2025-2026学年天津外国语大学附属外国语学校九年级（下）开学数学试卷（含答案）

2025-2026学年天津外国语大学附属外国语学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算（-7）÷（-）×7的结果为（　　）
A. 1 B. -7 C. 7 D. 343
2.如图，数轴上表示的点在（　　）
A. C与D之间 B. A与B之间 C. A与C之间 D. B与C之间
3.关于x.y的方程组的解为，则方程组的解是（　　）
A. B. C. D.
4.书法是我国传统文化的重要组成部分，下列用小篆书写的“志存高远”四个字，其中可以看作是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
5.2025年3月1日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2800万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录.其中数据“2800万”用科学记数法表示为（　　）
A. 2800×104 B. 2800×105 C. 2.8×107 D. 2.8×108
6.的值是（　　）
A. B. C. 1 D.
7.化简-的结果是（　　）
A. B. x+2 C. D. x-2
8.已知点（-2，y1），（-1，y2），（1，y3）都在反比例函数y=的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A. y2＜y1＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y1＜y2＜y3 D. y1＜y3＜y2
9.我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”大意是：用999文钱买了甜果和苦果共1000个，9个甜果卖11文钱，7个苦果卖4文钱，问买了甜果和苦果各多少个？设买了x个甜果，y个苦果，可列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
10.如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B、C；分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP.分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D、E，作直线DE分别与AB、AP、AN相交于点F、Q、H.若AB=4，∠PQE=67.5°，则AH的长为（　　）
A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
11.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E，AC的延长线分别交BD，DE于点F，G，下列结论一定正确的是（　　）
A. BF=DF
B. ∠CBD=∠EBD
C. CB∥DE
D. AG⊥DE
12.如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面2m时，水面AB的宽度为4m.有下列结论：①当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m；
②当水面下降1m时，水面宽度为；
③当水面下降2m时，水面宽度增加了.
其中，正确的是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为______.
14.计算（-2a2b）3÷4a3b3= ．
15.计算的结果等于______．
16.如果正比例函数y=m的图象在二、四象限，那么m的值是 .
17.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=8，点E是BC的中点，点F是CD边上一点，连接AE，AF.
（Ⅰ）AE的长为 ；
（Ⅱ）若AF平分∠DAE，则DF的长为 .
18.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BC=5，D为边AB的中点，点E在边AC上，且AD=AE.
（Ⅰ）CE的长为 ；
（Ⅱ）若点F为DE的中点，点G为BC的中点，则FG的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解不等式组.
请结合题意填空，完成本题的解答.
（Ⅰ）解不等式①，得______；
（Ⅱ）解不等式②，得______；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为______.
20.(本小题8分)
某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的初中学生人数为______，图①中m的值为______；这组每天在校体育活动时间数据的众数是______和中位数是______；
（2）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数.
（3）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2700名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数.
21.(本小题10分)
已知四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC.
（1）如图①，若点D为中点，∠ADC=124°，求∠CAB和∠CAD的大小；
（2）如图②，若点C为中点，过点C作⊙O的切线与弦AD的延长线交于点E，连接DB，当AD=2，半径为3时，求EC的长.
22.(本小题10分)
如图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如图，经过测量，支架的立柱AB与地面AM垂直，AB=3.24米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角∠ACB=33°，支撑杆DE⊥BC，垂足为E，该支架的边BD与BC的夹角∠DBE=66°，又测得CE=2.8米.（参考数据：sin33°≈0.54，sin66°≈0.91，cos33°≈0.84，cos66°≈0.40，tan33°≈0.65，tan66°≈2.25）
（1）求该支架的边BC长；
（2）求支架的边BD的顶端D到地面AM的距离.（结果精确到1米）
23.(本小题10分)
已知学生宿舍、文具店、自习室依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.8km,自习室离宿舍2km.小明从宿舍出发，先匀速步行10min到文具店，在文具店购买文具停留了5min,之后匀速骑行5min到达自习室，在自习室停留50min后，匀速骑行了10min返回宿舍.下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中小明高宿舍的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
小明离开宿舍的时间/min 5 10 40 75
小明离宿舍的距离/km ______ 0.8 ______ ______
②填空：小明从自习室到宿舍的骑行速度为______km/min；
③当0≤x≤20时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）当小明离开宿舍5min时，同宿舍的小杰从文具店出发匀速步行直接前往自习室，如果小杰比小明晚5min到达自习室，那么他在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等边三角形，点A（12，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（-7，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点OB边的中点.

（I）如图①，点B的坐标为______；点D的坐标为______；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为O'，C′，D'；E”.设OO'=t,矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分的面积为S.
①如图②，当点D'在△OAB的外部，且矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为五边形时，D'C'，D'E'与OB分别相交于点F和点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.
25.(本小题10分)
已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c是常数）的顶点为P，与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C.
（I）若，A点坐标为（-1，0），对称轴为直线x=1，
①求点P的坐标；
②将直线BC沿y轴向下平移n（n＞0）个单位长度，并且与抛物线总有公共点，求n的取值范围；
（II）若，A点坐标为（m,0），对称轴为直线x=3m（m≠0），在平面内有一个动点Q，当m为何值时，的最小值是？
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】D
12.【答案】D
13.【答案】
14.【答案】-2a3
15.【答案】11
16.【答案】-2
17.【答案】5
3

