2026届中考数学二轮复习重难题型：求阴影部分的面积 强化训练
一、选择题
1.等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是（ ）
①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE；④△BDE周长最小值是9
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O点的射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，BO，EF交于点P，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE+BFOA，其中正确结论的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( )
A. B. C. D.
4.如图，正方形ABCD中，AE垂直于BE，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是（ ）
A.16 B.18 C.19 D.21
5.如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD交于点O，以点A为圆心，AO长为半径作弧，交AD于点E；以点C为圆心，CO长为半径作弧，交BC于点F.若∠ABC=60°，则图中阴影部分的面积是( )
A.2- B.2- C.4- D.4-
6.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝2，S△BEF＝（ ）
A.2 B.1 C. D.
7.如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=1，点C是OB上一点，连接AC，沿AC将扇形折叠，使得点B落在AO的延长线上的点D处，连接CD，则图中阴影部分面积为(结果保留π)( )
A.+ B.+-1 C.+1- D.-
10.如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A. B. C. D.
11.如图，中，点分别是的中点，交于点．若的面积是，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
12.如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB=4，则图中阴影部分的面积等于( )
A. B. C. D.
13.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD上除端点外的任意一点，过点O作OF⊥OE交CD于点F，若AB＝6，则四边形EOFD的面积为（ ）
A.18 B.9 C.6 D.不能确定
二、填空题
14.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CD⊥OA交弧AB于点D，连接AB交CD于点E，若OA=2，则阴影部分的面积为 .
15.如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以BC长为直径画半圆.若AB＝4，则阴影部分的面积为 (结果保留π).
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 .
17.如图所示，AB为⊙O的直径，AB＝2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在上，2，点P是OC上一动点，则阴影部分周长的最小值为 ．
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠A=60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
19.如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 cm2．
三、解答题
20.如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
21.如图，是☉O的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．
（1）求证：；
（2）求证：是☉O的切线；
（3）若，，求阴影部分的面积．
22.平面直角坐标系中，存在A（a，0），B（0，b），C（c，2）三点，且，．
（1）求出a，b，c的值；
（2）如图，连接AB，BC，过点C作射线CE⊥x轴于点D．点P在射线CE上运动（不与C，D重合），连接BP，AP，猜想∠CBP，∠BPA，∠PAD之间的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下，设点P的纵坐标为t，三角形ABP的面积为s，试探究s与t的等量关系．
23.如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
24.如图，点O为平面直角坐标系的原点，三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝m．顶点A，C的坐标分别为（1，0），（n，0），且|m﹣3|+（n﹣5）2＝0．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）动点P从点C出发沿射线CA方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒，连接PB，请用含t的式子表示三角形ABP的面积；
（3）在（2）的条件下，当三角形ABP的面积为时，直线BP与y轴相交于点D，求点D的坐标．
25.如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．
（1）操作发现
如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，
①求线段DE与AC的位置关系；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，求S1与S2的数量关系．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．2026届中考数学二轮复习重难题型：求阴影部分的面积 强化训练（参考答案）
一、选择题
1.等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是（ ）
①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE；④△BDE周长最小值是9
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是等边△ABC的内心和外心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，①正确；
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝S△OBCS△ABC62＝3，③错误；
作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OHOE，HEOHOE，
∴DEOE，
∴S△ODE OE OEOE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；②错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝6+DE＝6OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE，
∴△BDE周长的最小值＝6+3＝9，④正确．
故选：B．
2.如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O点的射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，BO，EF交于点P，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE+BFOA，其中正确结论的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】图形中全等的三角形有四对：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∵AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
∵点O为对角线AC的中点，
∴OA＝OC，
又∵OB＝OB，AB＝CB，
∴△AOB≌△COB（SSS）；
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，∠BAO＝∠BCO＝45°，
∵AB＝CB，OA＝OC，∠ABC＝90°，
∴∠AOB＝90°，∠OBC＝45°，
又∵∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∵∠OAE＝∠OBF，OA＝OB，
∴△AOE≌△BOF（ASA）；
同理可证△BOE≌△COF（ASA）；
故①选项不符合题意；
∵△AOE≌△BOF，
∴OE＝OF，
∵∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
故②选项符合题意；
∵△AOE≌△BOF，
∴四边形OEBF的面积＝△ABO的面积，
∵正方形ABCD的面积＝2△ABC的面积＝4△ABO的面积＝4四边形OEBF的面积，
∴③选项符合题意；
∵△BOE≌△COF，
∴BE＝CF，
∴BE+BF＝CF+BF＝BC＝ABOA，
故④选项符合题意，
故正确的有②③④，
故选：C．
3.如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵，，
∴，
∴．
故选：B.
