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【50道解答题·专项集训】
华东师大版数学七年级下册第5章 一元一次方程
1．某校七年级①②班两个班共有名学生去游园，其中①班学生数超过名，但不足名．公园门票价格如下表所示，如果两个班都分别以班为单位购票，那么一共应付元．
购票张数 1至50张 51至100张 100张以上
购票单价 13元 11元 9元
（1）①班的购票单价为 元；②班的购票单价为 元；
（2）问两个班各有多少名学生？
2．方程的解与关于x的方程 的解互为倒数，求k的值.
3． 已知关于x的方程(|k|-1)x2-(k-1)x-3=-7是一元一次方程，它的解与关于x的方程的解相同．
（1）求k的值．
（2）求a的值．
4．列方程解应用题．
明代商人程大位在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
5．受苏伊士运河搁浅货轮的影响，国际原油价格持续上升，某公司2021年4月份的石油进口量比3月份的石油进口量 吨减少了 ，由于国际油价上升，4月份进口石油的总费用反而比3月份增加了 ．求4月份的石油价格相对3月份涨价的百分率．
6． 已知方程(a-2)xlal-1+2m+4=0是关于x的一元一次方程．
（1）求a的值．
（2）已知方程和上述方程同解，求m的值．
7．学校安排学生住宿，若每室住8人，则有12人无法安排；若每室住9人，可空出2个房间．这个学校的住宿生有多少人？宿舍有多少房间？
8．某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元．
（1）这个公司要加工多少件新产品？
（2）在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案．
9．如图1，线段AB=60厘米．
（1）点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿直线自B点向A点以6厘米/分的速度运动，几分钟后，P、Q两点相遇？
（2）几分钟后，P、Q两点相距20厘米？
（3）如图2，AO=PO=8厘米，∠POB=40°，现将点P绕着点O以20度/分的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA沿B点向A点运动，假若P、Q两点也能相遇，求点Q的速度．
10．李老师给同学们出了一道解方程的题目： ．
小宇同学的解题过程如下：
①去分母，得 ，
②去括号，得 ，
③移项，得 ，
④合并同类项，得
请你指出小宇的解题过程从哪步开始出现错误？并将正确的解题过程写下来．
11．下面是某购物平台的两种图书促销方式．
方式一：满100元减50元．
方式二：单件打六折．
考虑下列问题：
（1）设某本书的原价为元，列表说明当在不同范围内取值时，按两种方式购买分别需要支付的金额．
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据图书的原价选择省钱的购买方式吗？通过计算验证你的想法．
12．泵中水与水中泵
有两池水，甲池的水量是乙池水量的2倍.某工程人员将全部水泵(功率相同)接入甲池，工作了半天后，将水泵的一半转入乙池，又工作了半天后，甲池的水正好抽完，而乙池尚有余水，最后仅留下1台水泵在乙池，再工作了1天后，乙池的水正好也抽完.该工程队的全部水泵共有多少台
13．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题，原文如下：三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚疼减一半，六朝才得到其关．要见次日行里数，请公仔细算相还．大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了多少里路？
14．某体育用品商店销售的乒乓球拍每副定价为84元，乒乓球每桶定价15元．元旦期间，该商店推出让利大酬宾活动，有如下两种优惠方案：
元旦让利大酬宾方案一：买一副乒乓球拍送一桶乒乓球．方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的九折出售．
某学校到该商店购买了10副乒乓球拍和桶乒乓球．
（1）用含x的代数式分别表示两种方案所需费用（结果需化简）；
（2）购买乒乓球多少桶时，两种方案的费用相同？
（3）若两种方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？直接写出你的购买方案及所需费用．
15．已知y=1是方程2-(m-y)=2y的解，求关于x的方程m(x-3)-2= m(2x+5)的解．
16．在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以C为原点，写出点A，B所对应的数，计算p的值；
（2）若p的值是，求出点A，B，C所对应的数；
（3）在（2）的条件下，在数轴上表示、和A，B，C所对应的数，并把这5个数进行大小比较，用“＜”连接．
17．我国明代数学家程大为曾提出过这样一个有趣的问题：有一个人赶着一群羊在前面走，另一个人牵着一只羊跟在后面．后面的人问赶羊的人说：“你这群羊有一百只吗？”赶羊的人回答：“我如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只．”请问这群羊有多少只？请设未知数，列出方程．
18．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间．
（1）用含x的代数式填表：
每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人
第一种方案 7 x
第二种方案 9
（2）列出方程并完成本题解答．
19．昆楚高速公路全长170千米，甲、乙两车同时从昆明、楚雄两地高速路收费站相向匀速开出，经过50分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶10千米．求甲、乙两车的速度．
20．王老师为学校购买运动会的奖品后,回学校向后勤处张老师交账说:“我买了两种书,共100本,单价分别为6元和10元,买奖品前我领了1000元,现在还余118元”.张老师算了一下,说:“你肯定搞错了”
张老师为什么说他搞错了 试用方程的知识给予解释.
21．列方程解应用题
为了迎接比赛，七年级学生准备买一些器材，现了解情况如下：甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和球拍，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店：每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店按定价的九折优惠，该班需购买球拍4副，乒乓球若干盒(不少于4盒).若你是负责人，你会决定到哪家商店购买？说明理由.
22．雨后初晴，小方同几个伙伴上午8点多上山采蘑菇。临出门他一看钟，时针与分针正好是重合的。下午2点多他回到家，一进门看钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线。问：小方从去采蘑菇到回到家共用了多少时间
23．某校七年级(2)班准备外出活动，需要租用一辆大客车一天，现有甲、乙两种车的租用方案：甲车每天的租金为 180元，另按实际行程每千米加收2元；乙车每天的租金为140元，另按实际行程每千米加收2.5元.
（1）当行程为多少千米时，两种方案的费用相同
（2）当实际路程为 100 km时，为了节省费用，你认为租用哪辆车合算
24．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“-1”这一项乘公分母6，求出方程的解为x=-．
（1）求m的值：
（2）写出正确的求解过程．
25．定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
（1）若关于的方程与方程互为“反对方程”，则c= ．
（2）若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．
（3）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ．（请直接写出答案）
26．甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道跑步．甲的速度是乙速度的倍．他们从同一起点、朝同一方向同时出发，5分钟后甲第一次追上乙．求甲、乙两人跑步的速度．
27．为大力发展旅游经济，吉林市以景点为主题的文创冰箱贴和书签在2024年的冬天与大家见面.李聪同学购买了1个文创冰箱贴和3个文创书签，共花费75元.已知文创冰箱贴的单价比书签的单价少5元，求文创冰箱贴的单价.
