. 该班六科总成绩排名前 6 的同学语文成绩比数学成绩排名更好
B. 在语文和数学两个科目中, 丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文
C. 数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强
D. 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲
10. 若函数 的导函数 是偶函数，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于 中心对称
B. 有 3 个不同的零点
C. 最小值为
D. 对任意 ,都有
11. 设 是等差数列 的前 项和,若 ,则 ( )
A. B. 中最小值为
C. 当 取得最大值时, D. 使 成立的最大整数 为 15
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 为研究变量 的相关关系,收集得到如下数据:
1 2 3 4 5
60
若由最小二乘法求得 关于 的线性回归方程为 ,并据此计算在样本点 处的残差为 0,则 _____.
13. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动, 在如图所示的试验容器中, 容器由三个仓组成, 某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外, 一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获, 此时试验结束. 已知该粒子初始位置在 1 号仓，则试验结束时该粒子是从 1 号仓到达容器外的概率为_____.
14. 已知 和 分别是函数 的极小值点和极大值点. 若 ，则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知数列 中，
(1)求 的值；
(2)求证:数列 是等比数列；
(3)求数列 的前 项和 .
16. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯 (卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人(称为对照组)，得到如下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”. 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为 .
(i) 证明: ;
(ii) 利用该调查数据,给出 的估计值,并利用 (i) 的结果给出 的估计值.
附 ,
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17. 如图,直四棱柱 的底面是菱形 ， 分别是 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
18. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件, 并测量其尺寸 (单位: ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 .
(1)假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数,求 及 的数学期望;
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产过程进行检查.
(i) 试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii) 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 ,其中 为抽取的第 个零件的尺寸, .
用样本平均数 作为 的估计值 ,用样本标准差 作为 的估计值 ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查 剔除 之外的数据,用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01 ).
附:若随机变量 服从正态分布 ,则 ,
.
19. 已知函数 .
(1)当 时,
(i) 求 的图象在点 处的切线方程;
(ii) 过原点 向 的图象作切线,求该切线的方程;
(2)若 时,函数 有两个极值点 ,且 ,求实数 的取值范围.
1. A
由题意可知, ,可得
净重在 与 之间的概率为
由正态分布的对称性可知,
;
所以净重在 与 之间的概率为 .
故选: A.
2. D
解: 将 代入 ,得 ,①正确;
将 代入 得 ,②正确；
由散点图可知，回归方程 比 的拟合效果更好，③错误；
因为 随 的增大而增大,所以 与 正相关,④正确. 故①②④正确.
故选: D.
3. C
由已知可得, ,
所以,有 ,解得 ,
所以, ,
由 ,得 ,
所以, ,则 .
故选: C.
4. B
设事件 表示“自驾”，事件 表示“坐公交车”，事件 表示“骑共享单车”，事件 表示迟到”,
由题意可知: ,
则 ,
若小明迟到了,则他自驾去上班的概率是 .
故选: B.
5. B
数列 中, , .
故选: B
6. C
由题意得 ,
,
.
故选: C.
7. B
因为乙和丙之间恰有 2 人，所以乙丙及中间 2 人占据首四位或尾四位，
①当乙丙及中间 2 人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有 种方法,排甲有 种方法,剩余两个位置两人全排列有 种排法,
所以有 种方法;
②当乙丙及中间 2 人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有 种方法,排甲有 种方法,剩余两个位置两人全排列有 种排法,
所以有 种方法;
由分类加法计数原理可知,一共有 种排法,
故选: B.
8. A
方法一: 函数 的定义域为 ,
显然单调递增且有唯一零点.
令 ,即 ,此时有 .
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增, ,
即有: .
令 时, 单调递减;
时, 单调递增, ,又 .
方法二: 注意到 ,又 恒成立由方法一得: ,
,
.
方法三: 恒成立 在 恒成立,
令 ,即 恒成立.
时, 单调递增;
时, 单调递减
,又 恒成立, .
