2026届中考数学二轮复习第五章四边形：特殊的平行四边形 强化训练
一、选择题
1.已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件（ ）
A.AB＝BC B.∠ABC＝90° C.∠ADB＝30° D.AC＝AB
2.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A. B. C. D.
3.如图， 正方形ABCD是由9个小长方形拼接而成，EG＝4，FH＝5，若知道正方形ABCD的边长，则一定能求出( )
A.△EFG的面积 B.△FGH的面积 C.四边形EFGH的周长 D.四边形EFGH的面积
4.如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
6.如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.10
7.如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16,则( )
A.4 B. C.12 D.16
8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连结AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于( )
A.2α B.90°－2α C.45°－α D.90°－α
9.两个矩形的位置如图所示，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
10.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD
11.如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点(且不与点O，A重合)，过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB，BC为边作矩形OBCD，连接BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.2
12.数学课上，嘉嘉作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，则直线即为所求．作完图之后，嘉嘉经过测量发现，，根据他的作图方法和测量可知四边形是正方形，嘉嘉的理由是（ ）
A.两组对边分别平行的菱形是正方形
B.四条边相等的菱形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.有一个角是直角的菱形是正方形
13.如图，在菱形中，，则的长为（ ）
A. B.1 C. D.
14.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是（ ）
A.AO=CO，BO=DO
B.AB=BC，AO=CO
C.AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
D.AO=CO=BO=DO
15.如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN＝120°，则n的值为( )
A.12 B.10 C.8 D.9
16.矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是（ ）
A.互相平分
B.互相垂直
C.相等
D.任何一条对角线平分一组对角
二、填空题
17.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 ，使四边形DBCE是矩形．
18.如图，正方形ABCD的边长为6，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在边BC，CD上，且∠MON=90°，连接MN交OC于点P，若BM=2，则OP·OC= .
19.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2.5，则AC的长为 ．
20.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，则EF的最小值为 .
21.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,点P,Q分别是BC,BD上的动点,CQ+PQ的最小值为 .
22.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 .
三、解答题
23.[2022·随州]如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证：AE＝CF.
(2)已知 ABCD的面积为20，AB＝5.求CF的长．
24.如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△OAB是等边三角形．求证： ABCD是矩形．
25.如图，已知菱形ABCD，点E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED=45°，DF=BE，连接CE，AF，CF，得四边形AECF.
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD=4，BE=3，求菱形ABCD的面积.
26.如图，点E，F分别在 ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，∠BAF＝∠DAE.求证： ABCD是菱形．
27.如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，．
(1)是直角三角形吗？请说明理由；
(2)求证：四边形是菱形．
28.如图，在中，，D，E分别是，的中点，过点作CFAB，交延长线于点，连接，.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当 时，四边形是正方形.2026届中考数学二轮复习第五章四边形：特殊的平行四边形 强化训练（参考答案）
一、选择题
1.已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件（ ）
A.AB＝BC B.∠ABC＝90° C.∠ADB＝30° D.AC＝AB
【答案】B
【解析】需要添加条件∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
故选：B．
2.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
连接AC，PB，AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD=1，
∴AC=BC=，
∴OC=AC=，
∵S△BCE=S△BPC+S△BPE，
∴BE·OC=BC·PQ+BE·PR，
∵BC=BE，
∴BE·OC=BE·PQ+BE·PR，
∴PR+PQ=OC=.
3.如图， 正方形ABCD是由9个小长方形拼接而成，EG＝4，FH＝5，若知道正方形ABCD的边长，则一定能求出( )
A.△EFG的面积 B.△FGH的面积 C.四边形EFGH的周长 D.四边形EFGH的面积
【答案】D
【解析】 如答图所示标注字母.
∵EG＝4，FH＝5，设正方形的边长为a，
∴NH＝，
GI＝.
∵EF，FG，HG，EH分别是四个矩形的对角线，
∴S△EHM＝S四边形AEMH，S△HLG＝S四边形HLGD，
S△FKG＝S四边形FKGC，S△FJE＝S四边形BEJF，
∴四边形EFGH的面积＝S正方形ABCD＋S矩形JKLM，
而S矩形JKLM＝NH·GI，
∴若知道正方形ABCD的边长，则一定能求出四边形EFGH的面积.
4.如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，P为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠ABD＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴OC＝OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝4.
6.如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.10
【答案】B
【解析】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
7.如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16,则( )
A.4 B. C.12 D.16
【答案】B
8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连结AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于( )
A.2α B.90°－2α C.45°－α D.90°－α
【答案】A
【解析】 在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，如答图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，
则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG.
∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°.
在△GAE和△FAE中，
∵
∴△GAE≌△FAE(SAS)，
∴∠AEF＝∠AEG.
∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°－α，
∴∠AEF＝∠AEB＝90°－α，
∴∠FEC＝180°－∠AEF－∠AEB＝180°－2×(90°－α)＝2α.
