8.3.2 一元二次方程根的判别式 同步练习（含答案） 2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

8.3.2 一元二次方程根的判别式
基础夯实
知识点一 利用判别式判断方程根的情况
1.(2024·泰安泰山区期末)下列对一元二次方程 根的情况的判断，正确的是 ( )
A.有两个不相等实数根
B.有两个相等实数根
C.有且只有一个实数根
D.没有实数根
2.下列关于x 的方程中，一定有两个不相等的实数根的是 ( )
A.
B.
C.
D.
3.若一次函数y= kx+b(k≠0)|的图象经过第一、二、四象限，则方程 有 个根.
知识点二 判别式的运用
4.若关于 x 的方程 没有实数根，则m 的值可以是 ( )
A.7 B.6
C.5 D.4
5.(2024·泰安)关于 x 的一元二次方程 有实数根，则实数k 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
易错点1 应用根的判别式时，忽视二次项系数不为0
6.关于x 的一元二次方程 有实根，则m 的最大整数值是 .
易错点2 未指明方程是一元二次方程时，忽视一元一次方程有实数根的情况
7.关于x 的方程 有实数根，则m 的值不可能是 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
能力提升
8.若关于x 的一元二次方程 有两个实数根，则a 的取值范围是 ( )
A. a≤2 B. a<2
C. a≤2且a≠0 D. a<2且a≠0
9.若使函数 的自变量x 的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是 ( )
A.0C. b<010.若a,b,c 是△ABC 的三边长,则关于 x 的方程 的根的情况是( )
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
11.已知方程 在□中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是 .(填写一个符合要求的数字即可)
12.已知等腰△ABC 的底边长为3，两腰长恰好是关于 x 的一元二次方程 的两根，则△ABC 的周长为 .
13.已知x ,x 是关于 x 的方程 的两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围；
(2)若k<5,且k,x ,x 都是整数，求k 的值.
14.若等腰三角形的一边长为 4，另两边长是关于x 的一元二次方程 3m=0的两根,求m 的值.
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15.若关于x的一元二次方程 (a≠0)的根均为整数，则称方程为“快乐方程”.通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 一定为完全平方数.现规定 为该“快乐方程”的“快乐数”.例如“快乐方程 的两根均为整数,其“快乐数” F(1,-3,-4)= 若有另一个“快乐方程” 的“快乐数” F(p,q,r),且满足r·F(a,b,c)=c·F(p,q,r),则称 F(a,b,c)与F(p,q,r)互为“开心数”.
(1)“快乐方程’ 的“快乐数”为 ;
(2)若关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 为整数，且1(3)若关于x 的一元二次方程 m+1=0与x -(n+2)x+2n=0(m,n均为整数)都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n 的值.
1. A 2. D
3.2 解析:∵一次函数y= kx+b(k≠0)(k,b 为常数)的图象经过第一、二、四象限，
∴k<0、b>0,
∴kb<0,
∴方程 有两个不相等的实数根.
4. D 5. B 6.4 7. D 8. C
9. A 解析:∵函数 的自变量x的取值范围是一切实数，
∴分母一定不等于0，
无解，
即
解得c∴当010. C
11.1(答案不唯一) 解析:∵方程□x“-4x+2=0有两个不相等的实数根。 且□=0,解得□<2,且□≠0.故添加的数字可以是1.
12.7
13.解:(1)∵x ,x 是关于x的方程 的两个不相等的实数根，
∴△>0,
即 4=4k-4>0,
解得k>1.
(2)∵k<5,由(1),得k>1,∴1∴整数k 的值有2,3,4.
当k=2时，方程为.
解得 (都是整数，此情况符合题意)；
当k=3时，方程为.
解得， (不是整数，此情况不符合题意)；
当k=4时，方程为
解得 (不是整数，此情况不符合题意).
综上所述. k的值为2.
14.解：当腰长为4时，
把x=4代入
得16-4m-12+3m=0,解得m=4.
当m=4时，方程为. 解得 此时三边长为4，4，3，能构成等腰三角形.
∴m=4成立.
当底长为4时，
则方程 有两个相等的实数根，∴△=0,即
当m=3时，方程为 解得
此时三边长为3，3，4，能构成等腰三角形.
∴m=3成立.
综上所述，m的值为4或3.
15.解:(1)“快乐方程 的“快乐数为 F(1,
答案:-4
(2)∵一元二次方程.
∵1又方程. 是“快乐方程”，且m为整数.
∴4m+13=25或36,∴m=3或 (舍去),
∴方程为
则
故其“快乐数”数是
(3)∵关于x的一元二次方程
设 则(m-2+a)(m-2-a)=8.
又m-2+a与m-2-a同奇偶,
或 或 或 解得m=5或-1,
∴方程为 或
∵关于x 的一元二次方程.
∴“快 乐 数 ”为 F (1, - n - 2, 2n) .
当m=5时, 的“快乐数”为F(1,-5,
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
解得n=3或 当m=-1时, )的“快乐数”为 F(1,1,
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
解得n=0,综上，n的值为0或3或