2025-2026学年下学期辽宁大连育明高中丹东二中锦州中学本溪高中高二数学试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期辽宁大连育明高中丹东二中锦州中学本溪高中高二数学试卷(含解析) |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 121.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-11 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
大连育明高中、丹东二中、锦州中学、本溪高中 教学质量调研(数学试题)
考试时间:120 分钟满分:150 分
一、选择题; 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1. 已知复数 ,则
A. 2 B. -2 C. D.
2. 已知集合 ，则
A. B.
C. D.
3. 已知圆 与直线 相切,则 的值为
A. -6 或 2 B. 6 或 -2 C. 2 D. 6
4. 圆锥的底面半径与球的半径相等, 且它们的表面积也相等, 则圆锥与球的体积之比为
A. 1:3 B. 1:2 C. D.
5. 若对任意的 都成立,则 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 已知函数 是最小正周期为 的为偶函数. 则 的值为
A. -1 B. 0
C. D. 1
7. 为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示.
分档 户年用水量 综合用水单价/(元 )
第一阶梯 0~240 (含) 3.0
第二阶梯 240~330(含) 4.5
第三阶梯 330 以上 5.5
假设该市某户 2025 年缴纳水费 855 元，则该户 2025 年用水量为
A. 190 吨 B. 217 吨 C. 270吨 D. 285 吨
8. 已知四面体 中: ,设直线 与平面 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则
A. D. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在独立性检验中,显著水平 以及对应的分位数 如下:
0.1 0.01
2.706 6.635
某社团就喜欢长跑与学生性别的关系进行了一个随机调查, 根据男女生人数以及男女生是否喜欢长跑的人数，计算得 ，则
A. 有 99% 的把握认为喜欢长跑与性别有关
B. “喜欢长跑”与“是女生”独立的概率不小于 99%
C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为是否喜欢长跑与性别无关
D. 在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，可以认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立
10. 已知 的内角 的对边分别为 ,则能判定 一定是等腰三角形的为
A. B.
C. D.
11. 已知数列 的前 项和为 ,则
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题5分,共 15 分.
12. 已知集合 ,从 的非空子集中随机选一个集合,设事件 表示 地面到的集合中所有元素之和为偶数 ,则 _____.
13. 已知 的面积为 ，则 _____.
14. 已知 和 分别为双曲线 的左顶点和左焦点， ， 两点在 上， ， 若 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知函数 最小值为 -1 .
(1)求 在 上的减区间；
(2)求 在 上的所有零点之和。
16. (15分)在 中， ， 为 的中点，如图，沿 将 翻折至 位置，使平面 平面 .
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求二面角 的平面角的正弦值.
17. (15 分) 椭圆 经过双曲线 的顶点,直线 过点 ,当 与 的渐近线平行时, 恰为 的切线.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 与 相交,交点分别为 ,在 轴上是否存在定点 ,满足直线 和 斜率之和为定值 若存在,求点 的坐标和该定值; 若不存在,请说明理由.
18. (17分) 袋中共有 6 个球，其中有 4 个白球，2 个黑球，这些球除颜色外完全相同. 从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球. 则该照球不再放回，并且另补一个白球放入袋中。重复上述过程 次后，袋中白球的个数记作 ， 的数学期望记为 .
(1)求随机变量 的分布列；
(2) 设 .
(i) 用含 的式子表示 ;
(ii) 证明 是等比数列,并求 .
19. (17分)已知函数 .
(1)若 ，求 的最大值；
(2)已知 ， 为 的两个零点.
(i) 证明: :
(ii) 证明: .
教学质量调研(数学)参考答案与评分标准
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.
1. 已知复数 ,则
A. 2 B. -2 C. D. -2i
【答案】C
因为 ,所以 ,所以 .
2. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
【答案】A
3. 已知圆 与直线 相切，则 的值为
A. -6 或 2 B. 6 或 -2 C. 2 D. 6
【答案】D
圆方程化为 ,根据题意有 ,解得 .
4. 圆锥的底面半径与球的半径相等, 且它们的表面积也相等, 则圆锥与球的体积之比为
A. 1:3 B. 1:2 C. D.
【答案】D
,
,
.
5. 若对任意的 都成立，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
若 ,当 时, ,不符合题设条件;
若 在 单调递减,
根据题意，只需 即 ，
所以 ,所以 ,
故 .
6. 已知函数 是最小正周期为 的为偶函数，则 的值为
A. -1 B. 0
C. D. 1
【答案】A
为偶函数 ,
即 ,
所以 ,又 ,所以 ,
则 ,
所以 ,所以 .
7. 为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示.
