2026届中考数学二轮复习第四章图形的初步认识与三角形：解直角三角形 强化训练
一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝2，sin A＝，那么AB的长是( )
A. B.3 C. D.
2.如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定
3.中国的风筝已有2 000多年的历史.相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”.如图是一个风筝骨架的示意图，已知AC⊥DE，且AD=m，AD=CD，AD与AC的夹角为α，则该骨架中AC的长度应为（ ）
A.mcos α
B.mtan α
C.2mcos α
D.2mtan α
4.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1个单位，A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为( )
A. B. C. D.
5.上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离为（ ）
A.海里 B.海里 C.40海里 D.海里
6.如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（ ）
A.仰角为
B.当无人机远离水平飞行时，仰角增大
C.俯角为
D.当无人机远离水平飞行时，俯角减小
7.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，和都是锐角，若，，则
A.
B.
C.
D.
9.如图，某书店拿取高处书籍的登高梯AC靠书架放置，顶端A恰好放在书架第七层的顶端，已知AC＝3米，∠CAB＝18°，则书架第七层顶端离地面的高度AB为（ ）
A.米 B.3sin18°米 C.米 D.3cos18°米
10.下列计算结果，正确的是（ ）
A.（a2）3＝a5 B.3 C.2 D.cos30°
11.的值为（ ）
A. B.1 C. D.2
12.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为
A.
B.
C.
D.
13.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若＝，则sin C的值是( )
A. B. C. D.
14.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
15.2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）
A. 千米
B. 千米
C. 千米
D. 千米
16.已知∠A是锐角，sin A=，则cos A的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
17.一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了 米．
18.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°，a＝5，c＝5，则∠B＝____，b＝____.
19.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：）
20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是 ．
21.在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 ．
22.在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是_______．
三、解答题
23.如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角，同时量得CD为．问烟囱AB的高度为多少m？（精确到，参考数据：）
24.某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：．结果保留小数点后一位）
25.单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
解决问题：根据以上信息，求长．（结果精确到）
参考数据：，．
26.如图所示，已知BC是水平面，AB，AD，CD是斜坡.AB的坡角为42°，坡长为200米，AD的坡角为60°，坡长为100米，CD的坡比i=1∶2.
（1）求坡顶A到水平面BC的距离；
（2）求斜坡CD的长度.（结果精确到1米，参考数据：sin 42°≈0.67，≈1.73）
27.(1)计算：-+2cos 45°+；
(2)解不等式组：
28.计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．2026届中考数学二轮复习第四章图形的初步认识与三角形：解直角三角形 强化训练（参考答案）
一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝2，sin A＝，那么AB的长是( )
A. B.3 C. D.
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，BC＝2，sin A＝，
∵sin A＝＝＝，
∴AB＝3.
2.如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定
【答案】C
【解析】如图，设与的交点为，
为半径，为弦，且，
，
，
，
在中，，，，
，
，即的半径为4，
，
点在外.
故选：C.
3.中国的风筝已有2 000多年的历史.相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”.如图是一个风筝骨架的示意图，已知AC⊥DE，且AD=m，AD=CD，AD与AC的夹角为α，则该骨架中AC的长度应为（ ）
A.mcos α
B.mtan α
C.2mcos α
D.2mtan α
【答案】C
【解析】
∵AC⊥DE，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，AD=m，∠DAB=α，
∴AB=AD·cos α=mcos α，
∵AD=DC，AC⊥DE，
∴AC=2AB=2mcos α，
∴该骨架中AC的长度应为2mcos α.
4.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1个单位，A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 如答图，把AB向上平移一个单位到DE，连结CE.
答图
易知DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC.
在△DCE中，EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，
∴EC2＋DC2＝5＋20＝25＝DE2，
∴△DCE是直角三角形，且∠DCE＝90°，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝.
