山东省潍坊市诸城繁华中学2025-2026学年高一下学期第一次周测数学试题(扫描版,含解析)

高一数学周检测试题一
审核：数学组 2026.03
一、单选题(本题共 6 小题,每小题 5分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1．函数 y log 1 x 3 的定义域为（ ）
2
, 1 1 , A． B． 8 8
1
C． 0, D． 0,8 8

2．在矩形 ABCD 中， | AB | 2， | BC | 4，则向量 AB AD AC 的长度为（ ）
A． 2 5 B． 4 5 C．12 D．6
3．下列说法错误的是（ ）

A． CD DC B． e1， e2 是单位向量，则 e1 e2

C．若 AB CD ，则 AB CD D．两个相同的向量的模相等
4．如图，把一个体积为64cm3、表面涂有灰漆的正方体木块锯成 64 个体积为1cm3的小正方体，
从中任取一块，则这 1 块至少有一面涂漆的概率为（ ）．
1 1
A． B．
32 16
7 15
C． D．
8 16
1 1
5．已知非零实数 a，b，则“ a3 b3”是 “ ”的（ ）
a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
x
3 1
6．已知函数 f x ，记 a f
2
，b f 1 ，c f t t ，则 a，b，c的大小 π 4 4
关系为（ ）
A． a b c B． c a b C．b a c D． c b a
试卷第 1页，共 4页
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二、多选题(本题共 2小题,每小题 6分,共 12 分）
7．下列结论恒为零向量的是（ ）

A． AB BC CA B． AB AC BD CD

C．OD OA AD D． NO OP MN MP

8．已知 a

，b 为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）

A．若 | a | | b | | a b |

，则 a与 b 方向相同

B．若 | a | | b | | a b | ，则 a与 b 方向相反

C．若 | a | | b | | a b |，则 a与 b 模相等
r r r
D．若 || a | | b || | ar b |，则 a与b 方向相同
三、填空题（本题共 2小题，每小题 5分，共 10 分）
1 1
9．幂函数 y xm 的图象过点 , ，则函数 f x logn x m 2恒过定点____．
2 8
10．给出下列命题：

①若 | a | | b |，则 a b或a b；
②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

④向量 AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是___________．
四、解答题（共 58 分）
2
11．（本小题 13 分）已知集合 A x | x 5x 14 0 , B x | a x 3a 2 .
(1)当a 2时，求 A B；
(2)若 A B B，求实数 a的取值范围.
试卷第 2页，共 4页
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12．（本小题 15 分）已知函数 f x x2 ax 2， a R .
（1）若不等式 f x 0的解集为 1,2 2，求不等式 f x 1 x 的解集；
2
（2）若函数 g x f x x 1在区间 1,2 上有两个不同的零点，求实数 a的取值范围．
13．（本小题 15 分）某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在 50,100 内（单位：分），
随机抽取了 100 名学生的成绩，整理后按照 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 分成五组，
并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)若规定成绩较高的前10%的学生获奖，请求出 a的值并估计获奖学生的最低分数线；
(2)现从样本成绩在 70,80 与 80,90 两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取 5 人，再从这 5
人中随机选取 2 人，求这 2 人中恰有 1 人的成绩落在 70,80 内的概率；
(3)已知样本数据落在 70,80 的平均数是 77，方差是 6，落在 80,90 的平均数是 82，方差是 3，
求这两组数据合并后的平均数 x和总方差 s2．
试卷第 3页，共 4页
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1 x
14．（本小题 15 分）已知函数 f x lg x 1 .
(1)判断函数 f x 的奇偶性，并证明；
(2)求不等式 f f x f lg 2 0的解集；
(3)函数 g x 2 ax a 0,a 1 ，若存在 x1, x2 0,1 ，使得 f x1 g x2 成立，求实数 a的取
值范围；
试卷第 4页，共 4页
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高一数学周检测试题一参考答案
1．C 【详解】要使函数 y log 1 x 3 有意义，应满足
2
log x 3 0 log x log 1
3
1

