2025-2026学年下学期浙江省杭州学军中学高二数学3月周末练（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期浙江省杭州学军中学高二数学3月周末练（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 172.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-11 00:00:00 | ||
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文档简介
杭州学军中学 2025 学年高二(下)数学周末练(1)
班级:_____ 姓名:_____
一、单选题
1. 设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
2. 的图象如图所示，则 的解析式可能是( ).
A. B. C. D.
3. 已知函数 为不相等的两个实数，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 甲、乙、丙 3 人去食堂用餐，每个人从 这 5 种菜中任意选用 2 种，则 菜有 2 人选用、 菜有 1 人选用的情形共有( )
A. 54 B. 81 C. 135 D. 162
5. 已知数列 满足 ,记 为数列 的前 项和,则 ( )
A. 63 B. 127 C. 255 D. 256
6. 将1,2,3,4,5,6,7,8填入如图所示的方格中,每个方格填写 1 个数字,则仅有两列数字之和为 9 的填法有( )
A. 576 种 B. 1152 种 C. 2304 种 D. 4608 种
7. 已知函数 ,若 ,则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知双曲线: ,过 的直线分别交双曲线左右两支为 关于原点 的对称点为 ,若 ，则双曲线的离心率 ()
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知直线 和圆 ，下列说法正确的有( )
A. 直线 过定点
B. 圆 上存在两个点关于 对称
C. 圆心
D. 圆 上至少存在三个点到 的距离相等
10. 设函数 ,则( )
A. 是 的极小值点
B. 当 时,
C. 当 时,
D. 当 时,
11. 为椭圆 上一点， ， 为 的左、右焦点，延长 ， 交 于 ， 两点、 在 中,记 ,若 ,则下列说法中正确的是( )
A. 面积的最大值为
B. 的离心率为
C. 若 与 的内切圆半径之比为 3: 1,则 的斜率为
D.
三、填空题
12. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为_____.
13. 现将 6 本不同的书籍分发给甲乙丙 3 人，每人至少分得 1 本，已知书籍A分发给了甲，则不同的分发方式种数是_____. (用数字作答)
14. 已知正项数列 满足 ，且 ，则 _____.
四、解答题
15. 已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在区间 上的取值范围.
16. 如图，在各棱长均相等的三棱柱 中， ，四棱锥 的体积为 .
(1)求点 到平面 的距离；
(2)若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 是递减数列，求实数 的取值范围.
18. 已知抛物线 经过点 ，过 的焦点 作斜率为 的直线 ，与 交于 ， 两点 ( 在第一象限),过点 作直线 分别与 交于另外两点 ,设直线 的斜率为 .
(1)求 的方程；
(2)证明: 为定值；
(3)过点 作两条相互垂直的直线 ， ，分别与 交于另一点 ， (点 ， 均与 ， 不重合)，若直线 与 的斜率之积为 -3，证明直线 与 相交于定点，并求出定点的坐标.
19. 已知函数 ,其中常数 .
(1)当 时， 是 图象的一条切线，求 ；
(2)当 时， ，有 ，求 的最大值；
(3) ，使得 ，且 ，请判断 与 的大小.
杭州学军中学 2025 学年高二(下)数学周末练(1)参考答案
班级:_____ 姓名:_____
一、单选题
1. 设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
2. 的图象如图所示，则 的解析式可能是( ).
A. B. C. D.
【答案】A
3. 已知函数 为不相等的两个实数,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
4. 甲、乙、丙 3 人去食堂用餐，每个人从 这 5 种菜中任意选用 2 种，则 菜有 2 人选用、 菜有 1 人选用的情形共有( )
A. 54 B. 81 C. 135 D. 162
【答案】C
①甲、乙之中有 1 人选用了 菜，有 种，比如甲用了 菜，则乙从 中任意选用 1 种，有 种，丙从 中任意选用 2 种,有 种,故共有
②丙选用了 菜，丙再从 中任意选用 1 种，有 种，甲、乙再从 中各任
意选用 1 种,有 种,故共有
由①②可知所有情形是 .
故选: C
5. 已知数列 满足 ,记 为数列 的前 项和,则 ( )
A. 63 B. 127 C. 255 D. 256
【答案】C
由 得 ,
又 ,易得 ,
两边同时取以 2 为底的对数得 ,
即 ,
又 ,
所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
则 .