故选: A
9. BCD
由图可得, 该班六科总成绩排名前 6 的同学数学成绩比语文成绩排名更好, 故 A 错误;
由右图可得丙同学的总成绩排在班上倒数第三名，其语文成绩排在 250 到 300 名之间，
从左图可得其数学成绩排在 400 名左右, 故 B 正确;
数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强, 因为右图的点的分布较左图更分散, 故 C 正确;
由左图可得甲的总成绩排在班上第 7 名, 年级名次 100 多一点,
对应到右图可得, 其语文成绩排在年级近 100 名, 故甲的语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前,
由左图可得甲的总成绩排在班上第 27 名, 年级名次接近 250 名,
对应到右图可得, 其语文成绩排在年级 250 名之后, 故乙的语文成绩名次比其六科总成绩名次靠后，故 D 正确；
故选: BCD
10. ABD
因为 ,则 , 又 是偶函数,所以 ,即 , 所以 对任意的 恒成立,所以 ,解得 ,则 ,定义域为 , 且 ,即 为奇函数,
所以 的图象关于 中心对称,故 A 正确;
令 ,即 ,解得 ,
所以 有 3 个不同的零点,故 正确;
因为 ,所以当 或 时 ,当 时
即 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,
所以 不存在最值,故 错误;
设任意 ,则 ,则 ,
又 ,
所以
,当且仅当 时取等号,
所以对任意 ,都有 ,故 正确;
故选: ABD
11.
对于 ,由 ,可得 ,
又因为 ,可得 ,即 ,所以 ,
所以 ,所以 正确;
对于 ,因为 ,且 ,所以 且 ,所以 正确;
对于 ,在等差数列 中,由 且 ,
则当 时,可得 ; 当 时,可得 ,
所以当 取得最大值时, ,所以 正确;
对于 ,由 ,且 ,
所以使得 成立的最大整数 为 14 , 所以 D 错误.
故选: ABC.
12. 290
因为在样本点 处的残差为 0,
所以 ,得 ,
则 关于 的线性回归方程为 .
因为 ,所以 ,
所以 .
故答案为: 290
13.
设从 出发最终从 1 号口出的概率为 ,所以
故答案为: .
14.
[方法一]:
因为 ,所以方程 的两个根为 ,
即方程 的两个根为 ,
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点,
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点,
所以函数 在 和 上递减,在 上递增,
所以当时 ,即 图象在 上方
当 时, ,即 图象在 下方
,图象显然不符合题意,所以 .
令 ,则 ,
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ,
则切线的斜率为 ,故切线方程为 ,
则有 ,解得 ,则切线的斜率为 ,
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点,
所以 ,解得 ,又 ,所以 ,
综上所述， 的取值范围为 .
[方法二]:
的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点,
所以函数 在 和 上递减,在 上递增,
设函数 ,则 ,
若 ,则 在 上单调递增,此时若 ,
则 在 上单调递减,在 上单调递增,此时若有 和 分别是函数
的极小值点和极大值点,则 ,不符合题意;
若 ,则 在 上单调递减,此时若 ,则 在 上单调递增, 在 上单调递减,令 ,则 ,此时若有 和 分别是函数 的极小值点和极大值点,且 ,则需满足 , ,即 故 , 所以 .
15. (1) 由
令 ,则 ; 令 ,则 ,
令 ,则 ,
所以 .
(2)依题意，设 ，
则
而 ,
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.
(3)由(2)知， ，
因此 ,
当 时, ,又 ,
则 ,
因此
.
16.(1) 由已知 ,
又 ,
所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)(i)因为 ,
所以
所以 ,
(ii)
由已知 ,
又
所以
17. (1)连接 ,
分别为 中点,
为 的中位线，
且 ,
因为 且 ,
所以四边形 为平行四边形,所以 且 ,
又 为 中点, 且 ,
,
四边形 为平行四边形,
,又 平面 平面 ,
平面 ;
(2)连接 ，设 ，
由直四棱柱性质可知: 平面 ,
四边形 为菱形,
,
则以 为原点,可建立如图所示的空间直角坐标系,
则: ,
取 中点 ,连接 ,则 ,
四边形 为菱形且 ,
为等边三角形,
,
又 平面 平面 ,
,
又 平面 ,
平面 ，即 平面 ，
为平面 的一个法向量,且 ,
设平面 的一个法向量为 ,
又 ,
,令 ,则 ,
平面 的一个法向量为
,
,
二面角 的正弦值为 .
18.(1)抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为 0.9974, 从而零件的尺寸在 之外的概率为 0.0026,
故 .
因此 .
的数学期望为 .
(2)(i)如果生产状态正常，
一个零件尺寸在 之外的概率只有 0.0026 ,
一天内抽取的 16 个零件中,出现尺寸在 之外的零件
概率只有 0.0408 , 发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况, 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况, 需对当天的生产过程进行检查,
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii) 由 ,
得 的估计值为 的估计值为 ,
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外,
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除 之外的数据 9.22,
剩下数据的平均数为 ,
因此 的估计值为10.02 .