1
2 1 1 ，即 2 2 2 ，解得： 0 x
1
，所以函数的定义域为 0,

x 0 8
8
x 0

2．B【详解】因为 AB AD AC，所以 AB AD AC 的长度为 AC的模的 2 倍．

又 | AC | 42 22 2 5 ，所以向量 AB AD AC 的长度为 4 5.故选：B

3．C【详解】对于 A， CD DC ，故 A正确；对于 B，e1 ，e2 是单位向量，则 e1 e2 1，故 B

正确；对于 C，若 AB CD ，则 AB,CD不能比较大小，故 C错误；
对于 D，两个相同的向量的模相等，故 D正确.故选：C.
4．C【详解】由题意可知：基本事件的总数为64，只有一面涂漆的有 4 6 24个，
有两面涂漆的有 2 12 24个，有三面涂漆的有8个，所以至少有一面涂漆包含的基本事件的个
56 7
数为 24 24 8 56个，所以从中任取一块，则这 1 块至少有一面涂漆的概率为 ，
64 8
1 1 1 1 1 1
5．D【详解】当 a3 b3时，举反例，取 a 1，b 1，则 1， 1，此时 ，不满足
a b a b a b
1 1
因此充分性不成立.当 时，取 a 1，b 1，则 3
a b a 1，b
3 1，不满足 a3 b3因此必要性
1 1
不成立.综上， a3 b3是 的既不充分也不必要条件.故选：D
a b
1 x
3
4 1 1 1
2
1 1
6．C【详解】因为 f x 1 2 π ，所以 a π
，b f 1 ，因为 t t
π 4
t ，
2 2 2
2
0 t 2
1
t 1 2 c f t2 t 1 2所以 ，因为 ，所以4 2 4 c 1
，因为当 x 0时，
π
x
f x 1 0, 2 3 在 上单调递减， 1，所以b a c，
π 2 4

7．BD【详解】 AB BC CA AB BA 2AB ，故 A 错误；

AB AC BD CD AB AC BD DC CB BC 0，故 B 正确；
答案第 1页，共 4页
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OD OA AD AD AD 2 AD，故 C 错误；

NO OP MN MP NP PN 0，故 D 正确.故选：BD

8．ABD【详解】如图，根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当 a， b 不共线时，

根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边有 || a | | b || | a b | | a | | b |．
r r
当 a， b 同向时有 | a b | r | a | | b |， || a | | b || | ar b |，所以 A,D 正确，C 错误．

当 a， b 反向时有 | a b | || a | | b ||， | a | | b | | a b |，所以 B 正确．
1 1 1 1
m

9． ( 2,2)【详解】幂函数 y xm 的图象过点 , ，则 ，解之得m 3，
2 8
=
8 2
则函数 f x logn x 3 2，令 x 3 1，则 x 2，则 f 2 logn 2 3 2 2，
则函数 f x logn x 3 2恒过定点 ( 2,2) .故答案为： ( 2,2)

10．③【详解】①错误．由 | a | | b |仅说明 a与 b 模相等，但不能说明它们方向的关系．

②错误．0的模为零．
③正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．

④错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量 AB，CD必须在
同一直线上．故答案为：③
11．【详解】（1）解：当 a 2时， A 2 x 7 ,B 2 x 4 ,
所以 A B 2 x 7 ；
（2）由 A B B，得 B A，当 B 时， a 3a 2，解得a 1成立；
a 2
当 B 时，a 1，且 ，解得1 a 3，此时1 a 3，所以实数 a的取值范围是 ,3 .
3a 2 7
12．【详解】（1）因为不等式 f x 0的解集为 1,2 ，则方程 x2 ax 2 0的两个根为 1和 2，
2 2
由根与系数的关系可得，a (1 2) 3，所以 f x x 3x 2.由 f x 1 x ，得
1 x2 x2
1
3x 2，即 2x2 3x 2 1 0，解得 x 或 x 1，所以不等式 f x 1 x 的解集为2
答案第 2页，共 4页
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1
x | x 或x 1