28．（配套问题）某车间22名工人生产螺钉合螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配2个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该如何分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
29．为了美化校园，校团委植树节在清华路两旁植树，甲团小组计划用若干天完成校团委的植树工作，从第三个工作日起，乙团小组加入此项工作，且甲、乙两团小组工作效率相同，结果提前3天完成任务，求甲团小组计划完成此项工作的天数．
30．
某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批发了萝卜和白菜共40kg到菜市场去卖，萝卜和白菜这天每千克的批发价与零售价如下表所示：
品名 萝卜 白菜
批发价/元 1.6 1.2
零售价/元 2.5 1.8
问：他当天卖完这些萝卜和白菜共能赚多少钱？
31．规定一种新运算： 若2 [1 (-x)]=6，求x的值。
32．列方程解应用题
迎接2022年北京冬奥会，响应“三亿人上冰雪”的号召，全民参与冰雪运动的积极性不断提升．我国2019年总滑雪人次比2016年总滑雪人次多了约680.5万，2019年旱雪人次约占本年总滑雪人次的1.5%，比2016年总滑雪人次的2%多2.6万.2019年总滑雪人次是多少万？
33．为了迎接市“两型学校”达标检查，七年级（1）班分成两个组对学校的两个功能室进行卫生大扫除，若从第一组调4人到第二组，则两组人数相等；若从第二组调1人到第一组，则第一组是第二组的1.5倍．求七年级（1）班有多少人参加了卫生大扫除？
34．少先队从夏令营到学校，先下山再走平路，一队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到学校共用了55分钟，回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，回到营地共花去了70分钟的时间，问夏令营到学校多少千米？
35． 2020年11月份，某人民商场开展了“内购专场·浓情答谢”闭门销售活动，本次活动中的服装消费券单笔交易满900元立减168元（每次只能使用一张）.某品牌服装按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该品牌服装时使用一张服装消费券后，又付现金768元.求该品牌服装的进价.
36．一根竹竿插入一水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，露出水面部分为米，竹竿有多长？水有多深？
37．某市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米,其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米,问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米
38．小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行．出发后两人相遇．相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚回到A地．
（1）两人的行进速度分别是多少？
（2）相遇后经过多少时间小强到达A地？
39．铜仁南方电网为响应国家节能减排政策，对铜仁居民用户实行阶梯电价收费，月用电量210度之内（包括210度），每度价格元，用电量210度至350度，每度比第一档次提价元，月用电量350度以上，每度比第一档提价元．
例：若某户月用电量400度，则需交电费．如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元．
问题：
（1）则小华家该月用电量属于第几档？并通过计算得出用电量是多少？
（2）若小红家这个月用电a度，交电费为b元，请你用含字母a，b表示小红家的用电费用．
40．某校去年购进了一批数学作图教具，经了解，三角尺的单价比圆规的单价多4元，用1200元购进的三角尺与用800元购进的圆规个数相等。求去年购进的圆规和三角尺的单价各是多少元？
41．好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为，高为的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为的个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，请你帮他计算杯子的高度．
42．整理一批图书，甲单独整理需天完成，乙单独整理需天完成．
（1）现在甲、乙合作天后，剩下的由丙单独天完成如果整理这批图书由丙单独完成，需几天完成？
（2）如果甲、乙、丙一起合作，需几天完成？
43．如图，已知数轴上A，B两点的位置如图所示．动点P从A点出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒．
（1）A，B两点之间的距离为 ；
（2）在点P的运动过程中，将数轴沿点P对折，对折后与点B重合的点为B′．
①当t为何值时，点B′在点A的左侧，且与点A相距4个单位？
②当t为何值时，点P到点A的距离是点P到点B′距离的3倍.
44．为了增强市民的节约用水意识，自来水公司实行阶梯收费，具体情况如表：
每月用水量 收费
不超过10吨的部分 水费1.6元/吨
10吨以上至20吨的部分 水费2元/吨
20吨以上的部分 水费2.4元/吨
（1）若小刚家6月份用水15吨，则小刚家6月份应缴水费 26元．（直接写出结果）
（2）若小刚家7月份的平均水费为1.75元/吨，则小刚家7月份的用水量为多少吨？
（3）若小刚家8月、9月共用水40吨，9月底共缴水费79.6元，其中含2元滞金（水费为每月底缴纳．因8月份的水费未按时缴，所以收取了滞纳金），已知9月份用水比8月份少，求小明算8、9月各用多少吨水？
45．如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
（1）线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
（2）若 ，点C是线段AB的巧点，则 ；
（3）如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由．
46．如图，某容器由 A，B，C三个连通长方体组成，其中A，B，C的底面积分别为25 cm2，10 cm2，5 cm2，C 的容积是整个容器容积的 (容器各面的厚度忽略不计)，A，B的总高度为12 cm。现以均匀的速度(单位：cm3/ min)向容器内注水，直到注满为止。已知单独注满 A，B分别需要的时间为10 min，8 min。求：
（1）注满整个容器所需的总时间。
（2）容器A 的高度和注水的速度。
47．如图所示是某年11月的日历表．
星期六 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30
请回答下列问题：
（1）若一竖列的三个数的和为42，请求出这三天的号数分别是多少？若和为44，能求出这三天是几号吗？为什么？
（2）若在的矩形方块中的四个数的和为80，请求出这四天的号数；
（3）如果是的矩形方块中，九个数的和是171，你能求出这九个数吗？若能，请求出这九个数；若不能，请说明理由：你能发现这九个数的和与最中间的数的有什么关系吗？
48．2017年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到李坑景区游玩.甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人.经了解，李坑景区的门票价格如下表：
数量（张） 1﹣50 51﹣100 101张及以上
单价（元/张） 60元 50元 40元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元.
（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？
49．某市出租车收费标准如下：以内（含）收费11元；至每收费3元；以上每收费4元．（不足以计算）
（1）小明家距离学校，某个周末，小明身边带了39元钱，问：小明从学校坐出租车到家的钱够吗？如果不够，他至少要先走多少路？
（2）某天，小明和爸爸分别从不同的地方坐出租车回家，正好同时到家，且正好都行了整，父子俩一合计，发现两人共行，共付车费67元，已知小明的行程超过，而父亲的行程在到之间，两人各行了多少？
50．某牛奶厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2000元.该工厂的生产能力是，如果制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温限制这批牛奶必须4天内全部销售或加工完毕.为此该厂设计了三种方案：
方案一：将鲜奶全部制成酸奶销售；
方案二：尽可能地制成奶片，其余的直接销售鲜奶；
方案三：将一部分制成奶片，其余的制成酸奶销售，并恰好4天完成.
你认为选择哪种方案获利最多？
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【50道解答题·专项集训】
华东师大版数学七年级下册第5章 一元一次方程
1．某校七年级①②班两个班共有名学生去游园，其中①班学生数超过名，但不足名．公园门票价格如下表所示，如果两个班都分别以班为单位购票，那么一共应付元．
购票张数 1至50张 51至100张 100张以上
购票单价 13元 11元 9元
（1）①班的购票单价为 元；②班的购票单价为 元；
（2）问两个班各有多少名学生？
【答案】（1）13；11
（2）解：设七年级①班有人， 则②班有人，
依据题意，得： ，
解得：，
∴104-x=104-43=61，
∴七年级①班有人，七年级②班有61人．
【解析】【解答】解：（1）∵①班学生数超过名，但不足名，②班学生数超过名，但不足名，
∴①班学生应购价格元的票，②班学生应购价格元的票，
故答案为：13，11.
【分析】（1）根据题意可知两班的购票单价；
（2）设七年级①班有人， 则②班有人，根据“如果两个班都分别以班为单位购票，那么一共应付元”可列出关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，从而得104-x的值，即可求出答案．
2．方程的解与关于x的方程 的解互为倒数，求k的值.
【答案】解：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得x=.
∵的倒数是，
∴将x=代入方程，
则，
解得k=1.
