2025-2026学年下学期湖北省武汉二中高一数学3月月考试卷（含答案）

2025-2026 学年湖北省武汉二中高一(下)月考数学试卷 (3 月份)
一、单项选择题:本大题共 8 小题，共 40 分。
1. 在平面直角坐标系 中,角 的终边经过点 ,则
A. B. C. D.
2. 若向量 ，且 三点共线，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知平面向量 ，则 在 方向上的投影向量坐标为( )
A. B. C. D.
如图,在四边形 中, ,设 ,则 等于( )
A.
B.
C.
D.
5. 计算: ( )
A. B. C. D.
6. 已知平面向量 满足 ，且 ，则 ()
A. B. C. 2 D. 1
7. 已知函数 是奇函数,将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为 . 若 的最小正周期为 ,且 ,则 ( )
A. -2 B. C. D. 2
8. 已知平面向量 ，且 已知向量 与 所成的角为 ，且 对任意实数 恒成立,则 的最小值为( )
A. B. C. D. 4
二、多项选择题:本大题共 3 小题，共 18 分。
9. 的内角 的对边分别为 ,下列四个命题中正确的是( )
A. 若 ,则 一定是锐角三角形
B. 若 ，则 一定是等边三角形
C. 若 ，则 一定是等腰三角形
D. 若 ，则 一定是等腰三角形
函数 的部分图象如图所示,将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象,则下列关于函数 的说法正确的有( )
A. 是 的一条对称轴
B. 在 上单调递增
C. 的一个对称中心为
D. 是偶函数
11. 已知点 为 所在平面内一点,满足 ,( )( )
A. 当 时,直线 过边 的中点
B. 若 时， 与 的面积之比为 2: 3
C. 若 ，且 ，则
D. 若 ，且 ，则 ， 满足
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 设向量 ，且 ，则 _____.
13. 已知 ，若 ，则 _____.
14. 已知 为 的外心，若 ，则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13 分)
的内角 的对边分别为 . 设 .
(1)求A；
(2)若 ，求 .
16. (本小题 15 分)
已知函数 .
(1)求 的定义域与最小正周期；
(2)讨论 在区间 上的单调性.
17. (本小题 15 分)
如图， 的内角 的对边分别为 是边 的中点，点 在边 上，且满足 与 交于点 .
(1)试用 ， 表示 和 ；
(2)若 ，求 .
18. (本小题 17 分)
已知向量 ,函数 .
(1)若 的最小值为-1，求实数 的值；
(2)是否存在实数 ，使函数 有四个不同的零点？若存在，求出 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.
19. (本小题 17 分)
设 为坐标原点，定义非零向量 的 “相伴函数” 为 ， 称为函数 的 “相伴向量“.
(1)设函数 ，求函数 的相伴向量 ；
(2)记 的 “相伴函数 “为 ，若方程 在区间 上有且仅有四个不同的实数解,求实数 的取值范围;
(3)已知点 满足 ，向量 的“相伴函数” 在 处取得最大值，当点 运动时,求 的取值范围.
答案
1.【答案】
解: 因为在平面直角坐标系 中,角 的终边经过点 ,
则 .
故选: .
2.【答案】
解: 向量 ,且 三点共线,得 , 又 ,得 ,解得 .
故选: .
3.【答案】
解: 因为 ,
则 ,
所以 在 方向上的投影向量坐标为 .
故选: .
4.【答案】
解: 因为 ,
所以
.
故选: .
5.【答案】
解: 因为
所以原式的值为 .
故选: .
6.【答案】
解: 已知平面向量 满足 ,且 ,
因为 ,所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,
,又 ,
所以 .
故选: .
7.【答案】
解: 是奇函数, ,
则 ,
将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为 ,
即 ,
的最小正周期为 ,
,得 ,
则 ,
若 ,则 ,即 ,
则 ,则 ,
故选 .
8.【答案】
解: 已知平面向量 ,且 . 已知向量 与 所成的角为 ,且 对任意实数 恒成立,
则 对任意实数 恒成立,
又 ,
则 对任意实数 恒成立,
则 ,
即 ,
则 ,
又 ,
则 的最小值为 .
故选: .
9.【答案】
解: 对于 : 若 ,故 ,解得 为锐角,并不能说明 定是锐角三角形,故 错误;
对于 : 由于 ,利用正弦定理: ,整理得 ,利用正切
函数的性质,所以 ,所以 为等边三角形,故 正确;
对于 若 ,利用正弦定理 ,所以 或 ,故 为等腰三角形和直角三角形,故 错误;
对于 : 若 ,利用正弦定理: ,所以 , 故 ,所以 为等腰三角形,故 正确;
故选: .