故选: C.
6. 将1,2,3,4,5,6,7,8填入如图所示的方格中，每个方格填写 1 个数字，则仅有两列数字之和为 9 的填法有( )
A. 576 种 B. 1152 种 C. 2304 种 D. 4608 种
【答案】D
依题意,将1,2,3,4,5,6,7,8按照两个数字之和为 9 分成“18,27,36,45”四组,从中任取 2 组有 种方法,
再在四列方格中任选 2 列,填入这两组数字,有 种方法,每一列的两个数字的排列有 种方法; 余下 4 个数字填入方格有 种，满足同列数字和为 9 的有 种，
所以不同填法共有 种.
故选: D
7. 已知函数 ,若 ,则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
由 ,得 ,所以 在 上单调递增,
由 ,得 ,且 ,所以 在 上单调递增
因此,对任意 和 都是唯一的,
由题意: ,
,即 ,则 ,
故 ,
故 ,根据 的 是唯一的,
得 ,即 ,
故
令 ,则 ,
由 得 ,
当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增;
故当 时, 取得最小值: ,
因此 ,即: .
故选: C
8. 已知双曲线: ,过 的直线分别交双曲线左右两支为 关于原点 的对称点为 ,若 ,则双曲线的离心率 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
设 ,则 ,
记 与 轴的交点为 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,
因为 都在双曲线 上,
所以 ,
两式相减得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
故选: A.
二、多选题
9. 已知直线 和圆 ，下列说法正确的有( )
A. 直线 过定点
B. 圆 上存在两个点关于 对称
C. 圆心 到 的最大距离为 2
D. 圆 上至少存在三个点到 的距离相等
【答案】AC
10. 设函数 ,则( )
A. 是 的极小值点 B. 当 时,
C. 当 时, D. 当 时,
【答案】ACD
对 ,因为函数 的定义域为 ,而 , 易知当 时， ，当 或 时，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小值点, 正确;
对 ,当 时, ,所以 ,
而由上可知,函数 在 上单调递增,所以 ,错误;
对 ,当 时, ,而由上可知,函数 在 上单调递减,
所以 ,即 ,正确;
对 ,当 时, , 所以 ,正确;
故选: ACD.
11. 为椭圆 上一点， 为 的左、右焦点，延长 交 于 两点、 在 中,记 ,若 ,则下列说法中正确的是 ( )
A. 面积的最大值为
B. 的离心率为
C. 若 与 的内切圆半径之比为 3: 1,则 的斜率为
D.
【答案】ACD
如图,在 中,
由正弦定理, ,
则 ,即 ,
所以 ,由
所以 ,则 ,
则 最大值为 ,故 A 正确, B 错误;
由题意可得, 的斜率不为 0,设 ,联立方程
得 ,
恒成立, ,
设 与 的内切圆半径分别为 ,
因为 ,
,所以 ,即 ,
所以 ,即 ,所以 , C 正确;
作椭圆的左准线, 分别为 在左准线上的投影,
设 ,
所以 ,
则 ,
得 ,同理可得 ,
所以 ,故 D 正确,
故选: ACD.
三、填空题
12. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
13. 现将 6 本不同的书籍分发给甲乙丙 3 人，每人至少分得 1 本，已知书籍A分发给了甲，则不同的分发方式种数是_____. (用数字作答)
【答案】 180
6 本书分给甲乙丙 3 人，每人至少 1 本.
则 3 人书籍本数分为 三大类情况.
第一类 1 , 1 , 4 情况:
若甲分 1 本，已分得书籍A，则另两人一人 1 本，1 人 4 本，共有 种，
若甲分 4 本,即再取 3 本,则剩余 2 本书分给乙丙,一人一本,则共有 种,
故第一类情况共有 种;
第二类 1,2,3 情况:
若甲分 1 本，已分得书籍 ，另两人一人 2 本，1 人 3 本，共有 种，
若甲分 2 本，另两人一人 1 本，1 人 3 本，共有 种，
若甲分 3 本，另两人一人 1 本，1 人 2 本，共有 种，
故第二类情况共有 种;
第三类 2，2，2 情况:
每人都两本，故甲再取 1 本，乙丙平均分剩下 4 本，则共有 种；
所以不同的分发方式种数共 .
故答案为: 180 .