【解析】【分析】根据一元一次方程的解题步骤"去括号、移项、合并同类项、系数化为1”先求得方程2-3（x+1）=0的解，再把求得的x的值的倒数代入关于x的方程-3k-2=2x可得关于k的方程，解这个方程可求解.
3． 已知关于x的方程(|k|-1)x2-(k-1)x-3=-7是一元一次方程，它的解与关于x的方程的解相同．
（1）求k的值．
（2）求a的值．
【答案】（1）解：由题意得|kl-1=0，k- 1≠0，
∴k=-1．
（2）解：由(1)可得原方程为2x-3=-7，
解得x=-2，
把x=-2代入方程
- 3+2- a=6，
解得a=-7．
【解析】【分析】（1）由一元一次方程的定义可得|kl-1=0且k- 1≠0，解之即可；
（2）由（1）结论可得方程2x-3=-7，解出方程，再将方程的解代入 中，即可求出a值.
4．列方程解应用题．
明代商人程大位在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
【答案】解：设小和尚有x人，则大和尚有（100 x）人，
根据题意得： x＋3（100 x）＝100，
解得：x＝75，
100 x＝100 75＝25．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
【解析】【分析】设小和尚有x人，则大和尚有（100 x）人，根据馒头数＝3×大和尚人数＋ ×小和尚人数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
5．受苏伊士运河搁浅货轮的影响，国际原油价格持续上升，某公司2021年4月份的石油进口量比3月份的石油进口量 吨减少了 ，由于国际油价上升，4月份进口石油的总费用反而比3月份增加了 ．求4月份的石油价格相对3月份涨价的百分率．
【答案】解：设3月份石油的价格为1，4月份的石油价格相对3月份涨价的百分率为x，
由题意可得：
m×（1+2.6%）=m×（1-5%）×（1+x），
解得x=0.08，
答：4月份的石油价格相对3月份涨价的百分率为8%．
【解析】【分析】 设3月份石油的价格为1，4月份的石油价格相对3月份涨价的百分率为x， 根据3月份石油的总价格×（1+2.6%）=4月份石油的总价格，列出方程，求出x值即可.
6． 已知方程(a-2)xlal-1+2m+4=0是关于x的一元一次方程．
（1）求a的值．
（2）已知方程和上述方程同解，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意得|a|-1=1，
解得a=±2，a-2≠0，
a≠2．a=-2．
（2）解：
∴5x-10- (2x+2)-3，
5x-10-2x-2=3，
5x-2x=3+ 10+2．
∴3x=15．
∴x=5．
方程 和方程(a-2)x|a|-1+ 2m+4=0同解，
∴- 4×5+2m+4=0，
∴m= 8．
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义得：，解不等式组即可；
（2）求解出 ，根据题干：该方程和上述方程同解，得到：进而即可求解.
7．学校安排学生住宿，若每室住8人，则有12人无法安排；若每室住9人，可空出2个房间．这个学校的住宿生有多少人？宿舍有多少房间？
【答案】解：设宿舍有x间房，依题可得：
8x+12=9（x﹣2），
解得x=30，
∴8x+12=252．
答：这个学校的住宿生有252人，宿舍有30个房间．
【解析】【分析】设宿舍有x间房，根据题意可列出一元一次方程，解之即可得出答案.
8．某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元．
（1）这个公司要加工多少件新产品？
（2）在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案．
【答案】（1）解：设这个公司要加工x件新产品，
由题意得：，
解得： (件)，
∴这个公司要加工960件新产品。
（2）解：①红星厂单独加工需要耗时为天，费用为：元；
②由巨星厂单独加工需要耗时为天，费用为：元；
③由两厂共同加工需要耗时为天，费用为：元．
∵，
∴由两厂共同加工时，既省钱，又省时间．
【解析】【分析】（1）结合条件“ 红星厂每天可加工16件产品 ”，则红星厂加工完需要天；“ 巨星厂每天可加工24件产品 ”，则巨星厂加工完需要天；最后根据“ 红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天 ”即可列出方程，求解x即可；
（2）结合（1）的“公司要加工960件新产品”，分别计算出红星厂单独加工的耗时、巨星厂单独加工的耗时以及两厂共同加工的耗时，然后分别计算出对应的3种方案的费用，最后比较即可．
（1）设这个公司要加工x件新产品，
由题意得：，
解得： (件)，
答：这个公司要加工960件新产品；
（2）①由红星厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元；
②由巨星厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元；
③由两厂共同加工：需要耗时为天，需要费用为：元．
因为，
所以，由两厂共同加工时，既省钱，又省时间．
9．如图1，线段AB=60厘米．
（1）点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿直线自B点向A点以6厘米/分的速度运动，几分钟后，P、Q两点相遇？
（2）几分钟后，P、Q两点相距20厘米？
（3）如图2，AO=PO=8厘米，∠POB=40°，现将点P绕着点O以20度/分的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA沿B点向A点运动，假若P、Q两点也能相遇，求点Q的速度．
【答案】解：（1）设经过x分钟后，P、Q两点相遇，依题意得：
4x+6x=60，解得：x=6．
答：经过6分钟后，P、Q两点相遇．
（2）设经过y分钟后，P、Q两点相距20厘米，依题意得：
①4y+6y+20=60，解得：y=4；
②4y+6y﹣20=60，解得：y=8．
答：经过4或8分钟后，P、Q两点相距20厘米．
（3）由题意知，点P、Q只能在直线AB上相遇，则点P旋转到直线上的时间为2分钟或11分钟．
设点Q的速度为t厘米/分，依题意得：
①2t=60﹣16，解得：t=22；
②11t=60，解得：t=．
答：点Q的速度为22厘米/分或厘米/分．
【解析】【分析】（1）由路程=速度×时间，结合题意列出方程，解方程即可得出结论；
（2）由路程=速度×时间，结合题意列出方程，解方程即可得出结论；
（3）若P、Q两点相遇，则相遇时点P在直线上，由P点的旋转速度可找出当P在直线上时的时间，再由路程=速度×时间，列出一元一次方程，解方程即可得出结论．
10．李老师给同学们出了一道解方程的题目： ．
小宇同学的解题过程如下：
①去分母，得 ，
②去括号，得 ，
③移项，得 ，
④合并同类项，得
请你指出小宇的解题过程从哪步开始出现错误？并将正确的解题过程写下来．
【答案】解：根据题意，
小宇的解题过程从第①步开始出现错误；
正确的过程如下：
①去分母，得 ，
②去括号，得 ，
③移项，得 ，
④合并同类项，得 ；
【解析】【分析】首先判断出小宇的解题过程从第①步开始出现错误；然后去分母，去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出方程的解是多少即可。
11．下面是某购物平台的两种图书促销方式．
方式一：满100元减50元．
方式二：单件打六折．
考虑下列问题：
（1）设某本书的原价为元，列表说明当在不同范围内取值时，按两种方式购买分别需要支付的金额．
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据图书的原价选择省钱的购买方式吗？通过计算验证你的想法．
【答案】（1）解：由题意，列表如下：
原价/元 方案一/元 方案二/元
50 60
（2）解：能，
当时，按方案二购买比较合适，
当时，按方案一购买比较合适；
当时，当时，解得：，
综上所述，和时，按照方案二购买比较省钱，当时，按照方案一购买比较省钱；当时，两种方案费用一样
【解析】【分析】（1）根据题意分类讨论：，进而列出表格即可求解；
（2）根据题意分三种情况讨论即可求解。
（1）解：由题意，列表如下：
原价/元 方案一/元 方案二/元
50 60
（2）当时，按方案二购买比较合适，
当时，按方案一购买比较合适；
当时，当时，解得：，
∴当时，按照方案一买合适，当时，两种方案费用一样，当时，按照方案二购买合适；
综上：和时，按照方案二购买比较省钱，当时，按照方案一购买比较省钱；当时，两种方案费用一样．
12．泵中水与水中泵
有两池水，甲池的水量是乙池水量的2倍.某工程人员将全部水泵(功率相同)接入甲池，工作了半天后，将水泵的一半转入乙池，又工作了半天后，甲池的水正好抽完，而乙池尚有余水，最后仅留下1台水泵在乙池，再工作了1天后，乙池的水正好也抽完.该工程队的全部水泵共有多少台
【答案】解：设全部水泵有台，每台水泵每天抽水量为单位，
甲池水量：全部水泵先抽半天（ ），再用一半水泵抽半天（ ），共 ，
乙池水量：一半水泵抽半天（ ），加台水泵抽天（ ），因甲池水量是乙池倍，
故：
解得：
答：该工程队的全部水泵共有8台.