5.上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离为（ ）
A.海里 B.海里 C.40海里 D.海里
【答案】D
【解析】如图，过点B作BN⊥AM于点N，
由题意得，AB＝40×1＝40海里，∠ABM＝105°，
在直角三角形ABN中，BN＝AB sin45°＝20（海里），
在直角△BNM中，∠MBN＝105°﹣45°＝60°，
∴∠M＝30°，
∴BM＝2BN＝40（海里）．
故选：D．
6.如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（ ）
A.仰角为
B.当无人机远离水平飞行时，仰角增大
C.俯角为
D.当无人机远离水平飞行时，俯角减小
【答案】B
【解析】
∵利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，
∴仰角为，俯角为，
故A和C选项是正确的，不符合题意；
如图：
当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时
则
∴
∴仰角减小
故选项是错误的，符合题意；
当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时
则
∴
∴俯角减小
故选项是正确的；不符合题意．
故选：．
7.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵BA＝BE＝2，BC＝，
∴cos∠CBE＝＝，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴S扇形BAE＝＝．
8.如图，在中，和都是锐角，若，，则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】如图，过点作于，则，，，，，，，，故选：C．
9.如图，某书店拿取高处书籍的登高梯AC靠书架放置，顶端A恰好放在书架第七层的顶端，已知AC＝3米，∠CAB＝18°，则书架第七层顶端离地面的高度AB为（ ）
A.米 B.3sin18°米 C.米 D.3cos18°米
【答案】D
【解析】在Rt△BAC中，∠ABC＝90°，AC＝3米，∠CAB＝18°，
∵，
∴AB＝3cos18°．
故选：D．
10.下列计算结果，正确的是（ ）
A.（a2）3＝a5 B.3 C.2 D.cos30°
【答案】C
【解析】A．（a2）＝a6，所以A选项不符合题意；
B．2，所以B选项不符合题意；
C．2，所以C选项符合题意；
D．cos30°，所以D选项不符合题意；
故选：C．
11.的值为（ ）
A. B.1 C. D.2
【答案】B
【解析】
．
故选B．
12.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，AB=，
cos∠B=．
故选：B．
13.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若＝，则sin C的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接DB，DE，设AB＝m，
∵＝，
∴CD＝3AB＝3m，
∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，
∴AB是⊙D的切线，
∵⊙D与BC相切于点E，
∴BC⊥DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD＝3m，
∴CE＝CB－EB＝3m－m＝2m，
∵∠CED＝90°，
∴DE＝＝＝m，
∴sin C＝＝＝.
14.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图：过点C作于点D
在中，,
∴，
∴点到的距离为，故B正确．
故选：B．
15.2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）
A. 千米
B. 千米
C. 千米
D. 千米
【答案】A
【解析】由题意得：,
∴千米,
故选：A.
16.已知∠A是锐角，sin A=，则cos A的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
如图所示，
∵sin A==，
设BC=3a，AB=5a，
则AC==4a，
∴cos A===.
二、填空题
17.一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了 米．
【答案】100．
【解析】设此人升高了x米，
∵公路路面的坡度为i＝1：2.4，
∴此人行走的水平距离是2.4x米，
由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝2602，
解得：x＝100（负值舍去），
故答案为：100．
18.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°，a＝5，c＝5，则∠B＝____，b＝____.
【答案】45° 5
【解析】因为sinA＝＝＝，所以∠A＝45°，所以∠B＝90°－∠A＝45°，所以∠B＝∠A，所以b＝a＝5.
19.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：）
【答案】51
【解析】延长交距水平地面的水平线于点D，如图，
由题可知，，
设，
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是 ．
【答案】2．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，
不妨设BC＝k，则AB＝3k，由勾股定理得，
AC2k，
所以tanB，
故答案为：2．
21.在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 ．
【答案】7或17
【解析】在△ABC中，作AD⊥BC，交BC于点D，如图，
在直角三角形ABD中，cos∠B=，AB=，cos∠B=，
∴，
∴AD=BD=12，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即BC的边长为7或17，
故答案为：7或17．
22.在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是_______．
【答案】或
【解析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据，结合，得到为等边三角形，分点在点上方和点在点下方两种情况，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
过点作轴，则：，，
∴或，
设直线的解析式为，
∴当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
综上：或；
故答案为：或．
三、解答题
23.如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角，同时量得CD为．问烟囱AB的高度为多少m？（精确到，参考数据：）
【答案】解：设，
在中，，
，得．
在中，，
，得．
．
解方程，得．
．
答：烟囱AB的高度为53.2 m.
24.某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：．结果保留小数点后一位）
【答案】解：任务一：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，
∴，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
∴该活动中心移动了2米.
25.单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
解决问题：根据以上信息，求长．（结果精确到）
参考数据：，．
【答案】解：∵，，；
∴()，
()，
∴,
∵，，
∴()，
∴()；
∴的长为.
26.如图所示，已知BC是水平面，AB，AD，CD是斜坡.AB的坡角为42°，坡长为200米，AD的坡角为60°，坡长为100米，CD的坡比i=1∶2.
（1）求坡顶A到水平面BC的距离；
（2）求斜坡CD的长度.（结果精确到1米，参考数据：sin 42°≈0.67，≈1.73）
【答案】
解 （1）过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，∠B=42°，AB=200米，
则AE=AB·sin B≈200×0.67=134（米），
即坡顶A到水平面BC的距离约为134米.
（2）过点D作DF⊥BC于点F，DG⊥AE于点G，
则四边形EFDG为矩形，
∴GE=DF，
在Rt△AGD中，∠ADG=60°，AD=100米，
则AG=AD·sin∠ADG=100×≈86.5（米），
∴DF=GE=AE-AG=47.5（米），
∵CD的坡比i=1∶2，
∴DF∶FC=1∶2，
∴DF∶CD=1∶3，
∴CD=3DF=142.5≈143（米），
即斜坡CD的长度约为143米.
27.(1)计算：-+2cos 45°+；
(2)解不等式组：
【答案】解 (1)-+2cos 45°+
=4-3+2×+2-
=4-3++2-
=3.
(2)
解不等式①得x>2，
解不等式②得x≤8，
所以原不等式组的解集为228.计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．
【答案】解：原式＝2（）2
．
