2025~2026学年山东省济南市历城区八年级数学第一学期期末考试试题（含答案）

2025-2026 学年度第一学期期末质量检测八年级数学试题
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列实数中的无理数是（ ）
A. 3.14 B. C. D.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
3.如图，已知直线m∥n，∠1=140 ，∠2=30 ，则∠3度数为（ ）
A. 80 B. 70 C. 60 D. 50
4.如图，△ABC在每个小正方形边长都为 1 的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ）
A. BC=5 B. △ABC的面积为 5
C. ∠A=90 D. 点A到BC的距离为2
5.在同一个平面直角坐标系中，函数y=x+a与y=ax（a为常数且a≠0）的图象可能是（ ）
6.下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 相等的角是对顶角 B. 既是分数也是无理数
C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 三角形中，两条角平分线的交点到三边的距离相等
7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，已知∠B=50 ，∠C=20 ，则∠DAE的度数为（ ）
A. 50 B. 40 C. 30 D. 20
8.关于x的不等式组的解集是x<2，则a的取值范围是（ ）
A. a≥2 B. a>2 C. a<2 D. a≤2
9.现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等。将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态。用Δ，□， 分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图，其中图 3 的天平右边托盘中是n个球，那么n的值为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
10.一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示，下列说法：
①ab<0；②若M(x1,y1)，N(x2,y2)是直线y1=ax+b上不重合的两点，则(x1 x2)(y1 y2)>0；③3a+b=3c+d；④a+b>c+d；⑤当m>3时，am+b>cm+d中正确的个数有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分。）
11.点P( 1,2)关于原点对称的点P′的坐标是__________。
12.如图，将△ABC沿射线BC的方向平移得到△A1B1C1，如果平移距离是 3，BC1=10，那么B1C=________。
13.若一次函数y=kx+b的图象经过( 1,1)，(0,m)，(1,5)三点，则m的值为________。
14.一组数据（都是整数）：5，5，7，8，9，7，11，13，10，6，a，b。这组数据的箱线图如图所示。若数据中a15.如图，∠MON=30 ，在OM上截取OA1=。过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A2026B2026的长等于________。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.（8 分）计算(1) +6； (2) (2+1)(2 1) (2 1)2。
17.（8 分）解方程（不等式）
(1) ； (2) 4x 2≤2x+3。
18.（6 分）解不等式组，并写出它的整数解。
19.（8 分）如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180 。
(1) AD与EC有怎样的位置关系？请说明理由；
(2) 若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1=74 ，求∠FAB的度数。
20.（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知A(4,5)，B(5,2)，C(2, 1)。
(1) 在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标____；
(2) 在图中作出线段AC绕点O逆时针旋转90 后的图形A2C2；
(3) 若点P(2,a)与点Q关于x轴对称，PQ=8，请直接写出点P的坐标____。
21.（8 分）为了解初二学生的体育水平，体育老师抽取了 45 名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为 10 分，成绩达到 9 分及以上（包含 9 分）为优秀，成绩达到 6 分及以上（包含 6 分）为合格。根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表。
在这次测试中，女生得 9 分的人数为 5 人。根据以上信息，解答下列问题：
(1) 在这次测试中，得 7 分的女生有______人；
(2) 这个年级共有男生 300 人，你估计大约有多少男生的成绩能够达到优秀；
(3) 补全抽测男生体育模拟测试成绩统计图，并把相应的数据标注在统计图上；
(4) 表格中的m= ，n= 。
22.（8 分）科技市场某电子商务户为备战双十一购物节，分两次购进 A、B 两种充电器（两次同型号充电器的进价保持一致）：第一次采购了 20 件 A 充电器和 30 件 B 充电器，采购总费用为 3100 元；第二次采购了 30 件 A 充电器和 20 件 B 充电器，采购总费用为 2900 元。该商户将 A 充电器的售价定为每件 60 元，B 充电器的售价定为每件 120 元。
