2026年河北保定高三数学3月高考一模试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 2026年河北保定高三数学3月高考一模试卷(含解析) |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 352.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-11 00:00:00 | ||
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文档简介
数学试题
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点在第一象限，且 ，则
A. 3 B. 4 C. 5 D. -4
3. 下列函数中, 定义域和值域相同的是
A. B. C. D.
4. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若点 与点 关于直线 对称， 则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
5. 下列区间中,函数 单调递增的是
A. B.
C. D.
6. 已知函数 在区间 上的值域为 ,则
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
7. 双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与 的左、右两支分别交于 两点, ,则 的离心率为
A. 2 B. 3 C. D.
8. 中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”。某校国学社团准备开展关于“礼”“乐” “射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射” 和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有
A. 408 种 B. 336 种 C. 240 种 D. 120 种
二、选择题; 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ,则 的值可能为
A. 0 B. 1 C. D. -1
10. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为 ( 为参数),其中 为蜥蜴的体温(单位:℃)，t大太阳落山后的时间(单位:min). 已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为 39℃，下列结论正确的是
A. 太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于
B. 太阳落山后的 内,蜥蜴的体温始终高于
C. 从 到 ，蜥蜴的体温下降了
D. 存在太阳落山后的 时刻，使得从 到 ，蜥蜴的体温下降
11. 已知半径为 的圆 与射线 轴正半轴均相切,半径为 的圆 与射线 轴正半轴均相切,且与圆 外切,则下列结论正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则点 的坐标为
C. 若 ,则数列 的前 项和小于
D. 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 ，若 ，则 _____▲_____.
13. 已知 的内角 的对边分别为 . 若 ,则 的面积为_____▲_____.
14. 如图，在三棱锥 中， 是棱 上的点， ， ,三棱锥 的体积是 ,则 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
脐橙营养丰富，香甜可口，深受大家喜爱. 种植脐橙有较好的经济效益，某地近 5 年的脐橙产量 (单位:万吨)如下表:
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份编号 1 2 3 4 5
脐橙产量 20 22 24 28 30
已知年份编号 和脐橙产量 线性相关.
(1)用最小二乘法求出 关于 的经验回归方程；
(2)试预测该地 2027 年的脐橙产量.
附:经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ,
16. (15 分)
已知等差数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求 的前 项和 及其最小值.
17. (15 分)
如图，在圆台 中，下底面圆 的直径 ，点 在圆 上，且 ，上底面圆 的半径 ，且平面 平面 .
(1)证明: .
(2)若圆台 的高为 2，求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
18.(17分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在原点处的切线方程;
(2)若 在 上单调递增,求 的取值范围;
(3)当 时，证明:当 时， .
19.(17 分)
平面内一动点 到直线 的距离为 ,到直线 的距离为 ,且 ,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)已知过点 且斜率不为 0 的直线 与 交于 两点，点 ，直线 分别交 轴于 两点，且 ，求 的方程；
(3)以点 为端点作 条射线分别与 交于 (射线 ， 按逆时针方向旋转),且 ,求 .
数学试题参考答案
1. .
2.B 因为 ，所以 ，解得 . 因为 在复平面内对应的点在第一象限，所以 .
3.A 函数 的定义域和值域均为 .
4. C 易知 . 由题意可得 ,解得 .
5. 的部分图象如图所示,所以 的单调递增区间是 .
6. 令函数 ,所以 为奇函数. 的图象关于点 对称,所以 .
7. ,所以 是等边三角形, . 在 中, ,即 ,化简得 ,所以 .
8.B “礼”不在第一场也不在最后一场，不同排法种数为 ,
其中“礼”不在第一场也不在最后一场，且 “射” 和 “御” 的场次相邻的不同排法种数为 .
故不同的排法共有 种.
9. 因为 ,所以 ,则 . 若 ,则 . 若 ,则 ,即 ,所以 , .
10. AC 因为太阳刚落山时,蜥蜴的体温为 ,所以 ,解得 . 因为 ,所以 ,所以太阳落山后,蜥蜴的体温始终高于 正确. 函数 在 上单调递减， ，所以太阳落山后的 内，蜥蜴的体温始终高于 ，B错误. ， ，从 到 15,蜥蜴的体温下降了 , 正确. 令 ,即 15) ,化简得 ,该方程的两个根为负数,所以不存在太阳落山后的 时刻，使得从 到 ，蜥蜴的体温下降 ，D 错误.