14. 已知正项数列 满足 ，且 ，则 _____.
【答案】6075
因为 为正项数列且 ,①
所以 ,②
②-①得 ，即 ，
所以 是以 为首项,3 为公差的等差数列,
令 可得 ,又 ,所以 ,解得 ,
故答案为:6075.
四、解答题
15. 已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在区间 上的取值范围.
【答案】(1)函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减
(2)
(1) ,
所以在 和 时 ,在 时 ,
所以函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
(2)由(1)可知函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以可知函数 在区间 上的最小值为 ,
函数 在区间 上的最大值在 中取到,
,则 ,
因此函数 在区间 上的最大值为 ,
综上,函数 在区间 上的取值范围为 .
16. 如图，在各棱长均相等的三棱柱 中， ，四棱锥 的体积为 .
(1)求点 到平面 的距离；
(2)若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1) 1
(2)
(1) ,四棱锥 的体积为 , 所以 ，
记点 到平面 的距离为 ,于是 .
(2)取 上一点 使得 ，
由已知平面 平面 ,而 平面 ,平面 平面 ,
故 平面 ,又 平面 ,
所以 ,于是由勾股定理得 ,
由平面几何知识知 为 中点,可知 .
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向，残 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .
于是 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,可取 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则.
17. 已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 是递减数列，求实数 的取值范围.
【答案】
(2)
(1)因为 ，所以 ，
所以 ,
将上述 个式子相加,得: ,
设 ,
则 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
当 时, ,上式也成立,
所以 ;
(2)因为 是递减数列，所以 ，
即 ,
由(1)可知, ,所以 ,
设 ,则 ,
当 时, ,即 ;
当 时, ,即 ;
所以 是数列 的最大项,即 ,
所以 ，实数 的取值范围是 .
18. 已知抛物线 经过点 ，过 的焦点 作斜率为 的直线 ，与 交于 两点(A 在第一象限),过点 作直线 分别与 交于另外两点 ,设直线 的斜率为 .
(1)求 的方程；
(2)证明: 为定值；
(3)过点 作两条相互垂直的直线 ， ，分别与 交于另一点 ， (点 ， 均与 ， 不重合)，若直线 与 的斜率之积为-3,证明直线 与 相交于定点,并求出定点的坐标.
【答案】 ; (2)证明见解析；(3)证明见解析，定点为 .
(1) 根据题意,将 代入有 ,解得 ,所以 的方程为 .
(2)由(1)可知 ，设 ，
则 ,从而直线 为 ,
即 ,将 代入,有 .
同理,直线 为 ,直线 为 ,
将 代入，有 ，又 ，
所以 ，为定值.
(3)由(2)知 ，所以 ，从而点 的坐标为 . 故 ,
由 ,解得 (负值舍去),
所以 ,易知直线 的斜率存在且不为 0,
设直线 的方程为 ,联立 ,
整理得 ,所以 ,即 .
设直线 的方程为 ,同理可得 .
直线 的方程为 ,
即
,
所以直线 过定点 .
另一方面,因为 ,所以 ,即直线 与 垂直,
同 的垂直关系求直线 所过的定点，易知直线 也过点 ，
即直线 与 相交于定点,定点坐标为 .
19. 已知函数 ,其中常数 .
(1)当 时， 是 图象的一条切线，求 ；
(2)当 时， ，有 ，求 的最大值；
(3) ,使得 ,且 ,请判断 与 的大小.
【答案】
(1)已知函数 ,当 时, ,
设切点为 ,则 ,由第二个式子 ,代入第一个式子 , 再代入 得到 ，解得
(2)当 时， ， ，
因为 ,有 ,两边取对数得 ,
整理得 ,设 ,求导 ,
令 得 (唯一极小值点),
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增;
因此 ,
代入不等式得 ,即 ,
时,不等式成立;
若 ,所以 ,不等式等价于 ,解得
当 时,
在 处,最小值 ,当 时,
因此 的最大值为e.
(3)已知 ，且 ，即 ，
两式相乘 ,两式相除 ,
两边取自然对数 ,
设 ,得 ,故
由 ,得 ,
令 ,求导
因为 ,所以 ,即 在 上单调递增;
当 时, ,故 (但 ,故 不能等于 1 )
当 增大时, 增大, 也增大,结合 的单调性,可知
(因为 时, ),故
由 ,因为 ,所以 ,即 ,
再结合 和 的对称性,以及 ,推得
班级:_____ 姓名:_____
一、单选题
1. 设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
2. 的图象如图所示，则 的解析式可能是( ).