【解析】【分析】通过设未知数（水泵台数、每台抽水量 ），分别表示甲、乙池水量，利用“甲池水量是乙池倍”列方程求解.
13．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题，原文如下：三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚疼减一半，六朝才得到其关．要见次日行里数，请公仔细算相还．大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了多少里路？
【答案】解：设这个人第一天走了x里路，则第二天走了 里路，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
∴ ，
∴这个人第二天走了96里路．
【解析】【分析】设这个人第一天走了x里路，则第二天走了 里路，根据题意列出方程求解即可。
14．某体育用品商店销售的乒乓球拍每副定价为84元，乒乓球每桶定价15元．元旦期间，该商店推出让利大酬宾活动，有如下两种优惠方案：
元旦让利大酬宾方案一：买一副乒乓球拍送一桶乒乓球．方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的九折出售．
某学校到该商店购买了10副乒乓球拍和桶乒乓球．
（1）用含x的代数式分别表示两种方案所需费用（结果需化简）；
（2）购买乒乓球多少桶时，两种方案的费用相同？
（3）若两种方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？直接写出你的购买方案及所需费用．
【答案】（1）解：方案一所需费用为：
元；
方案二所需费用为：
元．
（2）解：根据题意得：，
解得：．
答：购买乒乓球44桶时，两种方案的费用相同．
（3）解：当时，按方案一购买付款为：（元），
按方案二购买付款为：（元）
先按方案一购买10副乒乓球拍，再按方案二购买40桶乒乓球，付款为：（元），
∵
∴先按方案一购买10副乒乓球拍，再按方案二购买40桶乒乓球，费用最低，最低费用为1380元．
【解析】【分析】（1）根据两种方案的优惠力度列式计算即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分别求出两种方案的所需费用，再比较大小即可求出答案.
（1）解：方案一所需费用为：
元；
方案二所需费用为：
元．
（2）解：根据题意得：，
解得：．
答：购买乒乓球44桶时，两种方案的费用相同．
（3）解：当时，按方案一购买付款为：（元），
按方案二购买付款为：（元）
先按方案一购买10副乒乓球拍，再按方案二购买40桶乒乓球，付款为：（元），
∵
∴先按方案一购买10副乒乓球拍，再按方案二购买40桶乒乓球，费用最低，最低费用为1380元．
15．已知y=1是方程2-(m-y)=2y的解，求关于x的方程m(x-3)-2= m(2x+5)的解．
【答案】解：把y=1代入方程2- (m-y)=2y中，
得2- (m-1)=2，
去括号，得2-+=2，
移项、合并同类项，得-=，
解得m=1，
把m=1代人m(x-3)-2=m(2x +5)中，
得x-3-2=2x+5，
解得x=-10．
【解析】【分析】把y=1代入方程2- (m-y)=2y中求出m值，把m值代入m(x-3)-2= m(2x+5) 中，再解方程即可.
16．在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以C为原点，写出点A，B所对应的数，计算p的值；
（2）若p的值是，求出点A，B，C所对应的数；
（3）在（2）的条件下，在数轴上表示、和A，B，C所对应的数，并把这5个数进行大小比较，用“＜”连接．
【答案】（1）解：若以C为原点，∵，，
∴点B表示，点A表示，
此时，；
（2）解：设点B对应的数为x，∵，，
则点A表示的数为，点C表示的数为，
∴；
∴，
∴点B为原点，
∴点A表示的数为，点C表示的数为1；
（3）解：∵，，∴表示、和A，B，C所对应的数的各点在数轴上表示为：
∴．
【解析】【分析】（1）根据以点C为原点，求得，，得到点B表示，点A表示，进而得到p的值；
（2）设点B对应的数为x，得到点A表示的数为，点C表示的数为，进而求得p的值，结合点B为原点，得到点A表示，点C表示1，得到答案；
（3）把各个数在数轴上画出表示出来，根据数轴上的数左边的数总是小于右边的数，把各个数按由小到大的顺序“＜”连接起来，即可求解．
（1）若以C为原点，
∵，，
∴点B表示，点A表示，
此时，；
（2）设点B对应的数为x，
∵，，
则点A表示的数为，点C表示的数为，
∴；
∴，
∴点B为原点，
∴点A表示的数为，点C表示的数为1；
（3）∵，，
∴表示、和A，B，C所对应的数的各点在数轴上表示为：
∴．
17．我国明代数学家程大为曾提出过这样一个有趣的问题：有一个人赶着一群羊在前面走，另一个人牵着一只羊跟在后面．后面的人问赶羊的人说：“你这群羊有一百只吗？”赶羊的人回答：“我如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只．”请问这群羊有多少只？请设未知数，列出方程．
【答案】解：设这群羊有x只，根据题意得：
x+x+ x+ x+1=100
【解析】【分析】根据“如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只”这一等量关系列出方程即可．
18．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住：如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．求该店客房有几间？设该店有客房x间．
（1）用含x的代数式填表：
每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人
第一种方案 7 x
第二种方案 9
（2）列出方程并完成本题解答．
【答案】（1）解：填表如下：
每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人
第一种方案 7 x
第二种方案 9
（2）解：根据题意可得：，
解得：，
∴该店有8间客房．
【解析】【分析】（1）根据每间客房住的人数×房间数=住下总人数，再根据有无空房和有无房住写出即可.
（2）房根据客总数相同列出一元一次方程求解即可.
（1）解：填表如下：
每间客房住的人数（人间） 房间数/间 房客总数/人
第一种方案 7 x
第二种方案 9
（2）解：根据题意可得：，
解得：，
故该店有8间客房．
19．昆楚高速公路全长170千米，甲、乙两车同时从昆明、楚雄两地高速路收费站相向匀速开出，经过50分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶10千米．求甲、乙两车的速度．
【答案】解：50分钟= 小时
设乙车的速度为x千米/时，甲车的速度为x+10千米/时，
则 （x+x+10）=170，
解得：x=97
∴甲车的速度为：x+10=97+10=107（千米/时）
答：甲车的速度为107千米/时，乙车的速度为97千米/时
【解析】【分析】首先根据题意，设乙车的速度为x千米/时，甲车的速度为x+10千米/时，然后根据：两车的速度之和×两车相遇用的时间=昆楚高速公路全长，列出方程，求出乙车的速度是多少，并求出甲车的速度是多少即可．
20．王老师为学校购买运动会的奖品后,回学校向后勤处张老师交账说:“我买了两种书,共100本,单价分别为6元和10元,买奖品前我领了1000元,现在还余118元”.张老师算了一下,说:“你肯定搞错了”
张老师为什么说他搞错了 试用方程的知识给予解释.