11. ACD 如图,过点 分别作 ,垂足分别为 ,过点 作 ,垂足为 .
设 ,易得 .
由 ,得 ,所以 是首项为 1,公比为 的等比数列,所以 ,点 的坐标为 . 由 ,得 ,所以 正确.
由 ,得 (负根舍去),则 ,所以 ,点 的坐标为 错误.
的前 项和为 正确.
,由 ,得 ,得 ,得 , 所以 正确.
12. -37 由 ，可得 ，则 .
13. 由余弦定理得 ，所以 ，解得 ,所以 .
14. 12 设 分别为棱 的中点,连接 .
在 中, . 因为 ,所以 .
在 中, ,所以 . 因为 ,所以 平面 ,所以 .
在 中, ,所以 . 因为 ,所以
平面 .
易得 ,则 .
因为 ,所以 ,解得 .
15. 解: (1) 由题意得 . 2 分因为 , 3 分 5 分所以 , 7 分 9 分故经验回归方程为 . 10 分 (2)令 ，则 . 12 分故预测该地 2027 年的脐橙产量为 35.2 万吨. 13 分
16. 解:(1)设 的公差为 .
因为 ,所以 , 2 分
整理得 ,
所以 解得 , 4 分
故 的通项公式为 . 5 分
(2) ,
7 分
9 分
. 13 分
函数 在 上单调递增,当 时, 取得最小值,最小值为 . 15 分
17. ( 1 )证明:作 ,垂足为 ,连接 . 1 分
因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 . 2 分因为 平面 ,所以 .
因为圆台的上、下底面平行,所以 圆 ,则 . 3 分
因为 平面 ,所以 ,即点 共面. 4 分
因为 平面 ,所以 ,所以四边形 为矩形, 所以 . 5 分
在 中, .
在 中, ,解得 ,所以 . 6 分
在 中, 分别为 的中点,所以 ,所以 . 7 分
(2)解:以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 , , 8 分所以 , 9 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,得 . 11 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,得 . 13 分
因为 ,所以 ,
所以平面 与平面 所成的二面角的正弦值为 . 15 分
18.(1)解:当 时， ， ， 1 分
, 2 分
所以曲线 在原点处的切线方程为 . 4 分
(2)解:(解法一) .
若 在 上单调递增,则 在 上恒成立. 5 分
① 当 时， 在 上恒成立. 6 分
令 ,则 .
当 时, 单调递减; 当 时, , 单调递增.
当 时,函数 取得最小值,最小值为 1,所以 , 7 分 ,符合题意. 8 分
② 当 时，令 ，则 .
因为 在 上单调递增, ,所以当 时, ,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增. 9 分
要使得 在 上恒成立,则 ,解得 ,结合 ,得 . 10 分
综上, 的取值范围为 . 11 分
(解法二) .
若 在 上单调递增,则 在 上恒成立. 5 分
由 ,得 . 6 分
令 ,则 , . 7 分
令 ,则 .
当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增, ,即 . 8 分
当 时, ,所以 ,即 9 分
当 时, ,所以 ,即 .
在 上单调递减,在 上单调递增, 10 分
所以 ,所以 ,即 的取值范围为 . 11 分
(3)证明:令 ，则 .
令 ,则 . 12 分
当 时, ,当 时, ,所以 在 , 0)上单调递减,在 上单调递增.
,所以 是增函数. 13 分
因为 ,所以 在 上恒成立,
即当 时, 在 上恒成立. 14 分
令 ,则 ,所以 是增函数.
因为 ,所以当 时, ,即 . 16 分
因为 ,所以 ,所以 ,
所以当 时, . 17 分
19. 解: (1) 设动点 ,则 , 2 分
所以 , 3 分
得 ,所以 的方程为 . 4 分
(2)设 . 由 得 5 分得 6 分
设 . 由 ,得 ,则 ,同理可得 7 分
则 ,得 .
9 分
故 的方程为 或 . 10 分
(3)如图，设 .
由 ,得 ,
则 11 分
设 ,则 ,结合 ,得 . 12 分
同理可得 ,
所以
. 13 分
因为
14 分
15 分
且 ,所以 ,
16 分
故 17 分
【注】在第(3)问中，求出 后,还可以这样解答:
当 时, .