A. B. C. D.
3. 已知函数 为不相等的两个实数，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 甲、乙、丙 3 人去食堂用餐，每个人从 这 5 种菜中任意选用 2 种，则 菜有 2 人选用、 菜有 1 人选用的情形共有( )
A. 54 B. 81 C. 135 D. 162
5. 已知数列 满足 ,记 为数列 的前 项和,则 ( )
A. 63 B. 127 C. 255 D. 256
6. 将1,2,3,4,5,6,7,8填入如图所示的方格中,每个方格填写 1 个数字,则仅有两列数字之和为 9 的填法有( )
A. 576 种 B. 1152 种 C. 2304 种 D. 4608 种
7. 已知函数 ,若 ,则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知双曲线: ,过 的直线分别交双曲线左右两支为 关于原点 的对称点为 ,若 ，则双曲线的离心率 ()
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知直线 和圆 ，下列说法正确的有( )
A. 直线 过定点
B. 圆 上存在两个点关于 对称
C. 圆心
D. 圆 上至少存在三个点到 的距离相等
10. 设函数 ,则( )
A. 是 的极小值点
B. 当 时,
C. 当 时,
D. 当 时,
11. 为椭圆 上一点， ， 为 的左、右焦点，延长 ， 交 于 ， 两点、 在 中,记 ,若 ,则下列说法中正确的是( )
A. 面积的最大值为
B. 的离心率为
C. 若 与 的内切圆半径之比为 3: 1,则 的斜率为
D.
三、填空题
12. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为_____.
13. 现将 6 本不同的书籍分发给甲乙丙 3 人，每人至少分得 1 本，已知书籍A分发给了甲，则不同的分发方式种数是_____. (用数字作答)
14. 已知正项数列 满足 ，且 ，则 _____.
四、解答题
15. 已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在区间 上的取值范围.
16. 如图，在各棱长均相等的三棱柱 中， ，四棱锥 的体积为 .
(1)求点 到平面 的距离；
(2)若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 是递减数列，求实数 的取值范围.
18. 已知抛物线 经过点 ，过 的焦点 作斜率为 的直线 ，与 交于 ， 两点 ( 在第一象限),过点 作直线 分别与 交于另外两点 ,设直线 的斜率为 .
(1)求 的方程；
(2)证明: 为定值；
(3)过点 作两条相互垂直的直线 ， ，分别与 交于另一点 ， (点 ， 均与 ， 不重合)，若直线 与 的斜率之积为 -3，证明直线 与 相交于定点，并求出定点的坐标.
19. 已知函数 ,其中常数 .
(1)当 时， 是 图象的一条切线，求 ；
(2)当 时， ，有 ，求 的最大值；
(3) ，使得 ，且 ，请判断 与 的大小.
杭州学军中学 2025 学年高二(下)数学周末练(1)参考答案
班级:_____ 姓名:_____
一、单选题
1. 设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
2. 的图象如图所示，则 的解析式可能是( ).
A. B. C. D.
【答案】A
3. 已知函数 为不相等的两个实数,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
4. 甲、乙、丙 3 人去食堂用餐，每个人从 这 5 种菜中任意选用 2 种，则 菜有 2 人选用、 菜有 1 人选用的情形共有( )
A. 54 B. 81 C. 135 D. 162
【答案】C
①甲、乙之中有 1 人选用了 菜，有 种，比如甲用了 菜，则乙从 中任意选用 1 种，有 种，丙从 中任意选用 2 种,有 种,故共有
②丙选用了 菜，丙再从 中任意选用 1 种，有 种，甲、乙再从 中各任
意选用 1 种,有 种,故共有
由①②可知所有情形是 .
故选: C
5. 已知数列 满足 ,记 为数列 的前 项和,则 ( )
A. 63 B. 127 C. 255 D. 256
【答案】C
由 得 ,
又 ,易得 ,
两边同时取以 2 为底的对数得 ,
即 ,
又 ,
所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
则 .
故选: C.
