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三角形的证明 单元同步练习卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图， 中， ， ，顶点C在直线b上，若a∥b， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，用直尺和圆规作出的角平分线，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 中， ， ，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则 的度数（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若a＝6，则|a|＝|6|
6．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：(1)PE=PF；(2)点P在∠COD的平分线上；(3) ∠APB=90°-∠O，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C＝20°，则∠B'度数为（ ）
A．110° B．70° C．90° D．30°
8．若等腰三角形的周长为10 ，其中一边长为4 ，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．4 B．6 C．4 或2 D．4 或6
9．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（ ）
A．5° B．8° C．10° D．15°
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=4cm，则点D到AB的距离DE是 cm．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，则∠A＝ °，∠B＝ °．
13．如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 ．
14．在中，，点P是射线BA上的任意一点，当为等腰三角形时，的度数为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝6，那么CE＝ ．
16．如图，在四边形中，，，，，则的最大值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△A的面积．
（2）通过计算判断的形状．
18． 如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD．
（1）若∠ABD=112°，求∠1的度数；
（2）若∠2= x°，求∠ABC的度数（请用含x的代数式表示）．
19．如图， 正在执行巡航任务的海监船以 50 千来/时的速度向正东方向航行， 在 A 处测得灯塔 P在北偏东60°方向上， 继续航行 1h到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30° 方向上.
（1）求 的度数.
（2） 已知在灯塔 P 的周围 25 千米内有暗礁，问： 海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由.
20．如图，在中，是的角平分线，，若，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
21．如图，在等边中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上.
（1）若.求证：是等边三角形；
（2）若是等边三角形，成立吗 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
22．如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，AC与DE交于点G
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠B=50°，∠ACB=60°，求∠EGC的度数
23．如图，AD是的角平分线，DE．DF分别是和的高，．
（1）求DF的长；
（2）求证：AD垂直平分EF．
24．如图，在中，，平分交于点，过点作交的延长线于点．
（1）若，求的度数；
（2）若是上的一点，且，判断与的数量关系，并说明理由．
25．如图，点D，E，F分别在等边的三条边上，且，．
（1）若，试判断的形状，并说明理由；
（2）若是直角三角形，求的长；
（3）如图2，若点D是边中点，点E，F分别在边上运动，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
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三角形的证明 单元同步练习卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA于点E，则PE就是点P到PD的距离，
∵平分，点P在上，， PE⊥OA于点E，
∴PD=PE，
∵PD=2，
∴PE=2。
即则点P到的距离是 2，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可求得答案.
2．如图， 中， ， ，顶点C在直线b上，若a∥b， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵ 中， ， ，
∴∠B=180°-90°-30°=60°，
∵a∥b
∴∠ADE=
∴∠BDC=92°
∴∠2=180°-∠BDC-∠B=28°
故答案为：A.
【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠B的度数，再根据平行线的性质得出∠ADE的度数，再由三角形的内角和定理即可求得答案.
3．如图，用直尺和圆规作出的角平分线，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由作图过程知：OC=OD，CE=DE，又OE=OE，所以△OCE≌△ODE（SSS）。
故答案为：A.
【分析】根据作图过程知道，满足了两个三角形的三边对应相等，即可得出答案。
4．如图，在 中， ， ，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则 的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴∠B=（180°-130°）÷2=25°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF=AF，
∴∠BAF=∠B=25°．
故答案为：D.
【分析】先由等腰三角形的性质求出∠B的度数，再由垂直平分线的性质可得出∠BAF=∠B，由三角形内角与外角的关系即可解答．
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若a＝6，则|a|＝|6|
【答案】C
【解析】【解答】解：A、逆命题是：若果a+b＞0，则a＞0，b＞0，举例为：a=3，b=-1，则a+b＞0，但a＞0，b＜0，∴逆命题是假命题，故A不符合题意；
B、逆命题是相等的角是直角，是假命题，故B不符合题意；
C、逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，故C符合题意；
D、逆命题为：若|a|=|6|，则a=±6，是假命题，故D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】A、写出逆命题，举反例判断出逆命题是假命题，即可得出结论；
B、写出逆命题，根据直角定义进行判断，即可得出结论；
C、写出逆命题，根据平行线的判定定理判断，即可得出结论；
D、写出逆命题，根据绝对值的性质化简后进行判断，即可得出结论.
6．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：(1)PE=PF；(2)点P在∠COD的平分线上；(3) ∠APB=90°-∠O，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，PE⊥OC，PF⊥OD，PG⊥AB
∴PE=PG=PF，即（1）正确；
∴点P在∠COD的平分线上，即（2）正确；
∵∠APB=∠APG+∠BPG=
又∵∠EPF+∠O=180°
∴∠APB=×（180°-∠O）=90°-，即③错误；
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质进行判断即可得到答案。
7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C＝20°，则∠B'度数为（ ）
A．110° B．70° C．90° D．30°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠B′＝∠B，
∵∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴∠B′＝110°，
故答案为：A.