当 时,如图,单位圆内接正 边形. 易知 , 均全等,则
上述式子相加得 ,
当 变化时, 不唯一,所以 . 14 分
设 ,则 . 15 分
由 ,得 . 16 分
故
. 17 分
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点在第一象限，且 ，则
A. 3 B. 4 C. 5 D. -4
3. 下列函数中, 定义域和值域相同的是
A. B. C. D.
4. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若点 与点 关于直线 对称， 则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
5. 下列区间中,函数 单调递增的是
A. B.
C. D.
6. 已知函数 在区间 上的值域为 ,则
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
7. 双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与 的左、右两支分别交于 两点, ,则 的离心率为
A. 2 B. 3 C. D.
8. 中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”。某校国学社团准备开展关于“礼”“乐” “射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射” 和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有
A. 408 种 B. 336 种 C. 240 种 D. 120 种
二、选择题; 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ,则 的值可能为
A. 0 B. 1 C. D. -1
10. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为 ( 为参数),其中 为蜥蜴的体温(单位:℃)，t大太阳落山后的时间(单位:min). 已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为 39℃，下列结论正确的是
A. 太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于
B. 太阳落山后的 内,蜥蜴的体温始终高于
C. 从 到 ，蜥蜴的体温下降了
D. 存在太阳落山后的 时刻，使得从 到 ，蜥蜴的体温下降
11. 已知半径为 的圆 与射线 轴正半轴均相切,半径为 的圆 与射线 轴正半轴均相切,且与圆 外切,则下列结论正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则点 的坐标为
C. 若 ,则数列 的前 项和小于
D. 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 ，若 ，则 _____▲_____.
13. 已知 的内角 的对边分别为 . 若 ,则 的面积为_____▲_____.
14. 如图，在三棱锥 中， 是棱 上的点， ， ,三棱锥 的体积是 ,则 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
脐橙营养丰富，香甜可口，深受大家喜爱. 种植脐橙有较好的经济效益，某地近 5 年的脐橙产量 (单位:万吨)如下表:
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份编号 1 2 3 4 5
脐橙产量 20 22 24 28 30
已知年份编号 和脐橙产量 线性相关.
(1)用最小二乘法求出 关于 的经验回归方程；
(2)试预测该地 2027 年的脐橙产量.
附:经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ,
16. (15 分)
已知等差数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求 的前 项和 及其最小值.
17. (15 分)
如图，在圆台 中，下底面圆 的直径 ，点 在圆 上，且 ，上底面圆 的半径 ，且平面 平面 .
(1)证明: .
(2)若圆台 的高为 2，求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
18.(17分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在原点处的切线方程;
(2)若 在 上单调递增,求 的取值范围;
(3)当 时，证明:当 时， .
19.(17 分)
平面内一动点 到直线 的距离为 ,到直线 的距离为 ,且 ,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)已知过点 且斜率不为 0 的直线 与 交于 两点，点 ，直线 分别交 轴于 两点，且 ，求 的方程；
(3)以点 为端点作 条射线分别与 交于 (射线 ， 按逆时针方向旋转),且 ,求 .
数学试题参考答案
1. .
2.B 因为 ，所以 ，解得 . 因为 在复平面内对应的点在第一象限，所以 .
3.A 函数 的定义域和值域均为 .
4. C 易知 . 由题意可得 ,解得 .
5. 的部分图象如图所示,所以 的单调递增区间是 .
6. 令函数 ,所以 为奇函数. 的图象关于点 对称,所以 .
7. ,所以 是等边三角形, . 在 中, ,即 ,化简得 ,所以 .
8.B “礼”不在第一场也不在最后一场，不同排法种数为 ,
其中“礼”不在第一场也不在最后一场，且 “射” 和 “御” 的场次相邻的不同排法种数为 .
故不同的排法共有 种.
9. 因为 ,所以 ,则 . 若 ,则 . 若 ,则 ,即 ,所以 , .
10. AC 因为太阳刚落山时,蜥蜴的体温为 ,所以 ,解得 . 因为 ,所以 ,所以太阳落山后,蜥蜴的体温始终高于 正确. 函数 在 上单调递减， ，所以太阳落山后的 内，蜥蜴的体温始终高于 ，B错误. ， ，从 到 15,蜥蜴的体温下降了 , 正确. 令 ,即 15) ,化简得 ,该方程的两个根为负数,所以不存在太阳落山后的 时刻，使得从 到 ，蜥蜴的体温下降 ，D 错误.
11. ACD 如图,过点 分别作 ,垂足分别为 ,过点 作 ,垂足为 .
设 ,易得 .