【答案】解：设单价为6元的书买了x本，则10元的书买了（100-x）本，
依题意列出方程6x+10（100-x）=1000-118
解得x=29.5（不符题意）
∵x需为正整数，∴说张老师说他搞错了
【解析】【分析】等量关系为：6元的书总价钱+10元的书总价钱=1000-118，依此列出方程即可解答.
21．列方程解应用题
为了迎接比赛，七年级学生准备买一些器材，现了解情况如下：甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和球拍，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店：每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店按定价的九折优惠，该班需购买球拍4副，乒乓球若干盒(不少于4盒).若你是负责人，你会决定到哪家商店购买？说明理由.
【答案】解：设买x盒球时甲乙两家商店花费一样多
20×4+5(x-4)=(20×4+5x)×0.9
解得，x=24
当买24盒球时，两家商店花费一样多，去哪家都可以；
当大于24盒球时，甲商店花费大于乙商店，去乙商店购买；
当小于24盒球时，甲商店花费小于乙商店，去甲商店购买.
【解析】【分析】根据两家的收费标准分别表示出费用，令两种费用相等列出方程，求出方程的解即可得到结果，再进行判断即可．
22．雨后初晴，小方同几个伙伴上午8点多上山采蘑菇。临出门他一看钟，时针与分针正好是重合的。下午2点多他回到家，一进门看钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线。问：小方从去采蘑菇到回到家共用了多少时间
【答案】解： 设上午8时x分时针与分针重合，则
5.5x—30×8=0，解得.
即上午8时43 分时出门。
设下午2时y分时，时针与分针方向相反，则|5.5y—30×2|=180，解得 (负值已舍去)，即下午2时43 分时回到家。
14时 分-8时43 分═6(时)。
答：小方从去采蘑菇到回到家共用了6时
【解析】【分析】利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动，设设8点x分时针与分针重合，则时针转动，依据这一关系列出方程，可以求解．
23．某校七年级(2)班准备外出活动，需要租用一辆大客车一天，现有甲、乙两种车的租用方案：甲车每天的租金为 180元，另按实际行程每千米加收2元；乙车每天的租金为140元，另按实际行程每千米加收2.5元.
（1）当行程为多少千米时，两种方案的费用相同
（2）当实际路程为 100 km时，为了节省费用，你认为租用哪辆车合算
【答案】（1）解：设当行程为x km时，两种方案的费用相同.由题意，得180+2x=140+2.5x，
解得x=80.
答：当行程为80 km时，两种方案的费用相同
（2）解：因为实际路程为 100 km，
所以租用甲车的费用为180+2×100=380(元)，租用乙车的费用为140+2.5×100=390(元).
因为380<390，
所以当实际路程为100 km时，为了节省费用，租用甲车合算
【解析】【分析】⑴根据题意列出一元一次方程作答即可.
⑵根据对比方案的优劣及题意，选择合适的方案.
24．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“-1”这一项乘公分母6，求出方程的解为x=-．
（1）求m的值：
（2）写出正确的求解过程．
【答案】（1）解：根据小明去分母得：4x-2=2x+m-1，
把x=-代入方程得：-6-2=-3+m-1，
解得：m=-4；
（2）把m=-4代入得：，
去分母得：4x-2=2x-4-6，
移项得：4x-2x=-4-6+2，
合并得：2x=-8，
解得：x=-4
【解析】【分析】(1)按小明错的方式去分母得4x-2=2x+m-1，把x=-代入去分母出错的方程，求出m的值即可；
(2)把m的值代入原方程，再根据一元一次方程的求解步骤进行计算即可求出解.
25．定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
（1）若关于的方程与方程互为“反对方程”，则c= ．
（2）若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．
（3）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ．（请直接写出答案）
【答案】（1）2
（2）解：变形为，由题意可知方程的“反对方程”为．
解，得．
解，得．
因为与的解都是整数，
所以与都是整数，且d为整数，
所以当或时，与都是整数，
故整数d的值为或
（3）
【解析】【解答】解：（1）∵关于x的方程与方程互为“反对方程”，
∴；
故答案为：2；
（3）由题意得的解为．
∵互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，
∴的解为，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据“反对方程”的定义即可求解；
（2）根据题意求出两个方程的解，进而根据解为整数即可求解；
（3）根据互为“反对方程”的解互为倒数，进而换元得到，从而即可求解。
（1）解：∵关于x的方程与方程互为“反对方程”，
∴；
故答案为：2；
（2）变形为，
由题意可知方程的“反对方程”为．
解，得．
解，得．
因为与的解都是整数，
所以与都是整数，且d为整数，
所以当或时，与都是整数，
故整数d的值为或；
（3）由题可知的解为．
由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，
所以的解为，
将变形为，
所以，
所以关于y的一元一次方程的解为．
26．甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道跑步．甲的速度是乙速度的倍．他们从同一起点、朝同一方向同时出发，5分钟后甲第一次追上乙．求甲、乙两人跑步的速度．
【答案】解：设乙的速度为xm/min，甲的速度为xm/min，
由题意得：5××-5x=400，
解得x=120，
甲的速度为：×120=200（m/min）.
答： 甲、乙两人跑步的速度分别为200m/min、120m/min.
【解析】【分析】设乙的速度为xm/min，甲的速度为xm/min，根据题中的相等关系“甲走的路程-乙走的路程=400”可列关于x的方程，解方程即可求解.
27．为大力发展旅游经济，吉林市以景点为主题的文创冰箱贴和书签在2024年的冬天与大家见面.李聪同学购买了1个文创冰箱贴和3个文创书签，共花费75元.已知文创冰箱贴的单价比书签的单价少5元，求文创冰箱贴的单价.
【答案】解：设文创冰箱贴每个元，则文创书签每个元.
根据题意列方程为
解得.
答：文创冰箱贴每个15元.
【解析】【分析】设文创冰箱贴每个元，则文创书签每个元，再根据“李聪同学购买了1个文创冰箱贴和3个文创书签，共花费75元”列出方程，再求解即可.
28．（配套问题）某车间22名工人生产螺钉合螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配2个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该如何分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
【答案】解：设x人生产螺钉，则22-x人生产螺母，依题可得：
2000（22-x）=2×1200x，
解得：x=10，
∴生产螺母有：22-10=12（人）.
答：应该分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
【解析】【分析】设x人生产螺钉，则22-x人生产螺母，根据等量关系式：螺钉的数量×2=螺母的数量，列出方程，解之即可.