剔除 之外的数据 9.22,
剩下数据的样本方差为 ,
因此 的估计值为 .
19. (1) (i) ; (ii)
(2)
(1) 当 时, .
(i) ,故点 处的切线方程为 .
(ii) 设切点为 ,则 ,则切线方程为 ,代入 , 可得 ,得 ,则切线方程是 .
(2)当 时， ，则 .
由题意得 有两个变号零点 ,即 有两个实根 ,
方程可变形为 ,可转化为直线 和曲线 有两个不同的交点.
,由 ,解得 ,且 是 的递增区间, 是 的递减区间;
注意到 ,且 时, ,画出其图象如图,
当且仅当 时函数 有两个极值点 ,且
又因为 ,所以 . 令 ,则 .
又 ,则 ,即 ,
两边取自然对数可得 . 设 ,那么 ,分母恒为正值, 对于分子对应的函数 在 时恒成立,
所以 单调递减,所以 ,也就是 在 时恒成立,
所以 也单调递减,所以 ,从而 .
又 在 上单调递增,
所以当 时, 取得最大值,且 , 因此实数 的取值范围是 .
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 某批待出口的水果罐头,每罐净重 (单位: ) 服从正态分布 . 随机抽取 1 罐,其净重在 与 之间的概率为( )
(注: 若 ,
A. 0.8185 B. 0.84 C. 0.954 D. 0.9755
2. 某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近 6 年投入的年科研经费 (单位: 百万元) 和年利润 (单位: 百万元) 的数据,并绘制成如图所示的散点图. 已知 的平均值分别为 . 甲统计员得到的回归方程为 ; 乙统计员得到的回归方程为 ; 若甲、乙二人计算均未出现错误，有下列四个结论:
①当投入年科研经费为 20 (百万元)时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为 75.6 (百万元) (取 );
② ;
③ 方程 比方程 拟合效果好;
④ 与 正相关.
以上说法正确的是( )
A. ①③④ B. ②③ C. ②④ D. ①②④
3. 为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 (单位: ) 与水生植物的株数 (单位: 株) 之间的相关关系,收集了 4 组数据,用模型 去拟合 与 的关系,设 与 的数据如表格所示: 得到 与 的线性回归方程 ,则 ( )
3 4 6 7
2 2.5 4.5 7
A. -2 B. -1 C. D.
4. 随着城市经济的发展, 早高峰问题越发严重, 上班族需要选择合理的出行方式. 某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为 ,而他自驾,坐公交车,骑共享单车迟到的概率分别为 ,结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )
A. B. C. D.
5. 数列 满足 ,则 ( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
6. 若 ,则 ( )
A. 2 B. 0 C. -1 D. -2
7. 甲、乙、丙等 5 人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有 2 人，则不同排法共有 ( )
A. 20 种 B. 16 种 C. 12 种 D. 8 种
8. 已知函数 ，若 恒成立，则实数 的值为( )
A. B. C.
D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某校高三 1 班 48 名物理方向的学生在一次质量检测中, 语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，“★”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点.从这次考试的成绩看，下列结论正确的是( )
A. 该班六科总成绩排名前 6 的同学语文成绩比数学成绩排名更好
B. 在语文和数学两个科目中, 丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文
C. 数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强
D. 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲
10. 若函数 的导函数 是偶函数，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于 中心对称
B. 有 3 个不同的零点
C. 最小值为
D. 对任意 ,都有
11. 设 是等差数列 的前 项和,若 ,则 ( )
A. B. 中最小值为
C. 当 取得最大值时, D. 使 成立的最大整数 为 15
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 为研究变量 的相关关系,收集得到如下数据:
1 2 3 4 5
60
若由最小二乘法求得 关于 的线性回归方程为 ,并据此计算在样本点 处的残差为 0,则 _____.
13. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动, 在如图所示的试验容器中, 容器由三个仓组成, 某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外, 一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获, 此时试验结束. 已知该粒子初始位置在 1 号仓，则试验结束时该粒子是从 1 号仓到达容器外的概率为_____.
14. 已知 和 分别是函数 的极小值点和极大值点. 若 ，则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知数列 中，
(1)求 的值；
(2)求证:数列 是等比数列；
(3)求数列 的前 项和 .
16. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯 (卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人(称为对照组)，得到如下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”. 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为 .