分档 户年用水量 综合用水单价/(元 )
第一阶梯 0~240(含) 3.0
第二阶梯 240~330(含) 4.5
第三阶梯 330 以上 5.5
假设该市某户 2025 年缴纳水费 855 元, 则该户 2025 年用水量为
A. 190 吨 B. 217 吨 C. 270 吨 D. 285 吨
【答案】C
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
即
当 时, ,而 ,
所以解 得 .
8. 已知四面体 中, ,设直线 与平面 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
由题设可知 为等边三角形, 中 ,
,
设点 到平面 的距离为 ,
则当平面 平面 时, 取最大值 即 ,
所以, ,则 ,则 ,
所以 ;
,所以 ,所以 ;
,
而, ,所以 .
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对 的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在独立性检验中,显著水平 以及对应的分位数 如下:
0.1 0.01
2.706 6.635
某社团就喜欢长跑与学生性别的关系进行了一个随机调查,根据男女生人数以及男女生是否喜欢长跑的人数，计算得 ，则
A. 有 99% 的把握认为喜欢长跑与性别有关
B. “喜欢长跑”与“是女生”独立的概率不小于 99%
C. 在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，可以认为是否喜欢长跑与性别无关
D. 在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，可以认为 “喜欢长跑”与 “是女生” 不独立
【答案】AD
假设“喜欢长跑”与“是女生”独立，则我们就观察到了一个概率不超过 的事件；这也可以说成，在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为 “喜欢长跑” 与 “是女生” 不独立(也称为是否喜欢长跑与性别有关)；或说有 99%的把握认为是否喜欢长跑与性别有关.
10. 已知 的内角 的对边分别为 ，则能判定 一定是等腰三角形的为
A. B.
C. D.
【答案】
;
;
,
所以即 ,可得 ,
所以 或 即 ;
,
所以只能 成立,当且仅当 .
11. 已知数列 的前 项和为 ,则
A. B.
C. D.
【答案】ACD
,所以 ,
时, ,所以 ,
令 ,得 ;
时, ,所以 也满足,
所以 ,所以 ;
时, ,
所以 ;
则
.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知集合 ,从 的非空子集中随机选一个集合,设事件 表示 "抽到的集合中所有元素之和为偶数 ”,则 _____.
【答案】
.
13. 已知 的面积为 ， ， ，则 _____.
【答案】
设角 所对的边分别为 ,
因为 ，所以 ，
即 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 即 .
14. 已知 和 分别为双曲线 的左顶点和左焦点, 两点在 上, ,若 ，则 _____.
【答案】
即 ,
,所以 在 的左支上,设 ,
因为 ,且根据题设条件知 ,
所以 ,
由双曲线的对称性可知 两点关于 轴对称,
所以 .
四、解答题:本题共5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知函数 最小值为 -1 .
(1)求 在 上的减区间；
( 2 )求 在 上的所有零点之和.
,所以 ,
所以 , (2 分)
解 得 ,
所以 的单调递减区间为 ,
又当 时, ,
所以 在 上的减区间为 . (6 分)
(2) ,得 ,
所以 或 ,
即 或 , (9 分)
则 在 上的两个零点之和为 ,
所以, 在 上的所有零点之和为
(13 分)
16. (15 分) 在 中, 为 的中点,如图,沿 将 翻折至 位置,使平面 平面 .
(1)求三棱锥 的体积;
(2)求二面角 的平面角的正弦值.
(1)设 为 中点，因为 是以 为直角顶点的等腰直角三角形， ，
所以 且 ,
又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,即三棱锥 的高为 , (4 分)
所以 . (6 分)
(2)如图，以 为原点，分别以 ， 方向为 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 , .
的方向向量 的方向向量 的方向向量 (8 分) 设平面平面 的法向量 ,
则 令 ,得 , (10 分)
设平面平面 的法向量 ,
则 令 ,得 , (12分)
设二面角 的平面角大小为 ,
则 , (14 分)
所以 . (15 分)
17. (15分)椭圆 经过双曲线 的顶点，直线 过点 ，当 与 的渐近线平行时， 恰为 的切线.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 与 相交,交点分别为 ，在 轴上是否存在定点 ，满足直线 和 斜率之和为定值？ 若存在,求点 的坐标和该定值; 若不存在,请说明理由.