6. 将1,2,3,4,5,6,7,8填入如图所示的方格中，每个方格填写 1 个数字，则仅有两列数字之和为 9 的填法有( )
A. 576 种 B. 1152 种 C. 2304 种 D. 4608 种
【答案】D
依题意,将1,2,3,4,5,6,7,8按照两个数字之和为 9 分成“18,27,36,45”四组,从中任取 2 组有 种方法,
再在四列方格中任选 2 列,填入这两组数字,有 种方法,每一列的两个数字的排列有 种方法; 余下 4 个数字填入方格有 种，满足同列数字和为 9 的有 种，
所以不同填法共有 种.
故选: D
7. 已知函数 ,若 ,则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
由 ,得 ,所以 在 上单调递增,
由 ,得 ,且 ,所以 在 上单调递增
因此,对任意 和 都是唯一的,
由题意: ,
,即 ,则 ,
故 ,
故 ,根据 的 是唯一的,
得 ,即 ,
故
令 ,则 ,
由 得 ,
当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增;
故当 时, 取得最小值: ,
因此 ,即: .
故选: C
8. 已知双曲线: ,过 的直线分别交双曲线左右两支为 关于原点 的对称点为 ,若 ,则双曲线的离心率 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
设 ,则 ,
记 与 轴的交点为 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,
因为 都在双曲线 上,
所以 ,
两式相减得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
故选: A.
二、多选题
9. 已知直线 和圆 ，下列说法正确的有( )
A. 直线 过定点
B. 圆 上存在两个点关于 对称
C. 圆心 到 的最大距离为 2
D. 圆 上至少存在三个点到 的距离相等
【答案】AC
10. 设函数 ,则( )
A. 是 的极小值点 B. 当 时,
C. 当 时, D. 当 时,
【答案】ACD
对 ,因为函数 的定义域为 ,而 , 易知当 时， ，当 或 时，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小值点, 正确;
对 ,当 时, ,所以 ,
而由上可知,函数 在 上单调递增,所以 ,错误;
对 ,当 时, ,而由上可知,函数 在 上单调递减,
所以 ,即 ,正确;
对 ,当 时, , 所以 ,正确;
故选: ACD.
11. 为椭圆 上一点， 为 的左、右焦点，延长 交 于 两点、 在 中,记 ,若 ,则下列说法中正确的是 ( )
A. 面积的最大值为
B. 的离心率为
C. 若 与 的内切圆半径之比为 3: 1,则 的斜率为
D.
【答案】ACD
如图,在 中,
由正弦定理, ,
则 ,即 ,
所以 ,由
所以 ,则 ,
则 最大值为 ,故 A 正确, B 错误;
由题意可得, 的斜率不为 0,设 ,联立方程
得 ,
恒成立, ,
设 与 的内切圆半径分别为 ,
因为 ,
,所以 ,即 ,
所以 ,即 ,所以 , C 正确;
作椭圆的左准线, 分别为 在左准线上的投影,
设 ,
所以 ,
则 ,
得 ,同理可得 ,
所以 ,故 D 正确,
故选: ACD.
三、填空题
12. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
13. 现将 6 本不同的书籍分发给甲乙丙 3 人，每人至少分得 1 本，已知书籍A分发给了甲，则不同的分发方式种数是_____. (用数字作答)
【答案】 180
6 本书分给甲乙丙 3 人，每人至少 1 本.
则 3 人书籍本数分为 三大类情况.
第一类 1 , 1 , 4 情况:
若甲分 1 本，已分得书籍A，则另两人一人 1 本，1 人 4 本，共有 种，
若甲分 4 本,即再取 3 本,则剩余 2 本书分给乙丙,一人一本,则共有 种,
故第一类情况共有 种;
第二类 1,2,3 情况:
若甲分 1 本，已分得书籍 ，另两人一人 2 本，1 人 3 本，共有 种，
若甲分 2 本，另两人一人 1 本，1 人 3 本，共有 种，
若甲分 3 本，另两人一人 1 本，1 人 2 本，共有 种，
故第二类情况共有 种;
第三类 2，2，2 情况:
每人都两本，故甲再取 1 本，乙丙平均分剩下 4 本，则共有 种；
所以不同的分发方式种数共 .
故答案为: 180 .
14. 已知正项数列 满足 ，且 ，则 _____.