18.【答案】1

19.【答案】x＞-4 x≤2 -4＜x≤2
20.【答案】40;25;1.5;1.5 1.5 该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为2430人
21.【答案】解：（1）如图，连接BD．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=124°，
∴∠CBA=180°-∠ADC=180°-124°=56°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠CBA=90°-56°=34°．
∵点D为中点，
∴，
∴∠CAD=∠CBD=28°．
综上可知∠CAB=34°，∠CAD=28°．
（2）如图，连接OC交BD于点F．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠EDF=90°，
∵CE为⊙O的切线，
∴CE⊥OC，即∠ECF=90°，
∵点C为中点，OC为过圆心的线段，
∴OC⊥BD，即∠CFD=90°，
∵∠EDF=∠ECF=∠CFD=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴CE=DF．
∵AD=2，半径为3，∠ADB=90°，
∴，
∵OC⊥BD，
∴，
∴．
22.【答案】解：（1）∵支架的立柱AB与地面AM垂直，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=33°，AB=3.24米，
∴,
∴（米），
∴该支架的边BC的长为6米；
（2）∵CE=2.8米，
∴BE=BC-CE=6-2.8=3.2（米），
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
在Rt△DEB中，∠DBE=66°，
∴,
∴（米）．
如图2，过点D作DH⊥AM于H，过点B作BG⊥DH于点G，
则四边形ABGH是矩形．
∴GH=AB=3.24米，BG∥AH，
∴∠GBC=∠ACB=33°．
∴∠DBG=∠DBE-∠GBC=33°，
在Rt△BDG中，,
∴DG=DB sin∠DBG≈8×0.54=4.32（米），
∴DH=DG+GH=3.24+4.32=7.56≈8（米），
∴支架的边BD的顶端D到地面AM的距离为8米．
23.【答案】0.4 2 1 0.2
24.【答案】（Ⅰ）（6，6），（-7，3）；
（Ⅱ）①如图2，
由（Ⅰ）知：∠BOC=30°，∠OCF=90°，
∴CF=OF=3，
∴DF=CD+CF=7+3=10，
∵DD′=t,
∴D′F=DF-DD′=10-t,
∴DG=D′F=（10-t），
∴S△FGD′===，
∵S矩形O′C′D′E′=S矩形OEDC=OE DE=7×3=21，
∴S=21=-29（7＜t≤9）；
②如图3，
当＜t＜7时，
∵OO′=t,FC′=t-3，
∴S==，
∴当t=时，S最小=12，
当7≤t≤9时，
S=-，
∴当x=9时，S最大=，
如图4，
当9＜t≤10时，设C′D′交AB于T，O′C′交AB于H，
∵CT=CF+FT=3+6=9，
∴C′T=CC′-CT=t-9，
∴C′H=C′T=，
∴S△C′HT=（t-9）2，
∵D′F=DF-DD′=10-t,
∴DG=（10-t），
∴S△FGD′=（10-t）2，
∴S=21-=-2（t-）2+，
∴当t=时，S最大=，
如图5，
当10＜t＜时，
∵S随着t的增大而减小，
∴S＜，
∴12．
25.【答案】解：（Ⅰ）①∵，对称轴为直线x=1，
∴，即，
解得：b=-1，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（-1，0），
∴，
解得：c=，
∴抛物线的解析式为=，
∴点P的坐标为（1，-2）；
②令x=0得，y=，
∴C，
令y=0得，=0，
解得：x1=3，x2=-1，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx-，
将B（3，0）代入得，，
解得：k=，
∴直线BC的解析式为，
∵将直线BC沿y轴向下平移n（n＞0）个单位长度，
∴平移后的直线解析式为y=，
∵平移后的直线与抛物线总有公共点，
∴，整理得，
∴0，
解得：n≤，
∴；
（Ⅱ）∵点A的坐标为（m,0），对称轴为直线x=3m（m≠0），
∴点B的坐标为（5m,0），
∴OA=m,OB=5m,
∵a=，
∴抛物线解析式为=，
令x=0得，y=3m,
∴C（0，3m），
∴OC=3m,
当m＞0时，如图，将△CAQ绕点C顺时针旋转90°至△CA′Q′，连接QQ′、A′B，过点A′作A′N⊥x轴于点N，过点A′作A′H⊥y轴于点H，
则四边形A′HON为矩形，
由旋转可得，CQ=CQ′，AQ=AQ′，AC=A′C，∠QCQ′=90°，
∴△QCQ′为等腰直角三角形，QQ′=CQ，
∴=A′Q′+BQ+QQ′，
∴当满足点Q′，Q落在直线A′B上时，取得最小值，
此时=A′B=，
由旋转可得，∠ACA′=90°，
∴∠A′CH+∠ACO=90°，
∵∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠A′CH=∠CAO，
∵A′H⊥y轴，
∴∠A′HC=∠COA=90°，
在△A′HC和△COA中，
，
∴△A′HC≌△COA（AAS），
∴CH=OA=m,A′H=OC=3m,
∴OH=OC-CH=2m,
∴A′N=OH=2m,ON=A′H=3m,BN=OB+ON=8m,
在Rt△A′BN中，A′N2+BN2=A′B2，
∴，
解得：，；
当m＜0时，同理可求出m=．
综上，m的值为．
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