2025-2026学年下学期陕西九师联盟高三数学3月第7次质检试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期陕西九师联盟高三数学3月第7次质检试卷(含解析) |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-11 00:00:00 | ||
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文档简介
高三数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:高考范围.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。
1. 若复数 ，则
A. B. C. 5 D.
2. 已知点 ,且 ,则点 的坐标为
A. B. C. D.
3. 已知集合 ，则
A. B.
C. D.
4. 若 ,则
A. B. C. D.
5. 已知圆台的上、下底面半径分别为 ,半径为 2 的球与圆台的上、下底面及母线均相切,圆台的侧面积为 ,则圆台的表面积为
A. B. C. D.
6. 某款新能源汽车 2025 年的产量为 5000 辆，从 2026 年开始每年不断扩大生产规模，计划到 2030 年此款汽车年产量达到 10000 辆，那么 2025 ~2030 年的年平均增长率大约为
A. 115% B. 15% C. 30% D. 60%
7. 在 中, 为边 上一点,且 平分 ,则
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若 ,使得 成立, 则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知圆 与圆 ,则下列说法正确的有
A. 若 ,则两圆外离
B. 若两圆相交,则
C. 若 ,则两圆的公共弦所在直线方程为
D. 若 ,则直线 为两圆的公切线
10. 如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， 平面 ， ，
分别是 的中点，则
A. 平面
B. 平面
C. 平面 平面
D. 平面 MAD 上平面 MCD
11. 已知定义域为 的奇函数 满足 ,使得 为函数 的导函数且 的定义域为 ,则下列结论正确的有
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知随机变量 ,且 ,那么
13. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 上一点,且 , ,则 的离心率为_____.
14. 若 对 恒成立，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
BMI 指数是体重指数，当 18.5≤BMI≤23.9 时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的 BMI 数据进行统计，得到如下 列联表:
BMI数据 合计
正常范围 不正常范围
勇願客 75 15 90
女願客 30 20 50
合计 105 35 140
(1)依据小概率值 的独立性检验,能否推断出男、女顾客的BMI是否存在差异？
(2)该机构统计出上述男顾客平均体重为70 ，女顾客的平均体重为56 ，试估计该机构全体顾客的平均体重.
公式: ,其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16. (本小题满分 15 分)
已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在正四棱柱 中， .
(1)求点 到直线 的距离；
(2)求二面角 的正弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知 ,动点 满足 ,设 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设直线 与曲线 有两个交点 ，求 的取值范围；
(3)设直线 与曲线 交于 两点,求证: 为定值.
19. (本小题满分 17 分)
设函数 .
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围；
(3)当 时,若 满足 ,求证: .
高三数学参考答案、提示及评分细则
1. ,所以 . 故选 D.
2. D ，所以点 的坐标为 . 故选 D.
3. ,所以 ,或 . 故选 A.
4. D 因为 ,所以 ,所以 . 故选 D.
5. C 圆台的轴截面如图所示,母线长 ,又 ,所以 ,解得 ,又 ,所以 ,所以 ,圆台的表面积为 . 故选 C.
6. B 设 年的年平均增长率为 ,由题意知 ,所以 ,两边取对数,得 ,将 代入,得 , . 故选 B.
7. A 由余弦定理，得 ，又 ，所以 ，由三角形面积公式，得 ，即 ，解得 . 故选 A.
8. ,使得 等价于 ,当 时, 在 上单调递增, ; 当 时, ; 当 时, 在 上单调递减, ,当 时, ,所以 在 上单调递增, ,由 ,得当 时,8 a-1 ,所以 ; 当 时, ; 当 时, ,所以 . 综上所述, ,即实数 的取值范围是 . 故选 B.
9. BD 由圆 ,得圆心 ,半径 ,由圆 ,得圆心 ,半径 . 对于 ,若 ,两圆外切,故 错误; 对于 ,由两圆相交,得 ,即 ,解得 ,故 正确; 对于 ,若 ,则 ,所以两圆的公共弦所在直线方程为 ,故 错误; 对于 ,若 ,则 到直线 的距离 , 到直线 的距离 ,所以直线 为两圆的公切线,故 D 正确. 故选 BD.
