2025~2026学年山东省济南市历城区九年级数学第一学期期末考试试题（含答案）

2025-2026 学年度第一学期期末质量检测九年级数学试题
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.如图，该几何体的左视图是（ ）
2.抛物线 y=x2 4x+3与 y轴的交点坐标为（ ）
A. (0,3) B. (3,0) C. (1,0) D. (0,1)
3.如图，四边形ABCD四边形 A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A=80 ，∠D′=55 ，则 ∠C的度数为（ ）
A. 135 B. 125 C. 115 D. 105
4.若关于 x的方程 x2 x+m=0没有实数根，则 m的值可以为（ ）
A. 1 B. 0 C. D. 1
5.如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD交于点 O，∠CBD=30 ，过点 O 作 OE⊥BC于点 E，若 CE=2，则 OE的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
6.如图，点 A是反比例函数 y=(x<0)的图象上的一点，过点 A作 AB⊥x轴，垂足为 B，点 C为 y轴上的一点，连接 AC，BC。若 △ABC的面积为 5，则 k的值是（ ）
A. 10 B. 12 C. 10 D. 5
7.《数学之美》特种邮票于 2025 年 3 月 14 日发行。如图，该邮票一套 4 枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带。现将这 4 枚邮票（除正面图案不同，其余均相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取 1 枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取 1 枚，两次抽取的邮票图案名称相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，正五边形 ABCDE内接于 ⊙O，点 F 为 ⊙O上一点，则 ∠EFC的度数为（ ）
A. 36 B. 45 C. 60 D. 72
9.如图，在矩形 ABCD中，E，F 是 BC 边上的三等分点，连接 DE，AF相交于点 G，连接 CG。若 AB=4，BC=6，则 tan∠GCF的值是（ ）
A. B. C. D.
10.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x轴的一个交点为 A( 3,0)，与 y 轴交于点 C，点 D是抛物线的顶点，对称轴为直线 x= 1，其部分图象如图所示，则以下 4 个结论：① abc>0；② a+b+c=0；③ E(x1,y1)，F(x2,y2)是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)上的两个点，若 x1，则 y1A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.若 =，则= 。
12.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 9 个白球和若干个黑球，任意摸出一个球，摸到白球的概率是 0.6，则袋中黑球有 个。
13.如图是 6×4的小正方形网格，小正方形的边长为 1，点 A和 B是格点，连接 AB，在网格中画出以 AB 为直径的半圆，圆心为点 O，点 C是格点且在半圆上，连接 BC，则图中阴影部分的面积是 。
14.如图，点 A，B 在 x 轴上，分别以 OA，AB 为边，在 x 轴上方作正方形 OACD，ABEF。经过点 E 的反比例函数 y=(x>0)的图象交边 AC 于点 G。若 OA=4，AB=2FG，则 k的值为 。
15.如图，矩形 ABCD，AB=12，AD=5，点 E 是边 AB 上一点，点 G 是边 BC 上一点，连接
DE，DG，若 ∠ADE=∠EDG，DG=2DE，则 CG 的长为 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.（7 分）计算：() 1+∣ ∣ 2sin60 +(π 2026)0
17.（7 分）解方程：(1) x2 2x=0 (2) x2+4x 3=0
18.（8 分）层出不穷的 “硬核科技” 引起人们的热烈讨论，例如 “太空电梯、数字生命、人造太阳、量子计算机、人工智能、机械外骨骼” 等。为了解学生对现代科学知识的知晓程度，某区县随机抽查部分中学生，进行现代科学知识测试，得分用 x表示，数据分组为：A：50≤x<60，B：60≤x<70，C：70≤x<80，D：80≤x<90，E：90≤x≤100，将测试成绩绘制成如下统计图。请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
(1) 随机抽查的学生有 人，并补全条形统计图；
(2) 扇形统计图中 “D” 组所对应的圆心角度数为 ；
(3) 若该区县有 20000 名中学生，成绩大于或等于 90 分为优秀，请估计该区县成绩能达到优秀的中学生约有多少人？
19.（8 分）如图，在平行四边形 ABCD中，连接 DB，F是边 BC上一点，连接 DF并延长，交 AB的延长线于点 E，且 ∠A=∠BDE。
(1) 求证：△BDF△BCD；
(2) 如果 BD=3，BC=9，AB=4，求 DF的长。