29．为了美化校园，校团委植树节在清华路两旁植树，甲团小组计划用若干天完成校团委的植树工作，从第三个工作日起，乙团小组加入此项工作，且甲、乙两团小组工作效率相同，结果提前3天完成任务，求甲团小组计划完成此项工作的天数．
【答案】解：设甲团小组计划完成此项工作的天数为x天，甲、乙两团小组工作效率均为a，根据题意得，
解得＝8．
答：设甲团小组计划完成此项工作的天数为8天．
【解析】【分析】设甲团小组计划完成此项工作的天数为x天，甲、乙两团小组工作效率均为a，根据题意列出方程，再求解即可。
30．
某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批发了萝卜和白菜共40kg到菜市场去卖，萝卜和白菜这天每千克的批发价与零售价如下表所示：
品名 萝卜 白菜
批发价/元 1.6 1.2
零售价/元 2.5 1.8
问：他当天卖完这些萝卜和白菜共能赚多少钱？
【答案】解：设批发萝卜x kg，则批发白菜（40-x）kg.
可列方程：1.6x+1.2（40-x）=60
解得：x=30
40-x=10
=33（元）
答：他当天卖完这些萝卜和白菜共能赚33元。
【解析】【分析】根据购进的萝卜、白菜的总数量和价钱，通过设未知数列方程，分别求出萝卜、白菜的数量，结合两者的零售价即可解答。
31．规定一种新运算： 若2 [1 (-x)]=6，求x的值。
【答案】解：∵a b=a2-2b，
∴1 (-x)=1-(-2x)=1+2x，
∴2 [1 (-x)]=2 (1+2x)=4-2(1+2x)=4-2-4x=2-4x=6，
移项，得-4x=6-2，
合并同类项，得-4x=4，
系数化为1，得x=-1.
【解析】【分析】根据新运算定义法则分两次运算方程的左边部分得出一般的一元一次方程，然后根据解一元一次方程的步骤“移项、合并同类项、系数化为1”求解即可.
32．列方程解应用题
迎接2022年北京冬奥会，响应“三亿人上冰雪”的号召，全民参与冰雪运动的积极性不断提升．我国2019年总滑雪人次比2016年总滑雪人次多了约680.5万，2019年旱雪人次约占本年总滑雪人次的1.5%，比2016年总滑雪人次的2%多2.6万.2019年总滑雪人次是多少万？
【答案】解：设2016年总滑雪人次为万，则2019年总滑雪人次为：万，
2019年旱雪人次为：万，则
，
整理得：
解得：
所以2019年总滑雪人次为：万，
答2019年总滑雪人次为：万.
【解析】【分析】先求出 ， 再解方程即可。
33．为了迎接市“两型学校”达标检查，七年级（1）班分成两个组对学校的两个功能室进行卫生大扫除，若从第一组调4人到第二组，则两组人数相等；若从第二组调1人到第一组，则第一组是第二组的1.5倍．求七年级（1）班有多少人参加了卫生大扫除？
【答案】解：设第二组x人，则第一组（x+8）人，依题可得：
x+8+1=1.5（x-1），
解得：x=21；
∴第一组人数为：21+8=29（人），
七年级（1）班人数为：29+21=50（人）.
答：七年级（1）班有50人参加了卫生大扫除.
【解析】【分析】设第二组x人，则第一组（x+8）人，根据题意列出方程，解之即可.
34．少先队从夏令营到学校，先下山再走平路，一队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到学校共用了55分钟，回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，回到营地共花去了70分钟的时间，问夏令营到学校多少千米？
【答案】解：设走平路用了x小时，则下坡用了（ ﹣x）小时，上坡用了（ ﹣x）小时．
12（ ﹣x）=6（ ﹣x）
解得x=
于是，12（ ﹣x）+9x=9
答：夏令营到学校9千米
【解析】【分析】设走平路用了x小时，则下坡用了（ ﹣x）小时，上坡用了（ ﹣x）小时．根据“上山、下山的路程相等”列出方程并解答．
35． 2020年11月份，某人民商场开展了“内购专场·浓情答谢”闭门销售活动，本次活动中的服装消费券单笔交易满900元立减168元（每次只能使用一张）.某品牌服装按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该品牌服装时使用一张服装消费券后，又付现金768元.求该品牌服装的进价.
【答案】解：设该品牌服装进价为 元，
，
（元），
，
（元）；
答：该品牌服装的进价780元.
【解析】【分析】设该品牌服装进价为x元，则其标价为得(1+50%)x元，其售价为(1+50%)80％x元，实际付款为[(1+50%)80％x-168]元，进而列出方程，求出x的值，然后求出没有活动时应付的钱数，与900进行比较即可.
36．一根竹竿插入一水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，露出水面部分为米，竹竿有多长？水有多深？
【答案】解：设竹竿有x米，则竹竿入泥部分为米，则淤泥以上的入水部分为米，
由题意可得：，
解得，
则，
答：竹竿有3米，则水深为米．
【解析】【分析】本题中竹竿的总长＝露出水面的高度+淤泥以上的入水部分的高度+入泥部分的高度，据此列方程求解即可．
37．某市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米,其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米,问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米
【答案】解：设生产运营用水x亿立方米,则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米.
依题意,得5.8-x=3x+0.6,
解得x=1.3,
所以5.8-x=5.8-1.3=4.5.
答:生产运营用水1.3亿立方米,居民家庭用水4.5亿立方米.
【解析】【分析】设生产运营用水x亿立方米,则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米.根据“居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米”列出方程解之即可.
38．小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行．出发后两人相遇．相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚回到A地．
（1）两人的行进速度分别是多少？
（2）相遇后经过多少时间小强到达A地？
【答案】（1）解：设小刚的速度为，则相遇时小刚走了，小强走了，
由题意得，，
解得：，
则小强的速度为：，
答：两人的行进速度分别是，；
（2）解：．
答：相遇后经过小强到达A地．
【解析】【分析】（1）设小刚的速度为，则相遇时小刚走了，小强走了，根据相遇时两人所用时间相等，且两人所行路程之和为环形公路的距离，列出方程，即可求解；
（2）利用路程÷速度=时间，列出算式，即可求解.
（1）解：设小刚的速度为，则相遇时小刚走了，小强走了，
由题意得，，
解得：，
则小强的速度为：，
答：两人的行进速度分别是，；
（2）．
答：相遇后经过小强到达A地．
39．铜仁南方电网为响应国家节能减排政策，对铜仁居民用户实行阶梯电价收费，月用电量210度之内（包括210度），每度价格元，用电量210度至350度，每度比第一档次提价元，月用电量350度以上，每度比第一档提价元．
例：若某户月用电量400度，则需交电费．如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元．
问题：
（1）则小华家该月用电量属于第几档？并通过计算得出用电量是多少？
（2）若小红家这个月用电a度，交电费为b元，请你用含字母a，b表示小红家的用电费用．
【答案】（1）解：根据题意，当用电量为210度时，需要交纳元，
当用电量为350度时，需要交纳元，
∵，
∴小华家5月份的用电量在第二档，
设小华家5月份的用电量为x度，根据题意，得，
解得：，
答：小华家5月份的用电量为262度．
（2）解：由(1)得，当时，小华家的用电量在第一档，应该支付的费用为元；
当时，小华家的用电量在第二档，应该支付的费用为元；
当时，小华家的用电量在第三档，应该支付的费用为元．
【解析】【分析】（1）首先计算出 当用电量为210度 和 为350度时， 需交纳的电费分别为109.2元和189元，然后通过比较大小，得出 ， 即可得出 小华家5月份的用电量在第二档；然后可设小华家5月份的用电量为x度，根据小华家5月份的电费为元 ，可得出方程 ， 解方程即可得出答案；
（2）分成三个档次分别 用含字母a，b表示小红家的用电费用即可。
40．某校去年购进了一批数学作图教具，经了解，三角尺的单价比圆规的单价多4元，用1200元购进的三角尺与用800元购进的圆规个数相等。求去年购进的圆规和三角尺的单价各是多少元？
【答案】解：设圆规的单价为x元，则三角尺的单价为(x+4)元，根据题意得：
，解得x=8.