(1) 求 A、B 两种充电器每件的进价分别是多少元？
(2) 现计划共购进 1200 件这两种充电器，且要求 A 充电器的数量不少于 B 充电器数量的 3 倍。在满足采购数量要求的前提下，找出获利最大的进货方案，并计算对应的最大利润。
23.（12 分）解决问题
(1) 求m的值；
(2) 在综合考虑行驶费用和其它费用的情况下，回答下面的问题。
①若小明家仅用新车短途代步，每月行驶固定 200 km，按 1 年计算，A，B 车的总费用相差多少元？
②根据年平均行驶里程x km，请你帮小明家确定购车方案。
24.（12 分）如图，已知函数y= x 3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称。
(1) 求直线BC的函数解析式；
(2) 设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q；
①若△PQB的面积为 8，求点P的坐标；
②点M在线段AC上运动的过程中，连接BM，若∠BMP=∠BAC，求点Q的坐标。
25.（12 分）
【思维启迪】
(1) 如图 1，在等边△ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DG∥BC交边AC于点G，过点G作GE⊥BC于点E，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60 ，得到线段DF，连接AF。
①求证：△ADG是等边三角形；
②求证：AF⊥AB。
【思维探索】
(2) 如图 2，在等边△ABC中，BC=4，点D是边AB的中点，点E在直线BC上运动，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60 得到DF。连接AF，求线段AF的最小值。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列实数中的无理数是（ C ）
A. 3.14 B. C. D.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D ）
3.如图，已知直线m∥n，∠1=140 ，∠2=30 ，则∠3度数为（ B ）
A. 80 B. 70 C. 60 D. 50
4.如图，△ABC在每个小正方形边长都为 1 的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ D ）
A. BC=5 B. △ABC的面积为 5
C. ∠A=90 D. 点A到BC的距离为2
5.在同一个平面直角坐标系中，函数y=x+a与y=ax（a为常数且a≠0）的图象可能是（ A ）
6.下列命题中，是真命题的是（ D ）
A. 相等的角是对顶角 B. 既是分数也是无理数
C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 三角形中，两条角平分线的交点到三边的距离相等
7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，已知∠B=50 ，∠C=20 ，则∠DAE的度数为（ B ）
A. 50 B. 40 C. 30 D. 20
8.关于x的不等式组的解集是x<2，则a的取值范围是（ A ）
A. a≥2 B. a>2 C. a<2 D. a≤2
9.现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等。将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态。用Δ，□， 分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图，其中图 3 的天平右边托盘中是n个球，那么n的值为（ C ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
10.一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示，下列说法：
①ab<0；②若M(x1,y1)，N(x2,y2)是直线y1=ax+b上不重合的两点，则(x1 x2)(y1 y2)>0；③3a+b=3c+d；④a+b>c+d；⑤当m>3时，am+b>cm+d中正确的个数有（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分。）
11.点P( 1,2)关于原点对称的点P′的坐标是____(1,－2)______。
12.如图，将△ABC沿射线BC的方向平移得到△A1B1C1，如果平移距离是 3，BC1=10，那么B1C=___4_____。
13.若一次函数y=kx+b的图象经过( 1,1)，(0,m)，(1,5)三点，则m的值为____3____。
14.一组数据（都是整数）：5，5，7，8，9，7，11，13，10，6，a，b。这组数据的箱线图如图所示。若数据中a15.如图，∠MON=30 ，在OM上截取OA1=。过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A2026B2026的长等于___22025_____。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.（8 分）计算(1) +6； (2) (2+1)(2 1) (2 1)2。
=2+ =12－1－12+4－1
=3 =4－2
17.（8 分）解方程（不等式）
(1) ； (2) 4x 2≤2x+3。
（1）由②得y=4x－9③
将③代入①得2x+3（4x－9）=1