10. ACD 因为 分别是 的中点,所以 ,又 平面 平面 ,所以 平面 , 故 A 正确；因为四边形 为矩形，不一定是菱形，所以 不一定成立，所以 平面 不一定成立， 故 B 错误; 因为 分别是 的中点,所以 又 ,所以 又 平面 平面 ，所以 平面 ，又 ， ， 平面 ，所以平面 平面 ，故 C 正确；因为四边形 为矩形,所以 ,因为 平面 平面 ,所以 ,又 C平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 ,故 D 正确. 故选 ACD.
11. ,令 ,得 ,而 是定义域为 的奇函数, ,所以 ,故 正确; 若 ,又 , 所以 为偶函数,又已知 是定义域为 的奇函数,所以对 ,与 ,使得 矛盾,故 错误; ,两边求导数,得 ,即 ,故 正确; 因为 是定义域为 的奇函数 ,又 ,在 中令 ,得 ,故 D 正确. 故选 ACD.
12.0.3 由 ,得 .
13. 因为 ，所以 ，由椭圆定义，得 ，设 的焦距为 ，由勾股定理，得 ,又 ,所以 ,所以 .
14. 因为 ,所以 ,当 时, ,已知 ,所以 ; 当 时, ,所以 0,所以当 即 时, ①,当 时, ,所以 为 ,所以当 即 时, ②. 联立①②,得 ,所以 .
15. 解:(1)零假设 ；男、女顾客的 BMI 没有差异， 2 分
根据列联表中的数据计算,得 , 6 分
根据小概率值 的独立性检验,可以推断 不成立,即可以认为男、女顾客的 BMI 存在差异. 8 分
(2)因为男、女顾客的平均体重分别为 、 ，
所以可以估计该机构全体顾客的平均体重为: . 13 分
16. 解:(1)设 的公差为 ，由 ，得 ，所以 ， 4 分由 ,得 ,即 ,
所以 . 6 分
(2)由(1)得 . 8 分
两式相减,得 , 10 分 12 分所以 . 15 分
17. 解: (1) 以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , 2 分由 ,得 , 4 分又 ,所以 到直线 的距离为
. 6 分
(2) ，
设平面 的法向量为 ,则 即
令 ,则 ,所以平面 的一个法向量为 . 9 分
设平面 的法向量为 ,则 即
令 ,则 ,所以平面 的一个法向量为 , 12 分设二面角 的平面角为 ,
则 ,
又 ,所以 ,即二面角 的正弦值为 . 15 分
18.(1)解:由双曲线的定义得 的轨迹是双曲线的右支,其中 ， 为焦点,半焦距 ，实轴长 ，虚半轴长 . 2 分
所以曲线 的方程为 . 4 分
(答案写成 也给满分,写成 扣 1 分)
( 2 )解:联立直线 和曲线 的方程，得 消去 ，得 ，
由题意知上式有两个不同的正根 , 6 分
所以 解得 ,
所以 的取值范围是 . 9 分
(3)证明:设 ， ，其中 . 联立方程组
得 , 10 分
显然 ,且 , 12 分
, 13 分
同理得 , 14 分
所以 ,
所以 为定值. 17 分
19.(1)解:由 ，得 ， 1 分
,则 , 2 分
所以 的图象在 处的切线方程为 ,即 . 4 分
(2)解:由 ,得 ,
因为 在 上单调递增,所以 . 5 分若 ,则 在 上恒成立,所以 在 上单调递增,
又 ,所以 在 上恒成立. 7 分
若 ,令 ,得 ,或 ,且 ,
当 时, 单调递减,
所以 ,与 在 上恒成立矛盾. 8 分
综上所述, 的取值范围是 . 9 分
(3)证明:当 时， ， ， ，所以 在 上单调递增，
又 ,所以 时, 时, . 11 分若 ,则 ,不合题意;
若 ,则 ,不合题意,所以 . 12 分
设 ,
则 ,
所以 在 上单调递增. 13 分
因为 ,所以 . 14 分
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,即 .
