中小学教育资源及组卷应用平台
二次根式 单元巩固提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．化简 结果正确的是（ ）
A．3 B．3 C．17 D．17﹣12
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．面积为14cm2的正方形的边长是（ ）
A． B．7cm C．2cm D．196cm
6．若代数式 的值为常数2，则 的范围为（ ）.
A． ≥4 B． ≤2 C．2≤ ≤4 D． =2或 =4
7． 有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
8．化简 的结果为（ ）
A．4 B．16 C．2 D．﹣2
9．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
10．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算：3 - =
12．已知菱形的面积为24a，两条对角线的长度之比为3：4，则菱形的边长为 ．
13．当x 时，二次根式有意义．
14．已知为实数，且满足2，则的值是 .
15．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b= ，如3※2= = ，那么6※3= ．
16．如果（x﹣ ）（y﹣ ）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007= ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
18． 已知，x为整数．
（1）当时，求；
（2）当时，求．
19．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）若与是关于的共轭二次根式，则_______________；
（2）若与是关于4的共轭二次根式，求的值；
（3）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
20．
（1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ．
A． B．
（2）化简：．
21．如图，在一个长为、宽为的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
（1）用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）若，，，求剩余部分的面积．
22．已知 其中
（1）求x，y的值；
（2）设A=3M-(-3N+2M)， 求A的值.
23．山西剪纸是一门古老的传统民间艺术，具有明显的地域特色和极高的艺术价值．为传承这一艺术，某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上．如图，这是小玲同学的长方形的参赛作品．
（1）通过计算，判断小玲的作品是否符合参赛标准．
（2）若在参赛作品周围贴上金色彩条，使参赛作品更漂亮，求所需彩条的长度．（结果保留根号）
24．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为 设点B表示的数为m。
（1）m= 。
（2）求|m+1|+|m-1|的值。
（3）数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且|2c+d|与互为相反数，求2c-3d的平方根。
25．在二次根式的计算中，经常会出现，这样的式子，其实可以将其进一步化简.例如：；。以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
根据以上化简方法，解答下列问题：
（1）化简： ；
（2）请通过计算比较与的大小；
（3）计算。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
二次根式 单元巩固提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，∴，解得：．
【分析】先根据二次根式有意义，列出不等式，再解不等式即可．
2．化简 结果正确的是（ ）
A．3 B．3 C．17 D．17﹣12
【答案】A
【解析】【解答】解：原式=
=3+2 ．
故选A．
【分析】原式分子分母乘以有理化因式，计算即可得到结果．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 = ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C、 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、 是最简二次根式.
故答案为：D.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
4．下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A． ，故本选项符合题意；
B． ，故本选项不符合题意；
C． ，故本选项不符合题意；
D． ，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的性质判断即可。
5．面积为14cm2的正方形的边长是（ ）
A． B．7cm C．2cm D．196cm
【答案】A
【解析】【解答】解：∵正方形的面积是14cm2，
∴它的边长为 cm．
故选A．
【分析】根据正方形的性质与算术平方根的定义解答．
6．若代数式 的值为常数2，则 的范围为（ ）.
A． ≥4 B． ≤2 C．2≤ ≤4 D． =2或 =4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 代数式 的值为常数2
∴=a-2+4-a=2
∴2-a≤0，a-4≤0
解之：a≥2，a≤4
∴a的取值范围是： 2≤a≤4 .
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的性质：及已知代数式的值为2，可知2-a≤0，a-4≤0，解不等式组求出a的取值范围。
7． 有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0
解之：x≥2.
故答案为：B.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
8．化简 的结果为（ ）
A．4 B．16 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解析】【解答】解： = = =4，
故选：A．
【分析】根据二次根式的性质进行化简．
9．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
10．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算：3 - =
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：2。
【分析】同类二次根式进行加减运算，系数相加减，二次根式不变。
12．已知菱形的面积为24a，两条对角线的长度之比为3：4，则菱形的边长为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：设两条对角线分别为3x、4x，
根据题意得， ×3x 4x=24a，
解得x=2 ，
∴菱形的两对角线的一半分别为 ×3×2 =3 ，
×4×2 =4 ，
∴菱形的边长= =5 ．
故答案为：5 ．
【分析】根据比例设两条对角线分别为3x、4x，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式求出x的值，然后根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式计算即可得解．
13．当x 时，二次根式有意义．
【答案】≤0
【解析】【解答】解：由题意得，﹣x≥0，
解得x≤0．
故答案为：≤0．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
14．已知为实数，且满足2，则的值是 .
【答案】4
【解析】【解答】解：∵，
∴a－8≥0，8-a≥0，
∴a=8.
∴b=2.
∴.
故答案为：4.
【分析】根据二次根式有意义的条件可计算得a的值，从而得到b的值，再代入二次根式运算即可.
15．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b= ，如3※2= = ，那么6※3= ．
【答案】1
【解析】【解答】解：6※3= =1．
故答案为：1
【分析】根据新定义得到算式，再化简二次根式可得.