解得x=2
将x=2代入③得y=8－9=－1
原方程组得解为
（2）4x－2x≤3+2
2x≤5
x≤
18.（6 分）解不等式组，并写出它的整数解。
解不等式①得x＞1
解不等式②得x＜5
原不等式组的解为1＜x＜5
整数有2，3，4
19.（8 分）如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180 。
(1) AD与EC有怎样的位置关系？请说明理由；
(2) 若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1=74 ，求∠FAB的度数。
（1）∵∠1=∠BDC
∴AB∥CD
∴∠2=∠ADC
∵∠2+∠3=180°
∴∠ADC+∠3=180°
∴AD∥EC
（2）∵DA平分∠BDC
∴∠ADB=∠ADC
∵∠2=∠ADC
∴∠ADB=∠2
∴∠2+∠ADB=2∠2=∠ABF=74°
∴∠ABF=37°
∵DA⊥FA
∴∠FAB=53°
20.（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知A(4,5)，B(5,2)，C(2, 1)。
(1) 在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标____；
(2) 在图中作出线段AC绕点O逆时针旋转90 后的图形A2C2；
(3) 若点P(2,a)与点Q关于x轴对称，PQ=8，请直接写出点P的坐标____。
（1）（2，1）
（2）略
（3）（2，4）或（2，－4）
21.（8 分）为了解初二学生的体育水平，体育老师抽取了 45 名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为 10 分，成绩达到 9 分及以上（包含 9 分）为优秀，成绩达到 6 分及以上（包含 6 分）为合格。根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表。
在这次测试中，女生得 9 分的人数为 5 人。根据以上信息，解答下列问题：
(1) 在这次测试中，得 7 分的女生有______人；
(2) 这个年级共有男生 300 人，你估计大约有多少男生的成绩能够达到优秀；
(3) 补全抽测男生体育模拟测试成绩统计图，并把相应的数据标注在统计图上；
(4) 表格中的m= ，n= 。
（1）4
（2）300×=120人
略
（4）7.9 8
22.（8 分）科技市场某电子商务户为备战双十一购物节，分两次购进 A、B 两种充电器（两次同型号充电器的进价保持一致）：第一次采购了 20 件 A 充电器和 30 件 B 充电器，采购总费用为 3100 元；第二次采购了 30 件 A 充电器和 20 件 B 充电器，采购总费用为 2900 元。该商户将 A 充电器的售价定为每件 60 元，B 充电器的售价定为每件 120 元。
(1) 求 A、B 两种充电器每件的进价分别是多少元？
(2) 现计划共购进 1200 件这两种充电器，且要求 A 充电器的数量不少于 B 充电器数量的 3 倍。在满足采购数量要求的前提下，找出获利最大的进货方案，并计算对应的最大利润。
（1）解设A充电器每件的进价是x元，B充电器每件的进价是y元。
解得
答：A充电器每件的进价是50元，B充电器每件的进价是70元。
（2）最大利润是24000元
23.（12 分）解决问题
(1) 求m的值；
(2) 在综合考虑行驶费用和其它费用的情况下，回答下面的问题。
①若小明家仅用新车短途代步，每月行驶固定 200 km，按 1 年计算，A，B 车的总费用相差多少元？
②根据年平均行驶里程x km，请你帮小明家确定购车方案。
（1）∵=
∴m=25
解得m=0.75
（2）①A的费用：0.3×200×12+6500+1000=8220元
B的费用：0.75×200×12+0.05×200×12=4920元
8220－4920=3300元
②当x=9000时，两个都可以，x＞9000，选A，x＜9000，选B
24.（12 分）如图，已知函数y= x 3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称。
(1) 求直线BC的函数解析式；
(2) 设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q；
①若△PQB的面积为 8，求点P的坐标；
②点M在线段AC上运动的过程中，连接BM，若∠BMP=∠BAC，求点Q的坐标。
（1）将x=0代入y= x 3，解得y=－3
∴B（0，－3）
将y=0代入y= x 3，解得x=－6
∴A（－6，0）
∵点C与点A关于y轴对称。
∴C（6，0）
设BC的表达式为y=kx+b
将B（0，－3）和C（6，0）代入y=kx+b
得
解得
∴y=x－3
（2）①P（4，－5）或（－4，－1）
②Q（，－）或（－，－）
25.（12 分）
【思维启迪】
(1) 如图 1，在等边△ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DG∥BC交边AC于点G，过点G作GE⊥BC于点E，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60 ，得到线段DF，连接AF。
①求证：△ADG是等边三角形；
②求证：AF⊥AB。
【思维探索】
(2) 如图 2，在等边△ABC中，BC=4，点D是边AB的中点，点E在直线BC上运动，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60 得到DF。连接AF，求线段AF的最小值。
（1）①∵△ABC是等边三角形
∴∠DAG=∠B=∠C=60°
∵DG∥BC
∴∠ADG=∠B=60°，∠AGD=∠C=60°
∴△ADG是等边三角形
②AF⊥AB
（2）AF的最小值是3