由 ,得 ,所以 是首项为 1,公比为 的等比数列,所以 ,点 的坐标为 . 由 ,得 ,所以 正确.
由 ,得 (负根舍去),则 ,所以 ,点 的坐标为 错误.
的前 项和为 正确.
,由 ,得 ,得 ,得 , 所以 正确.
12. -37 由 ，可得 ，则 .
13. 由余弦定理得 ，所以 ，解得 ,所以 .
14. 12 设 分别为棱 的中点,连接 .
在 中, . 因为 ,所以 .
在 中, ,所以 . 因为 ,所以 平面 ,所以 .
在 中, ,所以 . 因为 ,所以
平面 .
易得 ,则 .
因为 ,所以 ,解得 .
15. 解: (1) 由题意得 . 2 分因为 , 3 分 5 分所以 , 7 分 9 分故经验回归方程为 . 10 分 (2)令 ，则 . 12 分故预测该地 2027 年的脐橙产量为 35.2 万吨. 13 分
16. 解:(1)设 的公差为 .
因为 ,所以 , 2 分
整理得 ,
所以 解得 , 4 分
故 的通项公式为 . 5 分
(2) ,
7 分
9 分
. 13 分
函数 在 上单调递增,当 时, 取得最小值,最小值为 . 15 分
17. ( 1 )证明:作 ,垂足为 ,连接 . 1 分
因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 . 2 分因为 平面 ,所以 .
因为圆台的上、下底面平行,所以 圆 ,则 . 3 分
因为 平面 ,所以 ,即点 共面. 4 分
因为 平面 ,所以 ,所以四边形 为矩形, 所以 . 5 分
在 中, .
在 中, ,解得 ,所以 . 6 分
在 中, 分别为 的中点,所以 ,所以 . 7 分
(2)解:以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 , , 8 分所以 , 9 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,得 . 11 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,得 . 13 分
因为 ,所以 ,
所以平面 与平面 所成的二面角的正弦值为 . 15 分
18.(1)解:当 时， ， ， 1 分
, 2 分
所以曲线 在原点处的切线方程为 . 4 分
(2)解:(解法一) .
若 在 上单调递增,则 在 上恒成立. 5 分
① 当 时， 在 上恒成立. 6 分
令 ,则 .
当 时, 单调递减; 当 时, , 单调递增.
当 时,函数 取得最小值,最小值为 1,所以 , 7 分 ,符合题意. 8 分
② 当 时，令 ，则 .
因为 在 上单调递增, ,所以当 时, ,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增. 9 分
要使得 在 上恒成立,则 ,解得 ,结合 ,得 . 10 分
综上, 的取值范围为 . 11 分
(解法二) .
若 在 上单调递增,则 在 上恒成立. 5 分
由 ,得 . 6 分
令 ,则 , . 7 分
令 ,则 .
当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增, ,即 . 8 分
当 时, ,所以 ,即 9 分
当 时, ,所以 ,即 .
在 上单调递减,在 上单调递增, 10 分
所以 ,所以 ,即 的取值范围为 . 11 分
(3)证明:令 ，则 .
令 ,则 . 12 分
当 时, ,当 时, ,所以 在 , 0)上单调递减,在 上单调递增.
,所以 是增函数. 13 分
因为 ,所以 在 上恒成立,
即当 时, 在 上恒成立. 14 分
令 ,则 ,所以 是增函数.
因为 ,所以当 时, ,即 . 16 分
因为 ,所以 ,所以 ,
所以当 时, . 17 分
19. 解: (1) 设动点 ,则 , 2 分
所以 , 3 分
得 ,所以 的方程为 . 4 分
(2)设 . 由 得 5 分得 6 分
设 . 由 ,得 ,则 ,同理可得 7 分
则 ,得 .
9 分
故 的方程为 或 . 10 分
(3)如图，设 .
由 ,得 ,
则 11 分
设 ,则 ,结合 ,得 . 12 分
同理可得 ,
所以
. 13 分
因为
14 分
15 分
且 ,所以 ,
16 分
故 17 分
【注】在第(3)问中，求出 后,还可以这样解答:
当 时, .
当 时,如图,单位圆内接正 边形. 易知 , 均全等,则
上述式子相加得 ,
当 变化时, 不唯一,所以 . 14 分
设 ,则 . 15 分
由 ,得 . 16 分
故
. 17 分
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