20.（8 分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度。某校 “综合与实践” 活动小组的同学要测量 AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在 AB，CD 两楼之间上方的点 O 处，点 O距地面 AC的高度为 65 米，此时观测到楼 AB底部点 A 处的俯角为 70 ，楼 CD上点 E处的俯角为 30 ，沿水平方向由点 O飞行 24 米到达点 F，测得点 E处俯角为 60 ，其中点 A，B，C，D，E，F，O 均在同一竖直平面内。
(1) 求 EF的长；
(2) 求楼 AB与 CD之间的距离 AC的长（结果精确到 0.1 米）。（参考数据：sin70 ≈0.94，cos70 ≈0.34，tan70 ≈2.75，≈1.73）
21.（8 分）如图，⊙O是 △ABC的外接圆，AE是 ⊙O的直径，点 B是 弧CE的中点，过点 B的切线与 AC的延长线交于点 D。
(1) 求证：BD⊥AD；
(2) 若 AC=9，tan∠ABC=，求 ⊙O的半径。
22.（10 分）某商店购入一批进价为 10 元/个的商品进行销售，经市场调查发现，销售单价不低于进价，且日销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，当销售单价为 12 元时，日销售量为 152 个；当销售单价为 16 元时，日销售量为 136 个。
(1) y与 x的函数表达式为 ；
(2) 当商品销售单价定为多少元时，可使日销售利润最大，并求出最大利润；
(3) 要使得销售利润不低于 1500 元，则销售单价应控制在什么范围内？（请直接写出结果）
23.（10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=ax+b(a≠0)与反比例函数 y=(k≠0)的图象交于 A，B两点，与 x轴交于点 C。已知点 A，B的坐标分别为 (1,4)和 ( 2,n)。
(1) 求直线 AB和反比例函数的解析式；
(2) 请根据图象，直接写出 ax+b<时，x的取值范围；
(3) 点 E在 x轴的负半轴上，若 tan∠BAE=，求点 E的坐标。
24.（12 分）(1) 问题呈现：如图 1，△ABC和 △ADE都是等边三角形，连接 BD，CE，线段 BD与 CE的数量关系是 ，直线 BD，CE相交所成的较小角的度数是 ；
(2) 类比探究：如图 2，△ABC和 △ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90 ，直线 BD，CE相交于点 M，请写出的值及直线 BD，CE相交所成的较小角的度数，并就图 2 的情形说明理由；
(3) 拓展提升：如图 3，在 △ABC中，CA=CB=8，∠ACB=120 ，点 D，E分别是AB，AC的中点，连接 DE。如图 4，将 △AED绕着点 A顺时针旋转 α(0 <α<180 )，直线 DE 交 AB于点 F，连接 CE，当射线 CE将 ∠AED分成的两个角度之比为 1：3 时，求的值是多少？请直接写出答案。
25.（12 分）如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx+2(a≠0)与 x轴交于 A( 1,0)，B(4,0)两点，与 y轴交于点 C。
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 如图 2 所示，连接 AC，BC，点 P为抛物线上第四象限内一点，且满足 S△BAC=S△PBC，求点 P的坐标；
(3) 将线段 BC绕平面内一动点 Q(m,m)旋转 180 后得到线段 B′C′，若线段 B′C′与该抛物线没有公共点，求 m的取值范围。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.如图，该几何体的左视图是（ D ）
2.抛物线 y=x2 4x+3与 y轴的交点坐标为（ A ）
A. (0,3) B. (3,0) C. (1,0) D. (0,1)
3.如图，四边形ABCD四边形 A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A=80 ，∠D′=55 ，则 ∠C的度数为（ A ）
A. 135 B. 125 C. 115 D. 105
4.若关于 x的方程 x2 x+m=0没有实数根，则 m的值可以为（ D ）
A. 1 B. 0 C. D. 1
5.如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD交于点 O，∠CBD=30 ，过点 O 作 OE⊥BC于点 E，若 CE=2，则 OE的长为（ C ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
6.如图，点 A是反比例函数 y=(x<0)的图象上的一点，过点 A作 AB⊥x轴，垂足为 B，点 C为 y轴上的一点，连接 AC，BC。若 △ABC的面积为 5，则 k的值是（ C ）
A. 10 B. 12 C. 10 D. 5
7.《数学之美》特种邮票于 2025 年 3 月 14 日发行。如图，该邮票一套 4 枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带。现将这 4 枚邮票（除正面图案不同，其余均相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取 1 枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取 1 枚，两次抽取的邮票图案名称相同的概率为（ B ）