(i) 证明: ;
(ii) 利用该调查数据,给出 的估计值,并利用 (i) 的结果给出 的估计值.
附 ,
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17. 如图,直四棱柱 的底面是菱形 ， 分别是 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
18. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件, 并测量其尺寸 (单位: ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 .
(1)假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数,求 及 的数学期望;
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产过程进行检查.
(i) 试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii) 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 ,其中 为抽取的第 个零件的尺寸, .
用样本平均数 作为 的估计值 ,用样本标准差 作为 的估计值 ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查 剔除 之外的数据,用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01 ).
附:若随机变量 服从正态分布 ,则 ,
.
19. 已知函数 .
(1)当 时,
(i) 求 的图象在点 处的切线方程;
(ii) 过原点 向 的图象作切线,求该切线的方程;
(2)若 时,函数 有两个极值点 ,且 ,求实数 的取值范围.
1. A
由题意可知, ,可得
净重在 与 之间的概率为
由正态分布的对称性可知,
;
所以净重在 与 之间的概率为 .
故选: A.
2. D
解: 将 代入 ,得 ,①正确;
将 代入 得 ,②正确；
由散点图可知，回归方程 比 的拟合效果更好，③错误；
因为 随 的增大而增大,所以 与 正相关,④正确. 故①②④正确.
故选: D.
3. C
由已知可得, ,
所以,有 ,解得 ,
所以, ,
由 ,得 ,
所以, ,则 .
故选: C.
4. B
设事件 表示“自驾”，事件 表示“坐公交车”，事件 表示“骑共享单车”，事件 表示迟到”,
由题意可知: ,
则 ,
若小明迟到了,则他自驾去上班的概率是 .
故选: B.
5. B
数列 中, , .
故选: B
6. C
由题意得 ,
,
.
故选: C.
7. B
因为乙和丙之间恰有 2 人，所以乙丙及中间 2 人占据首四位或尾四位，
①当乙丙及中间 2 人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有 种方法,排甲有 种方法,剩余两个位置两人全排列有 种排法,
所以有 种方法;
②当乙丙及中间 2 人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有 种方法,排甲有 种方法,剩余两个位置两人全排列有 种排法,
所以有 种方法;
由分类加法计数原理可知,一共有 种排法,
故选: B.
8. A
方法一: 函数 的定义域为 ,
显然单调递增且有唯一零点.
令 ,即 ,此时有 .
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增, ,
即有: .
令 时, 单调递减;
时, 单调递增, ,又 .
方法二: 注意到 ,又 恒成立由方法一得: ,
,
.
方法三: 恒成立 在 恒成立,
令 ,即 恒成立.
时, 单调递增;
时, 单调递减
,又 恒成立, .
故选: A
9. BCD
由图可得, 该班六科总成绩排名前 6 的同学数学成绩比语文成绩排名更好, 故 A 错误;
由右图可得丙同学的总成绩排在班上倒数第三名，其语文成绩排在 250 到 300 名之间，
从左图可得其数学成绩排在 400 名左右, 故 B 正确;
数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强, 因为右图的点的分布较左图更分散, 故 C 正确;
由左图可得甲的总成绩排在班上第 7 名, 年级名次 100 多一点,
对应到右图可得, 其语文成绩排在年级近 100 名, 故甲的语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前,
由左图可得甲的总成绩排在班上第 27 名, 年级名次接近 250 名,
对应到右图可得, 其语文成绩排在年级 250 名之后, 故乙的语文成绩名次比其六科总成绩名次靠后，故 D 正确；
故选: BCD
10. ABD
因为 ,则 , 又 是偶函数,所以 ,即 , 所以 对任意的 恒成立,所以 ,解得 ,则 ,定义域为 , 且 ,即 为奇函数,
所以 的图象关于 中心对称,故 A 正确;
令 ,即 ,解得 ,
所以 有 3 个不同的零点,故 正确;
因为 ,所以当 或 时 ,当 时
即 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,
所以 不存在最值,故 错误;
设任意 ,则 ,则 ,
又 ,
所以
,当且仅当 时取等号,
所以对任意 ,都有 ,故 正确;
故选: ABD
11.
对于 ,由 ,可得 ,
又因为 ,可得 ,即 ,所以 ,
所以 ,所以 正确;
对于 ,因为 ,且 ,所以 且 ,所以 正确;
对于 ,在等差数列 中,由 且 ,
则当 时,可得 ; 当 时,可得 ,
所以当 取得最大值时, ,所以 正确;
对于 ,由 ,且 ,
所以使得 成立的最大整数 为 14 , 所以 D 错误.