的顶点为 ,所以设椭圆 的方程为 ,
(1)设直线 的方程为 ，
由 得 ①
(3 分)
当 与 的渐近线平行即 时, ,得 ,
所以,椭圆 的标准方程为 . (6 分)
(2)假设存在定点 满足 ，
设 ,
将 代入 ① 式，得 ，
则 ②， ③ (8 分)
(10 分)
将②③代入整理，得
(13 分)
所以 恒成立,所以
解得 ,
所以存在定点 ,满足直线 和 斜率之和为定值 0 . (15 分)
18. (17分) 袋中共有 6 个球, 其中有 4 个白球, 2 个黑球, 这些球除颜色外完全相同. 从袋中随机取出一球, 如果取出白球, 则把它放回袋中; 如果取出黑球, 则该黑球不再放回, 并且另补一个白球放入袋中. 重复上述过程 次后,袋中白球的个数记作 的数学期望记为 .
(1)求随机变量 ， 的分布列；
(2) 设 .
(i) 用含 的式子表示 ;
(ii) 证明 是等比数列,并求 .
即一次摸球摸到白球, ,
即一次摸球摸到黑球, ,
所以 的分布列为
4 5
(2 分)
即二次摸球均摸到白球,
即二次摸球恰好摸到一白一黑球,
即二次摸球均摸到黑球,
所以 的分布列为
4 5 6
有
(5 分)
(2)(i)设第 次摸球摸到黑球为事件 ，
则 , (7 分)
, (9 分)
, (11 分)
所以 . (12 分)
(ii) 由 (i) 及 得
(15 分)
所以 ,又 ,
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列, (16 分)
所以 ,即 (17 分)
19. (17分) 已知函数 .
(1)若 ，求 的最大值；
(2)已知 ， 为 的两个零点.
(i) 证明: ;
(ii) 证明: .
(1) 若 ,则 ,
设 , (2 分)
则 ,当 时, 时, ,
所以 在 单调递增,在 单调递减,所以 , (3 分) 因为 ,
所以 ,当且仅当 时等号成立,即 最大值为 0 . (4 分)
(2)设 ，则 为 的 2 个零点.
若 在 单调递增, 至多有 1 个零点,不符合题设条件; (5 分) 若 ,由 得 ,且 在 单调递减,
所以,当 时, ; 当 时, ,
所以 即 在 单调递增,在 单调递减,
因为 是 的两个零点,
所以 ,得 , (7 分)
此时, , (8 分)
因为 ,且 , (9 分)
所以 ,故 . (10 分)
(3) 得 ，
所以
(12 分)
(14 分)
要证 ,因为 ,
所以只要证明 ,
设 ,则 ,即 ,即 ,
所以 ,则 ,
所以
则只需证明 ,等价于 ,
设 ,
则 ,
所以 在 单调递增,
故 时, ,命题得证. (17 分)
考试时间:120 分钟满分:150 分
一、选择题; 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1. 已知复数 ,则
A. 2 B. -2 C. D.
2. 已知集合 ，则
A. B.
C. D.
3. 已知圆 与直线 相切,则 的值为
A. -6 或 2 B. 6 或 -2 C. 2 D. 6
4. 圆锥的底面半径与球的半径相等, 且它们的表面积也相等, 则圆锥与球的体积之比为
A. 1:3 B. 1:2 C. D.
5. 若对任意的 都成立,则 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 已知函数 是最小正周期为 的为偶函数. 则 的值为
A. -1 B. 0
C. D. 1
7. 为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示.
分档 户年用水量 综合用水单价/(元 )
第一阶梯 0~240 (含) 3.0
第二阶梯 240~330(含) 4.5
第三阶梯 330 以上 5.5
假设该市某户 2025 年缴纳水费 855 元，则该户 2025 年用水量为
A. 190 吨 B. 217 吨 C. 270吨 D. 285 吨
8. 已知四面体 中: ,设直线 与平面 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则
A. D. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在独立性检验中,显著水平 以及对应的分位数 如下:
0.1 0.01
2.706 6.635
某社团就喜欢长跑与学生性别的关系进行了一个随机调查, 根据男女生人数以及男女生是否喜欢长跑的人数，计算得 ，则
A. 有 99% 的把握认为喜欢长跑与性别有关
B. “喜欢长跑”与“是女生”独立的概率不小于 99%
C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为是否喜欢长跑与性别无关
D. 在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，可以认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立
10. 已知 的内角 的对边分别为 ,则能判定 一定是等腰三角形的为
A. B.
C. D.
11. 已知数列 的前 项和为 ,则
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题5分,共 15 分.
12. 已知集合 ,从 的非空子集中随机选一个集合,设事件 表示 地面到的集合中所有元素之和为偶数 ,则 _____.
13. 已知 的面积为 ，则 _____.
14. 已知 和 分别为双曲线 的左顶点和左焦点， ， 两点在 上， ， 若 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知函数 最小值为 -1 .