又 在 上单调递增，所以 ,即 . 16 分
所以 ,即 . 17 分
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:高考范围.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。
1. 若复数 ，则
A. B. C. 5 D.
2. 已知点 ,且 ,则点 的坐标为
A. B. C. D.
3. 已知集合 ，则
A. B.
C. D.
4. 若 ,则
A. B. C. D.
5. 已知圆台的上、下底面半径分别为 ,半径为 2 的球与圆台的上、下底面及母线均相切,圆台的侧面积为 ,则圆台的表面积为
A. B. C. D.
6. 某款新能源汽车 2025 年的产量为 5000 辆，从 2026 年开始每年不断扩大生产规模，计划到 2030 年此款汽车年产量达到 10000 辆，那么 2025 ~2030 年的年平均增长率大约为
A. 115% B. 15% C. 30% D. 60%
7. 在 中, 为边 上一点,且 平分 ,则
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若 ,使得 成立, 则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知圆 与圆 ,则下列说法正确的有
A. 若 ,则两圆外离
B. 若两圆相交,则
C. 若 ,则两圆的公共弦所在直线方程为
D. 若 ,则直线 为两圆的公切线
10. 如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， 平面 ， ，
分别是 的中点，则
A. 平面
B. 平面
C. 平面 平面
D. 平面 MAD 上平面 MCD
11. 已知定义域为 的奇函数 满足 ,使得 为函数 的导函数且 的定义域为 ,则下列结论正确的有
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知随机变量 ,且 ,那么
13. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 上一点,且 , ,则 的离心率为_____.
14. 若 对 恒成立，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
BMI 指数是体重指数，当 18.5≤BMI≤23.9 时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的 BMI 数据进行统计，得到如下 列联表:
BMI数据 合计
正常范围 不正常范围
勇願客 75 15 90
女願客 30 20 50
合计 105 35 140
(1)依据小概率值 的独立性检验,能否推断出男、女顾客的BMI是否存在差异？
(2)该机构统计出上述男顾客平均体重为70 ，女顾客的平均体重为56 ，试估计该机构全体顾客的平均体重.
公式: ,其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16. (本小题满分 15 分)
已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在正四棱柱 中， .
(1)求点 到直线 的距离；
(2)求二面角 的正弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知 ,动点 满足 ,设 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设直线 与曲线 有两个交点 ，求 的取值范围；
(3)设直线 与曲线 交于 两点,求证: 为定值.
19. (本小题满分 17 分)
设函数 .
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围；
(3)当 时,若 满足 ,求证: .
高三数学参考答案、提示及评分细则
1. ,所以 . 故选 D.
2. D ，所以点 的坐标为 . 故选 D.
3. ,所以 ,或 . 故选 A.
4. D 因为 ,所以 ,所以 . 故选 D.
5. C 圆台的轴截面如图所示,母线长 ,又 ,所以 ,解得 ,又 ,所以 ,所以 ,圆台的表面积为 . 故选 C.
6. B 设 年的年平均增长率为 ,由题意知 ,所以 ,两边取对数,得 ,将 代入,得 , . 故选 B.
7. A 由余弦定理，得 ，又 ，所以 ，由三角形面积公式，得 ，即 ，解得 . 故选 A.
8. ,使得 等价于 ,当 时, 在 上单调递增, ; 当 时, ; 当 时, 在 上单调递减, ,当 时, ,所以 在 上单调递增, ,由 ,得当 时,8 a-1 ,所以 ; 当 时, ; 当 时, ,所以 . 综上所述, ,即实数 的取值范围是 . 故选 B.
9. BD 由圆 ,得圆心 ,半径 ,由圆 ,得圆心 ,半径 . 对于 ,若 ,两圆外切,故 错误; 对于 ,由两圆相交,得 ,即 ,解得 ,故 正确; 对于 ,若 ,则 ,所以两圆的公共弦所在直线方程为 ,故 错误; 对于 ,若 ,则 到直线 的距离 , 到直线 的距离 ,所以直线 为两圆的公切线,故 D 正确. 故选 BD.