；
2


（2）由题知函数 g x 2x2 ax 3，且 g x 在区间 1,2 上有两个不同的零点，
g(1) 0 a 5 0

g(2) 0


2a 11 0

则 a ，即 a ，解得 5 a 2 6，所以实数 a的取值范围是 ( 5, 2 6)．
1 2 1 2
4 4
0 a
2 24 0
13．【详解】（1）由频率分布直方图易知， 0.040 0.030 0.016 a 0.004 10 1，解得 a 0.010，
由图知， 90,100 的频率为0.04． 80,100 的频率为0.1 0.04 0.14，
所以获奖学生最低分数线落在 80,90 内，不妨设为 x，则 90 x 0.01 0.04 0.1，解得 x 84，
所以估计获奖学生的最低分数线为 84 分．
（2）由图可知， 70,80 与 80,90 的频率之比是0.4 : 0.1 4 :1，
根据分层随机抽样的方法可知，在 70,80 内抽取 4人，记为 a1,a2 ,a3 ,a4，在 80,90 内抽取 1 人，
记为b，
从这 5 人中选取 2 人，则该试验的样本空间为：
Ω a1,a2 , a1,a3 , a1,a4 , a1,b , a2 ,a3 , a2 ,a4 , a2 ,b , a3 ,a4 , a3 ,b , a4 ,b ,则n Ω 10，记
事件 A “这 2 人中恰有 1 人的成绩落在 70,80 内”，
则 A a1,b , a2 ,b , a3 ,b , a4 ,b ，则 n A 4，由古典概型概率公式，可得
n A
P A 4 2
n Ω 10 5．
（3）样本数据在 70,80 内的人数为0.4 100 40，在 80,90 内的人数为0.1 100 10，
x 40 77 10所以 82 78，
40 10 40 10
s2 40 6 78 77
2 10 3 78 82 2 9.4．
40 10 40 10
f x lg 1 x14【详解】（1）函数 为奇函数.
x 1
答案第 3页，共 4页
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1 x
证明：由真数 0，解得 1 x 1，所以函数 f x 的定义域为 1,1 ，定义域关于原点对称.
x 1
1

x 1
又 f x lg lg 1 x lg 1 x 1 x lg f x ，
x 1 1 x x 1 x 1
所以函数 f x 为奇函数；
（2）设 1 x1 x2 1，则0 1 x2 1 x1 2，0 x1 1 x2 1 2，
1 x1
1 x x 1
则 f x1 f x lg
1 x1 1 x x 1
2 lg 2 lg 1 lg
1 2 lg1 0
x1 1 x 1 1 x2 2 x1 1
，
1 x2
x2 1
即 f x1 f x2 ，所以函数 f x 在区间 1,1 上单调递减.
由 f f x f lg 2 0可得， f f x f lg 2 f lg 2 ，
1 lg1 x 1 f x 1 1 x 1 1 1 x 1 1
所以 x
9

f x lg 2
，即 1 x ，所以 ，解得 . lg lg 1 10 x 1 2 3 11
x 1 2
1 9
故不等式的解集为 , .
3 11
（3）由（2）知，函数 f x 在区间 1,1 上单调递减，所以当 x 0,1 时， f x 的值域为 , 0 .
由题意知， g x 与 f x 在 x 0,1 时的值域一定存在交集.
当0 a 1时， g x 2 ax在 0,1 上单调递增，值域为 1,2 a ，
此时 g x 与 f x 的值域不存在交集；当 a 1时， g x 2 ax在 0,1 上单调递减，值域为
2 a,1 ，若 g x 与 f x 的值域存在交集，则 2 a 0，即 a 2.
综上，实数 a的取值范围为 2, .
答案第 4页，共 4页
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