9.两个矩形的位置如图所示，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，根据三角形外角定理，∠3=∠1-90°=α-90°，∠2=90°-∠3=180°-α．
10.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD
【答案】D
【解析】添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
11.如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点(且不与点O，A重合)，过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB，BC为边作矩形OBCD，连接BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.2
【答案】C
【解析】如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，
∴OC＝OA＝＝10，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
12.数学课上，嘉嘉作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，则直线即为所求．作完图之后，嘉嘉经过测量发现，，根据他的作图方法和测量可知四边形是正方形，嘉嘉的理由是（ ）
A.两组对边分别平行的菱形是正方形
B.四条边相等的菱形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.有一个角是直角的菱形是正方形
【答案】C
【解析】
根据题意可知，可以判定四边形是菱形
又因为，所以四边形是正方形
故选：C
13.如图，在菱形中，，则的长为（ ）
A. B.1 C. D.
【答案】D
【解析】连接与交于O．
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
，∵AC⊥BD，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
14.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是（ ）
A.AO=CO，BO=DO
B.AB=BC，AO=CO
C.AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
D.AO=CO=BO=DO
【答案】D
【解析】
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
由AB=BC，AO=CO，不能判定四边形ABCD是平行四边形，更不能判定是矩形，故选项B不符合题意；
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
∵AO=CO=BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意.
15.如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN＝120°，则n的值为( )
A.12 B.10 C.8 D.9
【答案】A
【解析】 ∵四边形BCMN是正方形，∴∠NBC＝90°.
∵∠ABN＝120°，∴∠ABC＝360°－90°－120°＝150°，
∴正n边形的一个外角为180°－150°＝30°，
∴n的值为＝12.故选A.
16.矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是（ ）
A.互相平分
B.互相垂直
C.相等
D.任何一条对角线平分一组对角
【答案】A
【解析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选A．
故选：A．
二、填空题
17.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 ，使四边形DBCE是矩形．
【答案】EB=DC
【解析】添加EB＝DC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴DE∥BC，
又∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB＝DC，
∴四边形DBCE是矩形．
故答案为：EB＝DC．
18.如图，正方形ABCD的边长为6，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在边BC，CD上，且∠MON=90°，连接MN交OC于点P，若BM=2，则OP·OC= .
【答案】
10
【解析】
如图，过点O作OQ⊥BC于点Q，
∵正方形ABCD的边长为6，∠MON=90°，BM=2，OB=OC，∠BOC=90°，
∴OQ=BQ=CQ=3，
∠BOM=∠CON，OB=OC，
∠OBM=∠OCN=45°，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴CN=BM=2，OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM=45°=∠OCM，
又∵∠MOC=∠POM，
∴△MOC∽△POM，
∴OM∶OC=OP∶OM，
∴OP·OC=OM2=OQ2+MQ2=32+（3-2）2=10.
19.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2.5，则AC的长为 ．
【答案】5
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB.
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO=AB=2.5，
∴AC=2AO=5.
20.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，则EF的最小值为 .
【答案】
3
【解析】
连接MC，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠DBC=45°，
∵ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，
∴四边形MECF为矩形，
∴EF=MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC=BC=×6=3，
∴EF的最小值为3.
21.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,点P,Q分别是BC,BD上的动点,CQ+PQ的最小值为 .
【答案】
【解析】∵ 四边形 ABCD为菱形，
∴点A，C关于BD对称，如图，连接AQ，AP，则CQ+PQ=AQ+PQ，
当A，Q，P三点共线且AP⊥BC时，CQ+PQ取得最小值，
过点 A作AP'⊥BC 于点 P'，最小值为 AP'的长.
的最小值为
22.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 .
【答案】
【解析】 ，
即，
解得：，
故答案为：．
三、解答题
23.[2022·随州]如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证：AE＝CF.
(2)已知 ABCD的面积为20，AB＝5.求CF的长．
【答案】
解：(1)∵四边形BEDF为正方形，
∴BE＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∴AB－BE＝DC－DF，
∴AE＝CF.
(2)由题意，得S ABCD＝AB·DE＝20.
又∵AB＝5，∴DE＝4.
易知BE＝DE＝4，
∴CF＝AE＝AB－BE＝1.
24.如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△OAB是等边三角形．求证： ABCD是矩形．
【答案】证明：∵△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形．
25.如图，已知菱形ABCD，点E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED=45°，DF=BE，连接CE，AF，CF，得四边形AECF.
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD=4，BE=3，求菱形ABCD的面积.
【答案】
（1）证明 如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∵BE=DF，
∴BE+OB=DF+DO，
∴FO=EO，
∴EF与AC互相垂直平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF=∠CEF，
又∵∠AED=45°，
∴∠AEC=90°，
∴菱形AECF是正方形.
（2）解 ∵BD=4，BE=3，
∴FD=3，
∴EF=10，
∴AC=10，
∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×10×4=20.
26.如图，点E，F分别在 ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，∠BAF＝∠DAE.求证： ABCD是菱形．
【答案】证明：∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB＝AD，∴ ABCD是菱形．
27.如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，．
(1)是直角三角形吗？请说明理由；
(2)求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
（2）证明：由（1）可得：是直角三角形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
28.如图，在中，，D，E分别是，的中点，过点作CFAB，交延长线于点，连接，.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当 时，四边形是正方形.
【答案】解：（1）∵D，E分别是，中点，
∴是的中位线.
∴DEBC.
又∵CFAB，
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵是的中点，
∴.
∴.
又∵CFAB，
∴四边形是平行四边形.
∵，D是中点，
∴.
∴.
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形.
（2）当=时，四边形ADCF为正方形.
∵∠ACB=90°，
∴可设AB=k，AC=k，
∴BC==k，
∴AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形.
∵D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°.
由（1）知四边形ADCF为菱形，
∴四边形ADCF为正方形.
故答案为：.