【分析】利用轴对称的性质可证得∠B′＝∠B，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，由此可求出∠B′的度数.
8．若等腰三角形的周长为10 ，其中一边长为4 ，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．4 B．6 C．4 或2 D．4 或6
【答案】C
【解析】【解答】解：若4cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10 4 4=2(cm)，4+4>2，符合三角形的三边关系；
若4cm为等腰三角形的底边，则腰长为(10 4)÷2=3(cm)，此时三角形的三边长分别为3cm，3cm，4cm，3+3＞4，符合三角形的三边关系；
∴等腰三角形的底边长为2cm或4cm，
故答案为：C．
【分析】分为两种情况：4cm是等腰三角形的腰或4cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
9．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（ ）
A．5° B．8° C．10° D．15°
【答案】C
【解析】【解答】∵∠B＝50°，CE⊥AB，
∴∠BCE＝40°，
又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝ ∠BCA＝ ×（180°﹣50°﹣30°）＝50°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣40°＝10°，
故答案为：C．
【分析】依据直角三角形，即可得到∠BCE＝40°，再根据∠A＝30°，CD平分∠ACB，即可得到∠BCD的度数，再根据∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE进行计算即可．
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵ ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O ，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOO=∠OCB，
∴OE=BE，OF=CF，
∴EF＝OE+OF=BE+CF，故①正确；
②由①知∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）= 90°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-∠A，故②正确；
过点O作OM⊥AB，ON⊥BC，连接OA，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O ，
∴ON=OD=OM，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；
由③知ON=OD=OM=m，
∴△AEF的面积=△AOE的面积+△AOF的面积=AE·OM+AF·OD=OD（AE+AF）=mn，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义可推出△BEO和△CFO是等腰三角形，可得BE=OE，OF=CF，从而得出EF＝OE+OF=BE+CF，故①正确；三角形的角平分线及三角形内角和定理，可求出∠BOC=90°-∠A，故②正确；过点O作OM⊥AB，ON⊥BC，连接OA，根据角平分线的性质可推出ON=OD=OM=m，故③正确；根据△AEF的面积=△AOE的面积+△AOF的面积=AE·OM+AF·OD=OD（AE+AF）=mn，故④正确.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=4cm，则点D到AB的距离DE是 cm．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=4cm，∴DE=4cm．
故答案为：4．
【分析】根据角平分线的性质，求出答案即可。
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，则∠A＝ °，∠B＝ °．
【答案】60；30
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝2AC，
∴sin∠B＝ ＝ ，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60，30．
【分析】在Rt△ABC中，根据AB＝2AC，可得出∠B＝30°，∠A＝60°．
13．如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 ．
【答案】90°
【解析】【解答】解：如图，
设小正方形的边长为1，
∵BD=AB=2，DF=BC=3
在△ABC和△EFD中
∴△ABC≌△EFD（SAS）
∴∠1=∠ACB
∵∠ACB+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°.
故答案为：90°.
【分析】设小正方形的边长为1，利用图形可证得BD=AB，DF=BC；再利用SAS证明△ABC≌△EFD，利用全等三角形的性质可证得∠1=∠ACB，然后利用三角形的内角和定理可求出∠1+∠2的值.
14．在中，，点P是射线BA上的任意一点，当为等腰三角形时，的度数为 ．
【答案】108°或72°或36°
【解析】【解答】解：当时，，
∴，
当时，，
当时，．
综上，∠BPC的度数为108°或72°或36°．
故答案为：108°或72°或36°．
【分析】分三种情况：、、，分别计算后得出结论．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝6，那么CE＝ ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴DE＝ AE＝3，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴CE＝DE＝3，
故答案为：3．
【分析】根据直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半求得DE＝ AE＝3，然后利用角平分线的性质求解.
16．如图，在四边形中，，，，，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：把绕着点D顺时针旋转到的位置，连接，
则，，
∴为等边三角形.
∵且，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】把绕着点D顺时针旋转到的位置，连接，利用边角边可以证明出，即得到，再根据等边三角形判定和性质，得出和为等边三角形，最后当B、A、E三点共线时BE最大，即可解答.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△A的面积．
（2）通过计算判断的形状．
【答案】解：（1）
=16-6-4-1
=5，
；
（2）是直角三角形，理由如下：
由勾股定理得，
即
是直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据割补法，结合三角形面积公式即可求解；
（2）根据勾股定理，分别求得的长，再用勾股定理的逆定理即可求解．
18． 如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD．
（1）若∠ABD=112°，求∠1的度数；
（2）若∠2= x°，求∠ABC的度数（请用含x的代数式表示）．
【答案】（1）解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD=×112°=56°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠ABC=56°
（2）解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠DBC，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠ABC=∠DBC，
∵∠2=∠CDB=180°-∠1-∠DBC=180°-2∠1=x°，
∴
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可求出∠ABC的度数，再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠1的度数.