经检验，x=8是原方程的解且符合题意.
又x+4=8+4=12.
答：圆规的单价是8元，则三角尺的单价是12元.
【解析】【分析】根据圆规与三角尺的个数相等，列出关于总价与单价的方程，解出圆规和三角尺的单价。
41．好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为，高为的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为的个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，请你帮他计算杯子的高度．
【答案】解：设杯子的高度为．
根据题意，得 ．
解这个方程，得．
所以，杯子的高度是．
【解析】【分析】设杯子的高度为，利用“个小圆柱形杯子的体积等于圆柱形容器的体积 ”列出方程，再求解即可.
42．整理一批图书，甲单独整理需天完成，乙单独整理需天完成．
（1）现在甲、乙合作天后，剩下的由丙单独天完成如果整理这批图书由丙单独完成，需几天完成？
（2）如果甲、乙、丙一起合作，需几天完成？
【答案】（1）解：设整理这批图书由丙单独完成，需天完成，
，
解得，
答：如果整理这批图书由丙单独完成，需天完成；
（2）解：设甲、乙、丙一起合作，需天完成，
由题意可得：，
解得，
答：甲、乙、丙一起合作，需天完成．
【解析】【分析】（1）设整理这批图书由丙单独完成，需x天完成，根据题中的相等关系列出关于x的方程，解方程即可求解；
（2）设甲、乙、丙一起合作，需m天完成，根据题中的相等关系"甲、乙、丙的效率之和×工作时间=总工作量1"列出关于m的方程，解方程即可求解
43．如图，已知数轴上A，B两点的位置如图所示．动点P从A点出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒．
（1）A，B两点之间的距离为 ；
（2）在点P的运动过程中，将数轴沿点P对折，对折后与点B重合的点为B′．
①当t为何值时，点B′在点A的左侧，且与点A相距4个单位？
②当t为何值时，点P到点A的距离是点P到点B′距离的3倍.
【答案】（1）12
（2）①：B’：-1-4=-5
P：(-5+11)÷2=3
t=[3-(-1)]÷2=2
②：分类讨论：
情况一：当点P在点B’的右侧时，此时点P在点B左侧，
∵AP=3B’P，
∴AP=3BP，
∴AP=AB=×12=9.
求得：t1=9÷2=4.5
情况二：当点P在点B’的左侧时，此时点P在点B右侧，
∵AP=3B’P，
∴AP=3BP，
∴AP=AB=×12=18.
求得：t2=18÷2=9
综上所述，t=4.5或9.
【解析】【解答】解：（1）AB=11-（-1）=12；
【分析】（1）点A表示-1，点B表示11，可得 A，B两点之间的距离为12；
（2）① 由题意得 B′ 表示的数为-5，根据中点公式得P点表示的数为3，所以时间t=[3-(-1)]÷2=2秒；
②分类讨论：情况一：当点P在点B’的右侧时，此时点P在点B左侧，AP=AB=9，求得：t1=9÷2=4.5；
情况二：当点P在点B’的左侧时，此时点P在点B右侧，AP=AB=18，求得：t2=18÷2=9.
44．为了增强市民的节约用水意识，自来水公司实行阶梯收费，具体情况如表：
每月用水量 收费
不超过10吨的部分 水费1.6元/吨
10吨以上至20吨的部分 水费2元/吨
20吨以上的部分 水费2.4元/吨
（1）若小刚家6月份用水15吨，则小刚家6月份应缴水费 26元．（直接写出结果）
（2）若小刚家7月份的平均水费为1.75元/吨，则小刚家7月份的用水量为多少吨？
（3）若小刚家8月、9月共用水40吨，9月底共缴水费79.6元，其中含2元滞金（水费为每月底缴纳．因8月份的水费未按时缴，所以收取了滞纳金），已知9月份用水比8月份少，求小明算8、9月各用多少吨水？
【答案】（1）解：∵小刚家6月份用水15吨，
∴小刚家6月份应缴水费为10×1.6+（15-10）×2＝26（元），
故答案为：26.
（2）解：由题意知小刚家7月份的用水量超过10吨而不超过20吨，设小刚家7月份用水量为x吨，依题意得：
1.6×10+2（x-10）＝1.75x，
解得：x＝16，
答：小刚家7月份的用水量为16吨.
（3）解：因小刚家8月、9月共用水40吨，9月份用水比8月份少，所以8月份的用水量超过了20吨．
设小刚家9月份的用水量为x吨，则8月份的用水量为（40-x）吨，
①当x≤10时，依题意可得方程：1.6x+16+20+2.4（40-x-20）+2＝79.6
解得：x＝8，
②当10＜x＜20时，依题意得：16+2（x-10）+16+20+2.4（40-x-20）+2＝79.6
解得：x＝6不符合题意，舍去．
综上：小刚家8月份用水32吨，9月份用水8吨.
【解析】【分析】（1）根据10吨以上至20吨的部分的水价和用水量列式计算即可；
（2）由题意知小刚家7月份的用水量超过10吨而不超过20吨，设小刚家7月份用水量为x吨，根据题意列出一元一次方程，解方程即可；
（3）设小刚家9月份的用水量为x吨，则8月份的用水量为（40-x）吨，分两种情况：①当x≤10时，②当10＜x＜20时，分别列出方程，解方程即可求解.
45．如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
（1）线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
（2）若 ，点C是线段AB的巧点，则 ；
（3）如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由．
【答案】（1）是
（2）或或
（3）解：t秒后，，
①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；
②当P为A、Q的巧点时，
i）当，即时，
∴，
解得：；
ii）当，即时，
∴，
解得：；
iii）当，即时，
∴(12﹣t)，
解得：；
③当Q为A、P的巧点时，
i）当，即时，
∴，
解得：（舍去）；
ii）当，即时，
∴，
解得：；
iii）当，即时，
∴，
解得：；
综上，t为或3或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点．
【解析】【解答】（1）线段的中点把原线段分成两条相等的线段，原线段是所分成线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的“巧点”；
故答案为：是；
（2）解：∵线段，点C是线段AB的“巧点”，
∴①当时，
此时；
②当时，
此时；
③当时，
此时；
综上，AC的长为或或，
故答案为：或或．
【分析】（1）根据“巧点”的定义，进行判别即可；
（2）根据巧点的定义分成三种情况：①；②时；③；分别求得AC的长度即可；
（3） t秒后，， 然后分成两种情况：当点P为A、Q的巧点和点Q为A、P的巧点，根据巧点定义，分别列方程，即可求得t的值；
46．如图，某容器由 A，B，C三个连通长方体组成，其中A，B，C的底面积分别为25 cm2，10 cm2，5 cm2，C 的容积是整个容器容积的 (容器各面的厚度忽略不计)，A，B的总高度为12 cm。现以均匀的速度(单位：cm3/ min)向容器内注水，直到注满为止。已知单独注满 A，B分别需要的时间为10 min，8 min。求：
（1）注满整个容器所需的总时间。
（2）容器A 的高度和注水的速度。
【答案】（1）解：24( min)，
答：注满整个容器所需的总时间为24min；
（2）解：设容器A的高度为x( cm)，则容器B的高度为(12-x) cm，由题意，
得
解得 ，
10，
答：容器A的高度是4cm，注水的速度是10cm3/ min.