故选: ABC.
12. 290
因为在样本点 处的残差为 0,
所以 ,得 ,
则 关于 的线性回归方程为 .
因为 ,所以 ,
所以 .
故答案为: 290
13.
设从 出发最终从 1 号口出的概率为 ,所以
故答案为: .
14.
[方法一]:
因为 ,所以方程 的两个根为 ,
即方程 的两个根为 ,
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点,
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点,
所以函数 在 和 上递减,在 上递增,
所以当时 ,即 图象在 上方
当 时, ,即 图象在 下方
,图象显然不符合题意,所以 .
令 ,则 ,
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ,
则切线的斜率为 ,故切线方程为 ,
则有 ,解得 ,则切线的斜率为 ,
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点,
所以 ,解得 ,又 ,所以 ,
综上所述， 的取值范围为 .
[方法二]:
的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点,
所以函数 在 和 上递减,在 上递增,
设函数 ,则 ,
若 ,则 在 上单调递增,此时若 ,
则 在 上单调递减,在 上单调递增,此时若有 和 分别是函数
的极小值点和极大值点,则 ,不符合题意;
若 ,则 在 上单调递减,此时若 ,则 在 上单调递增, 在 上单调递减,令 ,则 ,此时若有 和 分别是函数 的极小值点和极大值点,且 ,则需满足 , ,即 故 , 所以 .
15. (1) 由
令 ,则 ; 令 ,则 ,
令 ,则 ,
所以 .
(2)依题意，设 ，
则
而 ,
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.
(3)由(2)知， ，
因此 ,
当 时, ,又 ,
则 ,
因此
.
16.(1) 由已知 ,
又 ,
所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)(i)因为 ,
所以
所以 ,
(ii)
由已知 ,
又
所以
17. (1)连接 ,
分别为 中点,
为 的中位线，
且 ,
因为 且 ,
所以四边形 为平行四边形,所以 且 ,
又 为 中点, 且 ,
,
四边形 为平行四边形,
,又 平面 平面 ,
平面 ;
(2)连接 ，设 ，
由直四棱柱性质可知: 平面 ,
四边形 为菱形,
,
则以 为原点,可建立如图所示的空间直角坐标系,
则: ,
取 中点 ,连接 ,则 ,
四边形 为菱形且 ,
为等边三角形,
,
又 平面 平面 ,
,
又 平面 ,
平面 ，即 平面 ，
为平面 的一个法向量,且 ,
设平面 的一个法向量为 ,
又 ,
,令 ,则 ,
平面 的一个法向量为
,
,
二面角 的正弦值为 .
18.(1)抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为 0.9974, 从而零件的尺寸在 之外的概率为 0.0026,
故 .
因此 .
的数学期望为 .
(2)(i)如果生产状态正常，
一个零件尺寸在 之外的概率只有 0.0026 ,
一天内抽取的 16 个零件中,出现尺寸在 之外的零件
概率只有 0.0408 , 发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况, 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况, 需对当天的生产过程进行检查,
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii) 由 ,
得 的估计值为 的估计值为 ,
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外,
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除 之外的数据 9.22,
剩下数据的平均数为 ,
因此 的估计值为10.02 .
剔除 之外的数据 9.22,
剩下数据的样本方差为 ,
因此 的估计值为 .
19. (1) (i) ; (ii)
(2)
(1) 当 时, .
(i) ,故点 处的切线方程为 .
(ii) 设切点为 ,则 ,则切线方程为 ,代入 , 可得 ,得 ,则切线方程是 .
(2)当 时， ，则 .
由题意得 有两个变号零点 ,即 有两个实根 ,
方程可变形为 ,可转化为直线 和曲线 有两个不同的交点.
,由 ,解得 ,且 是 的递增区间, 是 的递减区间;
注意到 ,且 时, ,画出其图象如图,
当且仅当 时函数 有两个极值点 ,且
又因为 ,所以 . 令 ,则 .
又 ,则 ,即 ,
两边取自然对数可得 . 设 ,那么 ,分母恒为正值, 对于分子对应的函数 在 时恒成立,
所以 单调递减,所以 ,也就是 在 时恒成立,
所以 也单调递减,所以 ,从而 .
又 在 上单调递增,
所以当 时, 取得最大值,且 , 因此实数 的取值范围是 .
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