（2）利用角平分线的定义可证得∠ABC=∠DBC，利用平行线的性质可推出∠1=∠ABC=∠DBC，然后利用三角形的内角和定理可表示出∠1的度数.
19．如图， 正在执行巡航任务的海监船以 50 千来/时的速度向正东方向航行， 在 A 处测得灯塔 P在北偏东60°方向上， 继续航行 1h到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30° 方向上.
（1）求 的度数.
（2） 已知在灯塔 P 的周围 25 千米内有暗礁，问： 海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由.
【答案】（1）解：在△APB中，，
∴；
（2）解：过点P作PH⊥AB于点H，
∵，
∴，
∴∠PBH=∠PAB+∠APB=30°+30°=60°，
∴∠BPH=90°-∠PBH=90°-60°=30°，
∴BH=PB=×50=25，
∴
∵，
∴海盗船不会进入暗礁区，继续向正东方向航行仍然安全.
【解析】【分析】（1）先根据方向角，求得的度数，从而利用三角形内角和定理即可求得的度数；
（2）过P点作PH垂直AB于H，利用等角对等边可证得PB=AB=50，利用三角形的外角的性质可求出∠PBH的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BPH=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BH的长，然后利用勾股定理求出PH的长，再将其与25比较大小，可作出判断.
20．如图，在中，是的角平分线，，若，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：，
是的角平分线，
（2）解：，
，
由（1）得：，
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质、三角形内角和即可求解．
（2）利用直角三角形的两个锐角互补，结合（1）的结论即可求解．
（1）解：，，
，
又是的角平分线，
．
（2）由（1）得：，
，
，
．
21．如图，在等边中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上.
（1）若.求证：是等边三角形；
（2）若是等边三角形，成立吗 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∵，∴.
即.
在和中
∴
∴
同理得，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：成立.
∵为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
同理可得，，
∴.
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C=60°，又因为AD=BE=CF，所以BD=CE=AF，从而可用SAS证△ADF≌△BED≌△CFE，得DF=ED=EF，进而根据三边相等的三角形是等边三角形即可得出结论；
（2）根据一线三等角模型可证∠FEC=∠BDE，从而用AAS可证△EFC≌△DEB，得BE=CF，同理得BE=AD，即可证明结论．
22．如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，AC与DE交于点G
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠B=50°，∠ACB=60°，求∠EGC的度数
【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=EC+CF，即BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
∵AB=DE，AC=DF，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF， ∠B=50° ，
∴∠DEF=∠B=50°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠EGC=180°-∠DEF-∠ACB=70°.
【解析】【分析】（1）根据等式性质，由BE=CF推出BC=EF，从而由全等三角形的判定方法SSS判断出△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的对应角相等得∠DEF=∠B=50°，进而根据三角形的内角和定理可求出∠EGC的度数.
23．如图，AD是的角平分线，DE．DF分别是和的高，．
（1）求DF的长；
（2）求证：AD垂直平分EF．
【答案】（1）解：其中DF的长为：
（2）解：利用，可以退出AD垂直平分EF
【解析】【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE．DF分别是和的高
∴
∴DF=DE=2
（2）在Rt△AED和Rt△AFD中
∴Rt△AED和Rt△AFD（HL）
∴AE=AF
∵DE=DF
∴AD垂直平分EF
【分析】（1）根据角平分线性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得Rt△AED和Rt△AFD，则AE=AF，即可求出答案.
24．如图，在中，，平分交于点，过点作交的延长线于点．
（1）若，求的度数；
（2）若是上的一点，且，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：BD=EF，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理得到∠ABC的度数，接着由角平分线的定义得到∠CBD的度数，然后通过平行线的性质求得∠E的度数；
（2）先利用平行线的性质和角平分线的定义证得∠ABD=∠CBD=∠AEF，由等角对等边得AB=AE，再由等边对等角得∠ADF=∠AFD，进而通过等角的补角相等得∠ADB=∠AFE，然后通过AAS判定△ABD≌△AEF，得到BD=EF.
25．如图，点D，E，F分别在等边的三条边上，且，．
（1）若，试判断的形状，并说明理由；
（2）若是直角三角形，求的长；
（3）如图2，若点D是边中点，点E，F分别在边上运动，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：当即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为2或4；
（3）．
【解析】【解答】（3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，
、关于对称，、关于对称，
，，
∴，，
的周长，
当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小，
、关于对称，、关于对称，
∴，，
∴，
∴．
【分析】（1）根据等边三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据三角形内角和定理可得，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（2） 分情况讨论：当即时，根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可得BE；即时，根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可得BE.
（3）作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，根据对称性质可得，，由等边对等角可得，，根据三角形周长为，当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小，再根据三角形内角和定理及角之间的关系即可求出答案.
（1）解：是等边三角形，理由如下，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：当即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为2或4；
（3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，
、关于对称，、关于对称，
，，
∴，，
的周长，
当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小，
、关于对称，、关于对称，
∴，，
∴，
∴．
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