【解析】【分析】（1）由题意可得容器A、B的总容积占整个容器容积的（1-），从而得出在均匀注水的时候住满容器A、B需要的时间也就是注满整个容器所需的总时间（1-），据此列式计算；
（2）根据题意，可知容器A的高度为xcm，则可以用含x的代数式表示出容器B的高度，进而根据长方体体积计算公式，由容器A的容积÷注满水时间=容器B的容积÷注满水时间=注水速度，列出方程，求出x的值，从而可以求得容器A的高度和注水的速度.
47．如图所示是某年11月的日历表．
星期六 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30
请回答下列问题：
（1）若一竖列的三个数的和为42，请求出这三天的号数分别是多少？若和为44，能求出这三天是几号吗？为什么？
（2）若在的矩形方块中的四个数的和为80，请求出这四天的号数；
（3）如果是的矩形方块中，九个数的和是171，你能求出这九个数吗？若能，请求出这九个数；若不能，请说明理由：你能发现这九个数的和与最中间的数的有什么关系吗？
【答案】（1）解：设一竖列的三个数的中间一个数为x，则另外两个数为，，根据题意得：
，
解得：，
，，
∴这三天的号数分别是7，14，21；
设一竖列的三个数的中间一个数为y，则另外两个数为，，根据题意得：
，
解得：，
∵y必须取正整数，
∴这样三天的和不可能是44
（2）解：设的矩形方块中最小的数为，则另外三个数分别为，，，根据题意得：
，
解得：，
，，，
∴这四天的号数分别为16，17，23，24
（3）解：设的矩形方块中的中间的数为m，则其他的数可以表示为：，，，，，，，，根据题意得：
，
解得：，
其他的8个数为：，，，，，，，，
∴这9个数分别为：11，12，13，18，19，20，25，26，27．
这九个数的和正好是最中间的数的9倍
【解析】【分析】（1）设这一竖列中间的数为x，则另外两个数分别为为，，三个数的和等于42，据此列出一元一次方程求解即可；同理当和为44时，设中间的中间一个数为y，则另外两个数为，，三个数的和等于42，据此列出一元一次方程求解即可；
（2）设矩形方块中最小的数为，则另外三个数分别为，，，四个数之和等于80，据此列出一元一次方程求解即可；
（3）先假设这样一组数存在，设的矩形方块中的最中间的数为m，则其他的数可以表示为：，，，，，，，，九个数之和等于171，据此列出一元一次方程求解即可；结合另外八个数与最中间的数的在日历中的位置关系，可以推断出九个数之和应该是最中间的数的九倍.
48．2017年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到李坑景区游玩.甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人.经了解，李坑景区的门票价格如下表：
数量（张） 1﹣50 51﹣100 101张及以上
单价（元/张） 60元 50元 40元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元.
（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？
【答案】（1）解：如果甲、乙两单位联合起来购买门票需40×102=4080（元），
则比各自购买门票共可以节省：5500﹣4080=1420（元）；
（2）解：设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人．
依题意得：50x+60×（102﹣x）=5500，
解得：x=62．
则乙单位人数为：102﹣x=40．
答：甲单位有62人，乙单位有40人；
（3）解：方案一：各自购买门票需50×60+40×60=5400（元）；
方案二：联合购买门票需（50+40）×50=4500（元）；
方案三：联合购买101张门票需101×40=4040（元）；
综上所述：因为5400＞4500＞4040．
故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱．
【解析】【分析】（1）根据数量乘以单价可得联合起来的购买门票的费用，利用单独购买的费用减去联合起来的费用=节省费用即可解答；
（2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人，利用人数乘以单价=费用、两单位分别单独购买门票，一共应付5500元可得关于x的方程，解方程即可；
（3）根据表格中的数据得出购买方案，计算结果比较，从而可得结论.
49．某市出租车收费标准如下：以内（含）收费11元；至每收费3元；以上每收费4元．（不足以计算）
（1）小明家距离学校，某个周末，小明身边带了39元钱，问：小明从学校坐出租车到家的钱够吗？如果不够，他至少要先走多少路？
（2）某天，小明和爸爸分别从不同的地方坐出租车回家，正好同时到家，且正好都行了整，父子俩一合计，发现两人共行，共付车费67元，已知小明的行程超过，而父亲的行程在到之间，两人各行了多少？
【答案】（1）解：设小明身边带了39元钱可以坐车，由题意，得
，
解得：，
，
小明的钱不够，
前路程出租车收费为：（元），
（元），
以上每千米收费4元，则（元），
超过以上小明的剩余的钱只能坐，
小明至少要先走的路；
（2）解：设小明行了a千米，则小明爸爸行了千米，由题意，得
，
解得：．
则小明爸爸行驶的路程为：．
答：小明行了13千米，小明的爸爸行了7千米．
【解析】【分析】
（1）设小明身边带了39元钱可以坐车，根据相等关系“小明所带的钱=起步价11元+3km至10km所付费用+10km以上所付费用”可列关于x的方程，解方程求出x的值与比较大小可判断求解；
（2）设小明行了a千米，则小明爸爸行了千米，根据两人的总费用元列方程，解方程求可求解.
（1）解：设小明身边带了39元钱可以坐车，由题意，得
，
解得：，
，
小明的钱不够，
前路程出租车收费为：（元），
（元），
以上每千米收费4元，则（元），
超过以上小明的剩余的钱只能坐，
小明至少要先走的路；
（2）解：设小明行了a千米，则小明爸爸行了千米，由题意，得
，
解得：．
则小明爸爸行驶的路程为：．
答：小明行了13千米，小明的爸爸行了7千米．
50．某牛奶厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2000元.该工厂的生产能力是，如果制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温限制这批牛奶必须4天内全部销售或加工完毕.为此该厂设计了三种方案：
方案一：将鲜奶全部制成酸奶销售；
方案二：尽可能地制成奶片，其余的直接销售鲜奶；
方案三：将一部分制成奶片，其余的制成酸奶销售，并恰好4天完成.
你认为选择哪种方案获利最多？
【答案】解：方案一获利： 9×1200 = 10800（元） ；
方案二：由题意得，可以制成4吨奶片,剩余5吨直接销售则获利为：
4×2000+5×500=10500（元）；
方案三：设有x天生产酸奶，（4- x）天生产奶片，
3x +（4-x）=9，
x=2.5，
则获利为：
1200×2.5×3+2000×（4-2.5）=12000（元），
综上可得，10500元＜10800元＜12000元，
∴第三种方案获利最多，最多是12000元.
【解析】【分析】根据题中数据先分别求出方案一与方案二的获利； 设有x天生产酸奶，（4- x）天生产奶片，根据共有9吨，列出方程3x +（4-x）=9，求出x值，接着求出方案三的获利，然后比较即得结论.
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