【答案】6075
因为 为正项数列且 ,①
所以 ,②
②-①得 ，即 ，
所以 是以 为首项,3 为公差的等差数列,
令 可得 ,又 ,所以 ,解得 ,
故答案为:6075.
四、解答题
15. 已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在区间 上的取值范围.
【答案】(1)函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减
(2)
(1) ,
所以在 和 时 ,在 时 ,
所以函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
(2)由(1)可知函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以可知函数 在区间 上的最小值为 ,
函数 在区间 上的最大值在 中取到,
,则 ,
因此函数 在区间 上的最大值为 ,
综上,函数 在区间 上的取值范围为 .
16. 如图，在各棱长均相等的三棱柱 中， ，四棱锥 的体积为 .
(1)求点 到平面 的距离；
(2)若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1) 1
(2)
(1) ,四棱锥 的体积为 , 所以 ，
记点 到平面 的距离为 ,于是 .
(2)取 上一点 使得 ，
由已知平面 平面 ,而 平面 ,平面 平面 ,
故 平面 ,又 平面 ,
所以 ,于是由勾股定理得 ,
由平面几何知识知 为 中点,可知 .
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向，残 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .
于是 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,可取 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则.
17. 已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 是递减数列，求实数 的取值范围.
【答案】
(2)
(1)因为 ，所以 ，
所以 ,
将上述 个式子相加,得: ,
设 ,
则 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
当 时, ,上式也成立,
所以 ;
(2)因为 是递减数列，所以 ，
即 ,
由(1)可知, ,所以 ,
设 ,则 ,
当 时, ,即 ;
当 时, ,即 ;
所以 是数列 的最大项,即 ,
所以 ，实数 的取值范围是 .
18. 已知抛物线 经过点 ，过 的焦点 作斜率为 的直线 ，与 交于 两点(A 在第一象限),过点 作直线 分别与 交于另外两点 ,设直线 的斜率为 .
(1)求 的方程；
(2)证明: 为定值；
(3)过点 作两条相互垂直的直线 ， ，分别与 交于另一点 ， (点 ， 均与 ， 不重合)，若直线 与 的斜率之积为-3,证明直线 与 相交于定点,并求出定点的坐标.
【答案】 ; (2)证明见解析；(3)证明见解析，定点为 .
(1) 根据题意,将 代入有 ,解得 ,所以 的方程为 .
(2)由(1)可知 ，设 ，
则 ,从而直线 为 ,
即 ,将 代入,有 .
同理,直线 为 ,直线 为 ,
将 代入，有 ，又 ，
所以 ，为定值.
(3)由(2)知 ，所以 ，从而点 的坐标为 . 故 ,
由 ,解得 (负值舍去),
所以 ,易知直线 的斜率存在且不为 0,
设直线 的方程为 ,联立 ,
整理得 ,所以 ,即 .
设直线 的方程为 ,同理可得 .
直线 的方程为 ,
即
,
所以直线 过定点 .
另一方面,因为 ,所以 ,即直线 与 垂直,
同 的垂直关系求直线 所过的定点，易知直线 也过点 ，
即直线 与 相交于定点,定点坐标为 .
19. 已知函数 ,其中常数 .
(1)当 时， 是 图象的一条切线，求 ；
(2)当 时， ，有 ，求 的最大值；
(3) ,使得 ,且 ,请判断 与 的大小.
【答案】
(1)已知函数 ,当 时, ,
设切点为 ,则 ,由第二个式子 ,代入第一个式子 , 再代入 得到 ，解得
(2)当 时， ， ，
因为 ,有 ,两边取对数得 ,
整理得 ,设 ,求导 ,
令 得 (唯一极小值点),
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增;
因此 ,
代入不等式得 ,即 ,
时,不等式成立;
若 ,所以 ,不等式等价于 ,解得
当 时,
在 处,最小值 ,当 时,
因此 的最大值为e.
(3)已知 ，且 ，即 ，
两式相乘 ,两式相除 ,
两边取自然对数 ,
设 ,得 ,故
由 ,得 ,
令 ,求导
因为 ,所以 ,即 在 上单调递增;
当 时, ,故 (但 ,故 不能等于 1 )
当 增大时, 增大, 也增大,结合 的单调性,可知
(因为 时, ),故
由 ,因为 ,所以 ,即 ,
再结合 和 的对称性,以及 ,推得
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