10. ACD 因为 分别是 的中点,所以 ,又 平面 平面 ,所以 平面 , 故 A 正确；因为四边形 为矩形，不一定是菱形，所以 不一定成立，所以 平面 不一定成立， 故 B 错误; 因为 分别是 的中点,所以 又 ,所以 又 平面 平面 ，所以 平面 ，又 ， ， 平面 ，所以平面 平面 ，故 C 正确；因为四边形 为矩形,所以 ,因为 平面 平面 ,所以 ,又 C平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 ,故 D 正确. 故选 ACD.
11. ,令 ,得 ,而 是定义域为 的奇函数, ,所以 ,故 正确; 若 ,又 , 所以 为偶函数,又已知 是定义域为 的奇函数,所以对 ,与 ,使得 矛盾,故 错误; ,两边求导数,得 ,即 ,故 正确; 因为 是定义域为 的奇函数 ,又 ,在 中令 ,得 ,故 D 正确. 故选 ACD.
12.0.3 由 ,得 .
13. 因为 ，所以 ，由椭圆定义，得 ，设 的焦距为 ，由勾股定理，得 ,又 ,所以 ,所以 .
14. 因为 ,所以 ,当 时, ,已知 ,所以 ; 当 时, ,所以 0,所以当 即 时, ①,当 时, ,所以 为 ,所以当 即 时, ②. 联立①②,得 ,所以 .
15. 解:(1)零假设 ；男、女顾客的 BMI 没有差异， 2 分
根据列联表中的数据计算,得 , 6 分
根据小概率值 的独立性检验,可以推断 不成立,即可以认为男、女顾客的 BMI 存在差异. 8 分
(2)因为男、女顾客的平均体重分别为 、 ，
所以可以估计该机构全体顾客的平均体重为: . 13 分
16. 解:(1)设 的公差为 ，由 ，得 ，所以 ， 4 分由 ,得 ,即 ,
所以 . 6 分
(2)由(1)得 . 8 分
两式相减,得 , 10 分 12 分所以 . 15 分
17. 解: (1) 以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , 2 分由 ,得 , 4 分又 ,所以 到直线 的距离为
. 6 分
(2) ，
设平面 的法向量为 ,则 即
令 ,则 ,所以平面 的一个法向量为 . 9 分
设平面 的法向量为 ,则 即
令 ,则 ,所以平面 的一个法向量为 , 12 分设二面角 的平面角为 ,
则 ,
又 ,所以 ,即二面角 的正弦值为 . 15 分
18.(1)解:由双曲线的定义得 的轨迹是双曲线的右支,其中 ， 为焦点,半焦距 ，实轴长 ，虚半轴长 . 2 分
所以曲线 的方程为 . 4 分
(答案写成 也给满分,写成 扣 1 分)
( 2 )解:联立直线 和曲线 的方程，得 消去 ，得 ，
由题意知上式有两个不同的正根 , 6 分
所以 解得 ,
所以 的取值范围是 . 9 分
(3)证明:设 ， ，其中 . 联立方程组
得 , 10 分
显然 ,且 , 12 分
, 13 分
同理得 , 14 分
所以 ,
所以 为定值. 17 分
19.(1)解:由 ，得 ， 1 分
,则 , 2 分
所以 的图象在 处的切线方程为 ,即 . 4 分
(2)解:由 ,得 ,
因为 在 上单调递增,所以 . 5 分若 ,则 在 上恒成立,所以 在 上单调递增,
又 ,所以 在 上恒成立. 7 分
若 ,令 ,得 ,或 ,且 ,
当 时, 单调递减,
所以 ,与 在 上恒成立矛盾. 8 分
综上所述, 的取值范围是 . 9 分
(3)证明:当 时， ， ， ，所以 在 上单调递增，
又 ,所以 时, 时, . 11 分若 ,则 ,不合题意;
若 ,则 ,不合题意,所以 . 12 分
设 ,
则 ,
所以 在 上单调递增. 13 分
因为 ,所以 . 14 分
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,即 .
又 在 上单调递增，所以 ,即 . 16 分
所以 ,即 . 17 分
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