4.如图，正方形ABCD中，AE垂直于BE，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是（ ）
A.16 B.18 C.19 D.21
【答案】C
【解析】∵AE垂直于BE，且AE＝3，BE＝4，
∴在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝25，
∴S阴影部分＝S正方形ABCD﹣S△ABE
＝AB2AE×BE
＝253×4
＝19．
故选：C．
5.如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD交于点O，以点A为圆心，AO长为半径作弧，交AD于点E；以点C为圆心，CO长为半径作弧，交BC于点F.若∠ABC=60°，则图中阴影部分的面积是( )
A.2- B.2- C.4- D.4-
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=4，AD∥BC，OA=OC，
AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，
∠BAD=120°，
∴AC=AB=AD，∠DAC=∠ACB=60°，
∴结合作图可得点E是AD的中点，点F是BC的中点，
∴AE=AO=CO=CF=2，
∴BO=DO==2，
∴S△BOC=S△AOD=×2×2=2，
S扇形OAE=S扇形OCF==，
∴S阴影=2×=4-.
6.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝2，S△BEF＝（ ）
A.2 B.1 C. D.
【答案】C
【解析】∵点E是AD的中点，
∴，，
∴，
∴S△BCE＝1，
∵F为CE的中点，
∴，
故选：C．
7.如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
8.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
过点作于点E，于点，
根据题意得：，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
同理： ，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴．
故选：D．
9.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=1，点C是OB上一点，连接AC，沿AC将扇形折叠，使得点B落在AO的延长线上的点D处，连接CD，则图中阴影部分面积为(结果保留π)( )
A.+ B.+-1 C.+1- D.-
【答案】C
【解析】因为OA=OB=1，且∠AOB=90°，
所以AB==，
由折叠可知，
AD=AB=，
则OD=-1，
设OC长为x，
则CD=CB=1-x，
在Rt△COD中，
(-1)2+x2=(1-x)2，
解得x=-1，
所以S△COD=×(-1)×(-1)=-，
又因为余下的阴影部分的面积与右上方的弓形面积相等，
则-×1×1=π-，
所以S阴影=-+π-=+1-.
10.如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；
如图，连接，则，是等边三角形，
∴，弓形的面积相等，
∴阴影的面积＝扇形的面积，
∴图中三个阴影部分的面积之和；
故选：C.
11.如图，中，点分别是的中点，交于点．若的面积是，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵点分别是的中点，
∴分别是的中线，
∴，
∵，
∴，
故选：
12.如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB=4，则图中阴影部分的面积等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，连接OC，
∵CD垂直平分半径OA，
∴AC=OC，
∵OC=OA，
∴OA=OC=AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO=60°，
∴S阴影=S☉O-2S扇形CAO
=×π-2×
=×4π-2××4π
=2π-
=.
13.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD上除端点外的任意一点，过点O作OF⊥OE交CD于点F，若AB＝6，则四边形EOFD的面积为（ ）
A.18 B.9 C.6 D.不能确定
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∠EDO＝45°＝∠FCO，
∵OE⊥OF，
∴∠EOD＝90°﹣∠DOF＝∠FOC，
∴△DOE≌△COF（ASA），
∴S△DOE＝S△COF，
∴S四边形EOFD＝S△DOE+S△DOF＝S△COF+S△DOF＝S△DOC，
∵AB＝6，
∴S△DOCS正方形ABCD62＝9，
∴S四边形EOFD＝9，
故选：B．
二、填空题
14.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CD⊥OA交弧AB于点D，连接AB交CD于点E，若OA=2，则阴影部分的面积为 .
【答案】
【解析】如图，连接OD，
∵点C为OA的中点，
CD⊥OA，OD=OA，
∴OC=OD，
∴∠CDO=30°，
∴∠AOD=60°，
∴S扇形AOD=×22×π=，
S△OCD=OC·CD=×1×2×sin 60°=×2×=，
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠ACD=90°，
∴∠AEC=∠CAE=45°，
∴CE=AC=OA=1，
∴S△ACE=AC·CE=×1×1=，
∴S阴影=--=.
15.如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以BC长为直径画半圆.若AB＝4，则阴影部分的面积为 (结果保留π).
【答案】
6－π
【解析】 如答图，记半圆BC与BD相交于点O，与BD相交于点E，连结OC.
∵BC为直径，∴∠BOC＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝4，∠OBC＝45°，
∴∠BCO＝45°，∴OB＝OC，
∴OB＝BC·sin 45°＝2，
∴易知以及弦OC围成的弓形面积为＝π－2.
∵正方形ABCD是轴对称图形，
∴A，E，D三点之间的阴影部分面积等于C，E，D三点之间的空白部分面积，
∴总的阴影部分面积＝S△ODC－S弓形＝×2×2－(π－2)＝6－π.
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【解析】如图，连接BE，过点E作EH⊥BC于点H，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，AB=4，
BC=4，
∴tan∠BAC==，
∴∠BAC=60°，
∵BA=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠EBH=30°，
∴EH=BE=2，
∴S阴影=S扇形ABE+S△BCE-S△ABE-S扇形EBF=+×4×2-×4×2-=.