A. B. C. D.
8.如图，正五边形 ABCDE内接于 ⊙O，点 F 为 ⊙O上一点，则 ∠EFC的度数为（ D ）
A. 36 B. 45 C. 60 D. 72
9.如图，在矩形 ABCD中，E，F 是 BC 边上的三等分点，连接 DE，AF相交于点 G，连接 CG。若 AB=4，BC=6，则 tan∠GCF的值是（ A ）
A. B. C. D.
10.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x轴的一个交点为 A( 3,0)，与 y 轴交于点 C，点 D是抛物线的顶点，对称轴为直线 x= 1，其部分图象如图所示，则以下 4 个结论：① abc>0；② a+b+c=0；③ E(x1,y1)，F(x2,y2)是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)上的两个点，若 x1，则 y1A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.若 =，则= 。
12.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 9 个白球和若干个黑球，任意摸出一个球，摸到白球的概率是 0.6，则袋中黑球有 6 个。
13.如图是 6×4的小正方形网格，小正方形的边长为 1，点 A和 B是格点，连接 AB，在网格中画出以 AB 为直径的半圆，圆心为点 O，点 C是格点且在半圆上，连接 BC，则图中阴影部分的面积是 － 。
14.如图，点 A，B 在 x 轴上，分别以 OA，AB 为边，在 x 轴上方作正方形 OACD，ABEF。经过点 E 的反比例函数 y=(x>0)的图象交边 AC 于点 G。若 OA=4，AB=2FG，则 k的值为 12 。
15.如图，矩形 ABCD，AB=12，AD=5，点 E 是边 AB 上一点，点 G 是边 BC 上一点，连接
DE，DG，若 ∠ADE=∠EDG，DG=2DE，则 CG 的长为 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.（7 分）计算：() 1+∣ ∣ 2sin60 +(π 2026)0
=3+－+1－2
=4－2
17.（7 分）解方程：(1) x2 2x=0 (2) x2+4x 3=0
解：x（x－2）=0 解：（x+2）2=7
x1=0，x2=2 x1=－2+，x2=－2－
18.（8 分）层出不穷的 “硬核科技” 引起人们的热烈讨论，例如 “太空电梯、数字生命、人造太阳、量子计算机、人工智能、机械外骨骼” 等。为了解学生对现代科学知识的知晓程度，某区县随机抽查部分中学生，进行现代科学知识测试，得分用 x表示，数据分组为：A：50≤x<60，B：60≤x<70，C：70≤x<80，D：80≤x<90，E：90≤x≤100，将测试成绩绘制成如下统计图。请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
(1) 随机抽查的学生有 人，并补全条形统计图；
(2) 扇形统计图中 “D” 组所对应的圆心角度数为 ；
(3) 若该区县有 20000 名中学生，成绩大于或等于 90 分为优秀，请估计该区县成绩能达到优秀的中学生约有多少人？
（1）300
（2）108°
（3）20000×=3000人
答：3000人。
19.（8 分）如图，在平行四边形 ABCD中，连接 DB，F是边 BC上一点，连接 DF并延长，交 AB的延长线于点 E，且 ∠A=∠BDE。
(1) 求证：△BDF△BCD；
(2) 如果 BD=3，BC=9，AB=4，求 DF的长。
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C
∵∠A=∠BDE
∴∠C=∠BDE
∵∠DBC=∠DBF
∴△BDF△BCD
（2）由（1）知△BDF△BCD
∴=
∴=
∴DF=
20.（8 分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度。某校 “综合与实践” 活动小组的同学要测量 AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在 AB，CD 两楼之间上方的点 O 处，点 O距地面 AC的高度为 65 米，此时观测到楼 AB底部点 A 处的俯角为 70 ，楼 CD上点 E处的俯角为 30 ，沿水平方向由点 O飞行 24 米到达点 F，测得点 E处俯角为 60 ，其中点 A，B，C，D，E，F，O 均在同一竖直平面内。