(1)求 在 上的减区间；
(2)求 在 上的所有零点之和。
16. (15分)在 中， ， 为 的中点，如图，沿 将 翻折至 位置，使平面 平面 .
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求二面角 的平面角的正弦值.
17. (15 分) 椭圆 经过双曲线 的顶点,直线 过点 ,当 与 的渐近线平行时, 恰为 的切线.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 与 相交,交点分别为 ,在 轴上是否存在定点 ,满足直线 和 斜率之和为定值 若存在,求点 的坐标和该定值; 若不存在,请说明理由.
18. (17分) 袋中共有 6 个球，其中有 4 个白球，2 个黑球，这些球除颜色外完全相同. 从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球. 则该照球不再放回，并且另补一个白球放入袋中。重复上述过程 次后，袋中白球的个数记作 ， 的数学期望记为 .
(1)求随机变量 的分布列；
(2) 设 .
(i) 用含 的式子表示 ;
(ii) 证明 是等比数列,并求 .
19. (17分)已知函数 .
(1)若 ，求 的最大值；
(2)已知 ， 为 的两个零点.
(i) 证明: :
(ii) 证明: .
教学质量调研(数学)参考答案与评分标准
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.
1. 已知复数 ,则
A. 2 B. -2 C. D. -2i
【答案】C
因为 ,所以 ,所以 .
2. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
【答案】A
3. 已知圆 与直线 相切，则 的值为
A. -6 或 2 B. 6 或 -2 C. 2 D. 6
【答案】D
圆方程化为 ,根据题意有 ,解得 .
4. 圆锥的底面半径与球的半径相等, 且它们的表面积也相等, 则圆锥与球的体积之比为
A. 1:3 B. 1:2 C. D.
【答案】D
,
,
.
5. 若对任意的 都成立，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
若 ,当 时, ,不符合题设条件;
若 在 单调递减,
根据题意，只需 即 ，
所以 ,所以 ,
故 .
6. 已知函数 是最小正周期为 的为偶函数，则 的值为
A. -1 B. 0
C. D. 1
【答案】A
为偶函数 ,
即 ,
所以 ,又 ,所以 ,
则 ,
所以 ,所以 .
7. 为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示.
分档 户年用水量 综合用水单价/(元 )
第一阶梯 0~240(含) 3.0
第二阶梯 240~330(含) 4.5
第三阶梯 330 以上 5.5
假设该市某户 2025 年缴纳水费 855 元, 则该户 2025 年用水量为
A. 190 吨 B. 217 吨 C. 270 吨 D. 285 吨
【答案】C
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
即
当 时, ,而 ,
所以解 得 .
8. 已知四面体 中, ,设直线 与平面 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
由题设可知 为等边三角形, 中 ,
,
设点 到平面 的距离为 ,
则当平面 平面 时, 取最大值 即 ,
所以, ,则 ,则 ,
所以 ;
,所以 ,所以 ;
,
而, ,所以 .
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对 的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在独立性检验中,显著水平 以及对应的分位数 如下:
0.1 0.01
2.706 6.635
某社团就喜欢长跑与学生性别的关系进行了一个随机调查,根据男女生人数以及男女生是否喜欢长跑的人数，计算得 ，则
A. 有 99% 的把握认为喜欢长跑与性别有关
B. “喜欢长跑”与“是女生”独立的概率不小于 99%
C. 在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，可以认为是否喜欢长跑与性别无关
D. 在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，可以认为 “喜欢长跑”与 “是女生” 不独立
【答案】AD
假设“喜欢长跑”与“是女生”独立，则我们就观察到了一个概率不超过 的事件；这也可以说成，在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为 “喜欢长跑” 与 “是女生” 不独立(也称为是否喜欢长跑与性别有关)；或说有 99%的把握认为是否喜欢长跑与性别有关.
10. 已知 的内角 的对边分别为 ，则能判定 一定是等腰三角形的为
A. B.
C. D.
【答案】
;
;
,
所以即 ,可得 ,
所以 或 即 ;
,
所以只能 成立,当且仅当 .
11. 已知数列 的前 项和为 ,则
A. B.
C. D.
【答案】ACD
,所以 ,
时, ,所以 ,
令 ,得 ;
时, ,所以 也满足,
所以 ,所以 ;
时, ,
所以 ;
则
.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知集合 ,从 的非空子集中随机选一个集合,设事件 表示 "抽到的集合中所有元素之和为偶数 ”,则 _____.
【答案】
.
13. 已知 的面积为 ， ， ，则 _____.
【答案】
设角 所对的边分别为 ,
因为 ，所以 ，
即 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 即 .
14. 已知 和 分别为双曲线 的左顶点和左焦点, 两点在 上, ,若 ，则 _____.