16．如果（x﹣ ）（y﹣ ）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007= ．
【答案】1
【解析】【解答】解：设a= ，b= ，则x2﹣a2=y2﹣b2=2008，
∴（x+a）（x﹣a）=（y+b）（y﹣b）=2008①
∵（x﹣a）（y﹣b）=2008②
∴由①②得
x+a=y﹣b，x﹣a=y+b
∴x=y，a+b=0，
∴ + =0，
∴x2=y2=2008，
∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008﹣2×2008+3（x﹣y）﹣2007=2008+3×0﹣2007=1．
故答案为：1
【分析】本题先通过设辅助未知数a、b，再代入已知式子对其变形，即可分别找到x与y、a与b的关系，从而利用算术平方根的非负性求出x、y的值，最后代入所求式子可得结果。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法则计算求解即可；
（2）利用二次根式的乘法法则计算求解即可；
（3）利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可；
（4）利用完全平方公式，平方差公式计算求解即可。
18． 已知，x为整数．
（1）当时，求；
（2）当时，求．
【答案】（1）解：∵，
∵x为整数，，，
，
∴．
（2）解：∵，
∵x为整数，，，
∴，
，
∴．
【解析】【分析】（1）用“夹逼法”估计的大小，根据x为整数，，进而可得、的值，代入计算即可；
（2）用“夹逼法”估计的大小，根据x为整数，，进而可得、的值，代入计算即可．
19．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）若与是关于的共轭二次根式，则_______________；
（2）若与是关于4的共轭二次根式，求的值；
（3）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
【答案】（1）
（2）解：，
；
（3）解：与是关于12的共轭二次根式，
，
．
【解析】【解答】
（1）解：，
∴.
【分析】
（1）由新定义可得；
（2）由新定义可得，再分母有理化即可；
（3）由新定义可得，再分母有理化，最后各项对应相等即可.
（1）解：，
∴；
（2）解：，
；
（3）解：与是关于12的共轭二次根式，
，
．
20．
（1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ．
A． B．
（2）化简：．
【答案】（1）小亮；A
（2）解：，
∴当时，原式；当时，原式．
【解析】【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质；
故答案为：小亮，A。
【分析】(1)先把根号里的式子化为完全平方形式，再根据二次根式性质化简。当a=1012>1时，，小亮直接去掉绝对值写成1-a，忽略了1-a为负数，所以小亮的解法错误，错误原因是未正确运用(选项A)；
(2)先把根号内的式子 配方成，再根据 写成，最后根据 a 与 3 的大小关系去掉绝对值符号。
21．如图，在一个长为、宽为的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
（1）用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）若，，，求剩余部分的面积．
【答案】（1）解：纸片剩余部分的面积是；
（2）解：当，，时，
．
【解析】【分析】（）剩余部分面积等于长方形面积减去四个小正方形面积即可解答；
（）把，，的值代入计算即可求解.
（1）解：纸片剩余部分的面积是；
（2）解：当，，时，
．
22．已知 其中
（1）求x，y的值；
（2）设A=3M-(-3N+2M)， 求A的值.
【答案】（1）解：由题意得，
解得x= ， y=14；
（2）解：A=3M-(-3N+2M)
=3M+3N-2M
=M+3N，
将 代入，
得
=8xy-17，
将 代入，
得
=16-17
=-1.
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质，可得出进而即可得出x= ， y=14；
（2）首先把A=3M-(-3N+2M)化简成A=M+3进而把 代入化简后的式子中，再进行整式的加减，最后再把代入化简后的代数式中，进行求值即可。
23．山西剪纸是一门古老的传统民间艺术，具有明显的地域特色和极高的艺术价值．为传承这一艺术，某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上．如图，这是小玲同学的长方形的参赛作品．
（1）通过计算，判断小玲的作品是否符合参赛标准．
（2）若在参赛作品周围贴上金色彩条，使参赛作品更漂亮，求所需彩条的长度．（结果保留根号）
【答案】（1）解：由题意可知，．．
∴小玲的作品符合参赛标准．
（2）解：由题意可得，∴所需彩条的长度为．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法结合题意即可求解；
（2）根据题意得到，从而即可求解。
（1）解：由题意可知，．
．
∴小玲的作品符合参赛标准．
（2）解：由题意可得，
∴所需彩条的长度为．
24．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为 设点B表示的数为m。
（1）m= 。
（2）求|m+1|+|m-1|的值。
（3）数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且|2c+d|与互为相反数，求2c-3d的平方根。
【答案】（1）
（2）因为 所以m+1>0， m-1<0， 所以|m+1|+|m-1|=m+1+1-m=2
（3）由题意，得 所以|2c+d|=0且 解得c=-2， d=4或c=2， d=-4， 当c=-2，d=4时， 2c-3d=-16， 无平方根； 当c=2， d=-4时， 2c-3d=16， 所以2c-3d 的平方根为±4
【解析】【解答】解：（1）∵ 一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为
∴点B所表示的数为，
∴实数m的值为，
故答案为：.
【分析】（1）利用数轴表示数的方法求解即可；
（2）根据（1）中m的值，判断m+1、m-1的正负性，再化简绝对值计算即可；
（3）先根据绝对值和算术平方根的非负性，求出c、d的值，然后分情况求平方根即可.
25．在二次根式的计算中，经常会出现，这样的式子，其实可以将其进一步化简.例如：；。以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
根据以上化简方法，解答下列问题：
（1）化简： ；
（2）请通过计算比较与的大小；
（3）计算。
【答案】（1）2
（2）解：因为，，
且，
所以，
所以；
（3）解：原式
【解析】【解答】（1）解：.
故答案为：2.
【分析】（1）利用分母有理化，化简即可求解；
（2）利用分母有理化，比较与的大小，即可求解；
（3）利用分母有理化，化简即可求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