17.如图所示，AB为⊙O的直径，AB＝2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在上，2，点P是OC上一动点，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】．
【解析】如图，连接BD，AD，PB．
根据已知得B是A关于OC的对称点，
所以BD就是AP+PD的最小值，
∵2，而弧AC的度数是90°的弧，
∴的度数是60°，
∴∠ABD＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
而AB＝2，
∴BD，
∵的长，
∴AP+PD的最小值是，
∴阴影部分的周长的最小值为．
故答案为：．
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠A=60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
【答案】+
【解析】∵∠ACB=90°，AC=1，∠A=60°，
∴AF=AB=2AC=2，CE=BC=AC=，
∴S阴影=S△ACB+S扇形BCE-S扇形BAF
=×1×+-
=+.
19.如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 cm2．
【答案】12
【解析】∵F是CE的中点，，
∴，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴，
∴△ABC的面积＝12cm2．
故答案为：12．
三、解答题
20.如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线与相切，理由，
如图，连接，，
∵直线与相切，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线与相切；
（2）解：由（）得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
21.如图，是☉O的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．
（1）求证：；
（2）求证：是☉O的切线；
（3）若，，求阴影部分的面积．
【答案】解：（1）证明：∵是☉O的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴∠AEC=∠ACB，
∵点是的中点，
∴，
∴∠EAC=∠CAB，
∴.
（2）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是☉O的半径，
∴是☉O的切线.
（3）如图，连接，，OC，
∵是☉O的直径，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是半径，点是的中点，
∴，，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴-1.
22.平面直角坐标系中，存在A（a，0），B（0，b），C（c，2）三点，且，．
（1）求出a，b，c的值；
（2）如图，连接AB，BC，过点C作射线CE⊥x轴于点D．点P在射线CE上运动（不与C，D重合），连接BP，AP，猜想∠CBP，∠BPA，∠PAD之间的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下，设点P的纵坐标为t，三角形ABP的面积为s，试探究s与t的等量关系．
【答案】解：（1）∵，
∴a＝4，b＝2，
∵cb﹣a，
∴c＝1﹣4＝﹣3；
（2）当点P在线段CD上时，∠BPA＝∠CBP+∠PAD；当点P在线段CD的延长线上时，∠BPA＝∠CBP﹣∠PAD；理由如下：
如图，当点P在线段CD上时，过P作PF∥BC，
∵a＝4，b＝2，c＝﹣3，
∴A（4，0），B（0，2），C（﹣3，2），
∴BC∥AD，
∴BC∥PF∥AD，
∴∠CBP＝∠BPF，∠PAD＝∠APF，
∴∠BPA＝∠BPF+∠APF＝∠CBP+∠PAD；
如图，当点P在线段CD的延长线上时，过P作PF∥BC，
∵BC∥AD，
∴BC∥PF∥AD，
∴∠CBP＝∠BPF，∠PAD＝∠APF，
∴∠BPA＝∠BPF﹣∠APF＝∠CBP﹣∠PAD；
（3）∵CE⊥x轴，A（4，0），B（0，2），C（﹣3，2），
∴CD＝2，BC＝3，AD＝7，
当点P在线段CD上时，∵S△APB＝S四边形ABCD﹣S△CPB﹣S△APD，
∴s（3+7）×23×（2﹣t）7×t＝7﹣2t；
当P在线段CD的延长线上时，∵S△APB＝S四边形ABCD+S△APD﹣S△CPB，
∴s（3+7）×27×（﹣t）3×（2﹣t）＝7﹣2t；
综上所述：s＝7﹣2t．
23.如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）连接，如图，
∵，
∴，
∵沿直线翻折得到，
∴，，
∵是的半径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴于点C，
又∵为的半径，
∴是的切线.
（2）∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
24.如图，点O为平面直角坐标系的原点，三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝m．顶点A，C的坐标分别为（1，0），（n，0），且|m﹣3|+（n﹣5）2＝0．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）动点P从点C出发沿射线CA方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒，连接PB，请用含t的式子表示三角形ABP的面积；
（3）在（2）的条件下，当三角形ABP的面积为时，直线BP与y轴相交于点D，求点D的坐标．
【答案】解：（1）∵|m﹣3|+（n﹣5）2＝0．
∴|m﹣3|＝0，（n﹣5）2＝0．
∴m＝3，n＝5，
∴B（1，3），C（5，0），
∴AB＝3，AC＝4，
∴三角形ABC的面积；
（2）①如图1，当点P在线段AC上时，PC＝t，AP＝4﹣t，
三角形ABP的面积为6．
②如图2，当点P在线段AC的延长线上时，PC＝t，AP＝t﹣4，
三角形ABP的面积为3．
（3）①当点P在线段AC上时，6．
解得t＝﹣1（舍去）．
②如图3，当点P在线段AC的延长线上时，．
解得t＝9．
∴OP＝4，PA＝5，
∵∠BAC＝90°＝∠DOA，
∴OD∥AB，
∴．
解得OD．
∵点D在y轴上且在原点O的上方，
∴点D的坐标为（0，）．
25.如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．
（1）操作发现
如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，
①求线段DE与AC的位置关系；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，求S1与S2的数量关系．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
【答案】解：（1）①DE∥AC，
理由如下：如图②，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC＝CD，
∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴CD＝ACAB，
∴BD＝AD＝AC，
根据等边三角形的性质可得，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2；
（2）如图③，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ACN＝∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN＝DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2．