【答案】
即 ,
,所以 在 的左支上,设 ,
因为 ,且根据题设条件知 ,
所以 ,
由双曲线的对称性可知 两点关于 轴对称,
所以 .
四、解答题:本题共5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知函数 最小值为 -1 .
(1)求 在 上的减区间；
( 2 )求 在 上的所有零点之和.
,所以 ,
所以 , (2 分)
解 得 ,
所以 的单调递减区间为 ,
又当 时, ,
所以 在 上的减区间为 . (6 分)
(2) ,得 ,
所以 或 ,
即 或 , (9 分)
则 在 上的两个零点之和为 ,
所以, 在 上的所有零点之和为
(13 分)
16. (15 分) 在 中, 为 的中点,如图,沿 将 翻折至 位置,使平面 平面 .
(1)求三棱锥 的体积;
(2)求二面角 的平面角的正弦值.
(1)设 为 中点，因为 是以 为直角顶点的等腰直角三角形， ，
所以 且 ,
又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,即三棱锥 的高为 , (4 分)
所以 . (6 分)
(2)如图，以 为原点，分别以 ， 方向为 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 , .
的方向向量 的方向向量 的方向向量 (8 分) 设平面平面 的法向量 ,
则 令 ,得 , (10 分)
设平面平面 的法向量 ,
则 令 ,得 , (12分)
设二面角 的平面角大小为 ,
则 , (14 分)
所以 . (15 分)
17. (15分)椭圆 经过双曲线 的顶点，直线 过点 ，当 与 的渐近线平行时， 恰为 的切线.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 与 相交,交点分别为 ，在 轴上是否存在定点 ，满足直线 和 斜率之和为定值？ 若存在,求点 的坐标和该定值; 若不存在,请说明理由.
的顶点为 ,所以设椭圆 的方程为 ,
(1)设直线 的方程为 ，
由 得 ①
(3 分)
当 与 的渐近线平行即 时, ,得 ,
所以,椭圆 的标准方程为 . (6 分)
(2)假设存在定点 满足 ，
设 ,
将 代入 ① 式，得 ，
则 ②， ③ (8 分)
(10 分)
将②③代入整理，得
(13 分)
所以 恒成立,所以
解得 ,
所以存在定点 ,满足直线 和 斜率之和为定值 0 . (15 分)
18. (17分) 袋中共有 6 个球, 其中有 4 个白球, 2 个黑球, 这些球除颜色外完全相同. 从袋中随机取出一球, 如果取出白球, 则把它放回袋中; 如果取出黑球, 则该黑球不再放回, 并且另补一个白球放入袋中. 重复上述过程 次后,袋中白球的个数记作 的数学期望记为 .
(1)求随机变量 ， 的分布列；
(2) 设 .
(i) 用含 的式子表示 ;
(ii) 证明 是等比数列,并求 .
即一次摸球摸到白球, ,
即一次摸球摸到黑球, ,
所以 的分布列为
4 5
(2 分)
即二次摸球均摸到白球,
即二次摸球恰好摸到一白一黑球,
即二次摸球均摸到黑球,
所以 的分布列为
4 5 6
有
(5 分)
(2)(i)设第 次摸球摸到黑球为事件 ，
则 , (7 分)
, (9 分)
, (11 分)
所以 . (12 分)
(ii) 由 (i) 及 得
(15 分)
所以 ,又 ,
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列, (16 分)
所以 ,即 (17 分)
19. (17分) 已知函数 .
(1)若 ，求 的最大值；
(2)已知 ， 为 的两个零点.
(i) 证明: ;
(ii) 证明: .
(1) 若 ,则 ,
设 , (2 分)
则 ,当 时, 时, ,
所以 在 单调递增,在 单调递减,所以 , (3 分) 因为 ,
所以 ,当且仅当 时等号成立,即 最大值为 0 . (4 分)
(2)设 ，则 为 的 2 个零点.
若 在 单调递增, 至多有 1 个零点,不符合题设条件; (5 分) 若 ,由 得 ,且 在 单调递减,
所以,当 时, ; 当 时, ,
所以 即 在 单调递增,在 单调递减,
因为 是 的两个零点,
所以 ,得 , (7 分)
此时, , (8 分)
因为 ,且 , (9 分)
所以 ,故 . (10 分)
(3) 得 ，
所以
(12 分)
(14 分)
要证 ,因为 ,
所以只要证明 ,
设 ,则 ,即 ,即 ,
所以 ,则 ,
所以
则只需证明 ,等价于 ,
设 ,
则 ,
所以 在 单调递增,
故 时, ,命题得证. (17 分)
同课章节目录