(1) 求 EF的长；
(2) 求楼 AB与 CD之间的距离 AC的长（结果精确到 0.1 米）。（参考数据：sin70 ≈0.94，cos70 ≈0.34，tan70 ≈2.75，≈1.73）
（1）∵∠EFM=∠EOF+∠OEF=30°+∠OEF=60°
∴∠OEF=30°
∴∠EOF=∠OEF
∴EF=OF=24米
（2）59.6米
21.（8 分）如图，⊙O是 △ABC的外接圆，AE是 ⊙O的直径，点 B是 弧CE的中点，过点 B的切线与 AC的延长线交于点 D。
(1) 求证：BD⊥AD；
(2) 若 AC=9，tan∠ABC=，求 ⊙O的半径。
（1）∵B是弧CE的中点
∴弧BC=弧BE
∴∠CAB=∠BAE
∵OA=OB
∴∠BAE=∠OBA
∴∠CAB=∠OBA
∴OB∥AD
∵DB是⊙O的切线
∴OB⊥BD
∴∠OBD=90°
∵OB∥AD
∴∠D+∠OBD=180°
∴∠D=90°
∴BD⊥AD
（2）
22.（10 分）某商店购入一批进价为 10 元/个的商品进行销售，经市场调查发现，销售单价不低于进价，且日销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，当销售单价为 12 元时，日销售量为 152 个；当销售单价为 16 元时，日销售量为 136 个。
(1) y与 x的函数表达式为 ；
(2) 当商品销售单价定为多少元时，可使日销售利润最大，并求出最大利润；
(3) 要使得销售利润不低于 1500 元，则销售单价应控制在什么范围内？（请直接写出结果）
（1）y=－4x+200（x≥10）
（2）解设利润设为w
则w=（x－10）y=（x－10）（－4x+200）=－4（x－30）2+1600
∵－4＜0且x≥10
∴当x=30时w最大，最大为1600元。
（3）控制在25≤x≤35
23.（10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=ax+b(a≠0)与反比例函数 y=(k≠0)的图象交于 A，B两点，与 x轴交于点 C。已知点 A，B的坐标分别为 (1,4)和 ( 2,n)。
(1) 求直线 AB和反比例函数的解析式；
(2) 请根据图象，直接写出 ax+b<时，x的取值范围；
(3) 点 E在 x轴的负半轴上，若 tan∠BAE=，求点 E的坐标。
（1）将A(1,4)代入y=
得k=4
将B( 2,n)代入y=
得n=－2
∴将A、B (1,4)和 ( 2,－2)代入y=ax+b
得
解得
∴一次函数y=2x+2
（2）x＜－2或0＜x＜1
（3）E（－，0）
24.（12 分）(1) 问题呈现：如图 1，△ABC和 △ADE都是等边三角形，连接 BD，CE，线段 BD与 CE的数量关系是 ，直线 BD，CE相交所成的较小角的度数是 ；
(2) 类比探究：如图 2，△ABC和 △ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90 ，直线 BD，CE相交于点 M，请写出的值及直线 BD，CE相交所成的较小角的度数，并就图 2 的情形说明理由；
(3) 拓展提升：如图 3，在 △ABC中，CA=CB=8，∠ACB=120 ，点 D，E分别是AB，AC的中点，连接 DE。如图 4，将 △AED绕着点 A顺时针旋转 α(0 <α<180 )，直线 DE 交 AB于点 F，连接 CE，当射线 CE将 ∠AED分成的两个角度之比为 1：3 时，求的值是多少？请直接写出答案。
（1）BD=CE 60°
（2）= 夹角为45°
（3）3或
25.（12 分）如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx+2(a≠0)与 x轴交于 A( 1,0)，B(4,0)两点，与 y轴交于点 C。
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 如图 2 所示，连接 AC，BC，点 P为抛物线上第四象限内一点，且满足 S△BAC=S△PBC，求点 P的坐标；
(3) 将线段 BC绕平面内一动点 Q(m,m)旋转 180 后得到线段 B′C′，若线段 B′C′与该抛物线没有公共点，求 m的取值范围。
（1）将A( 1,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx+2
得
解得
∴y=x2+x+2
（2）P（，－）
（3）m＞2或m＜