直接利用三角函数的关系式的变换，以及正弦定理余弦定理的应用判断 、 、 、 的结论.
10.【答案】
解: 由 的部分图象知, ,最小正周期为 ,所以
所以 ,即 ,解得 .
因为 ,所以 .
所以 .
对于 ,当 时, ,选项 正确;
对于 的单调递增区间为 ,
解得 ,
当 时,故 在 上单调递增,在 上单调递减,选项 错误;
对于 ,选项 错误;
对于 ,
所以 是偶函数,选项 正确.
故选: .
先由图象得出 ,再由三角函数性质逐一判定即可得出结论.
11.【答案】
解: 对于 ,设 的中点为 ,当 时, ,
即 三点共线,直线 过边 的中点,选项 正确;
对于 ,延长 至 ,使 ,延长 至 ,使 ,
连接 ,设其中点为 ,连接 并延长至 ,使 ,
连接 ,则四边形 是平行四边形,
所以 时, ,
所以 ,即 三点共线,且 ,
根据同底等高三角形面积相等,则 ,
即 与 的面积之比为 1 : 2,选项 错误;
对于 ,由于 且 时, ,
故 为 的外心和重心,故 为等边三角形,
则 ,由 可得 ,
故 ，选项 错误；
对于 ,因为 ,且 ,
由 得, ,
所以 ,即 ,选项 正确.
故选: .
12.【答案】-2
解: : ,
,
向量 ,
,
解得, ,
故答案为:-2;
由题意可得 ,代值计算即可.
13.【答案】
解: 由 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
而 ,所以 .
故答案为: .
14.【答案】
解: 因为 为 的外心,若 ,
取 的中点 ，所以 ， ，
所以 ,
因为 ,所以 ,
两边同乘 可得 ,
可得 ,
所以 ,
由正弦定理可得: ，
即 ,
在 中, ,
所以 ,而 ,
可得 .
当且仅当 ，即 ，即 ， 时取等号，
所以 的最大值为 .
故答案为: .
由 为 的外心,取 的中点 ,两边同乘 ,再由正弦定理整理可得 ,由二倍角公式及基本不等式可得 的最大值.
15.【答案】解: (1) 的内角 的对边分别为 ,
又 ,
则 ,
由正弦定理得: ，
,
,
.
(2) ,
由正弦定理得 ,
,
即 ,
即 ,
即 ,
,
,
,
.
16.【答案】解: (1) : .
,即函数的定义域为 ,
则
,
则函数的最小正周期为 ;
(2) ,则 ,
当 ,即 时, 单调递减;
当 ,即 时, 单调递增.
即在区间 上,函数的减区间为 ,增区间为 .
17.【答案】解: (1) , 设 ,
又: 三点共线, ,
.
(2) ,
设 ,
又 三点共线, ,
,
又 ,
或 (舍去),
.
18.【答案】解: (1)向量 ,
函数
,
,
令 ,则 ,
则 ,对称轴 ,
① 当 ，即 时，
当 时，函数取得最小值此时最小值 ，得 (舍)，
② 当 ,即 时,
当 时,函数取得最小值此时最小值 ,得 ,
③ 当 ，即 时，
当 时，函数取得最小值此时最小值 ，得 (舍)，
综上若 的最小值为 -1,则实数 .
(2)令 ，
得 或 ,
方程 或 在 上有四个不同的实根,
则 得
即存在实数 ,使函数 有四个不同的零点,
实数 的取值范围是: .
19.【答案】解: (1) ,
所以函数 的相伴向量 .
(2) 的 “相伴函数” ，
方程 为
则方程 ,有四个实数解,
所以 ,有四个实数解,
令 ,
① 当 时， ，
② 当 时， ，
所以 ,
作出 的图象:
所以函数 与 有四个交点时,实数 的取值范围为 .
(3)向量 的 “相伴函数” ，其中 ，
当 ,
即 时, 取得最大值,
所以 ,
所以 ,
令 ,
则 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,
因为 单调递增,
所以 ,
所以 .
(1) 由两角和差可得 ,进而可得函数 的相伴向量.
(2)根据题意可得 ，则方程 转化为 ， ,有四个实数解,令 ,作出分段函数 的图象,得出函数 与 有四个交点时,实数 的取值范围.
(3) 根据题意可得 ,其中 , ,当 时, 取得最大值,则 ,令 ,则 ,由 ,解得 的取值范围,再求出 的取值范围.