9.7利用相似三角形测高 同步分层练习 （含答案）2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 9.7利用相似三角形测高 同步分层练习 （含答案）2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 338.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
9.7利用相似三角形测高
基础夯实
知识点一 利用阳光下的影子测量物体的高度
1.宁宁和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为 2.1m.若宁宁比爸爸矮0.3m ，则她的影长为 ( )
A.1.3m B.1.65 m C.1.75 m D.1.8m
2.(2024·临沂模拟)如图,在同一天测量某棵树在太阳光照射下的影长，A时测其影长为8 米，B时测其影长为18米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米.
知识点二 利用标杆测量物体的高度
3.[古代数学](2024·菏泽期末)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何 ”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆(如图所示)，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为 .
4.如图，路灯A 与地面的距离AB=8m，身高1.6 m 的小明与路灯底部的距离 BD =20 m,则小明影子长 DE= m.
5.(2024·潍坊潍城区期末)小亮运用《数书九章》中测量塔高的方法测量一幢楼房的高度.如图，MN 表示楼房的高，AB 表示一根直杆顶端B 到地面的高，CD 表示小亮的眼睛到地面的高，MN，AB，CD 在同一平面内，点C，A，M 在同一条直线上.已知AM=98 m,AB=3m,CD=1.6m ,CA=2m ,小亮从点 D 远眺楼顶N，视线恰好经过直杆的顶端B，请帮小亮求出楼房的高.
知识点三 利用镜子的反射测量物体的高度
6.如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图.在点 P处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端 C 处,若 AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=1.5m ,BP=2m ,PD=6m ,则该古城墙的高度CD 是 m.
7.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位
置为 B，测得脚掌中心位置 B 到镜面中心C的距离是 40 cm，镜面中心 C 距离旗杆底部D 的距离为5m ，如图，已知小丽同学的身高是1.66 m，眼睛位置 A 距离小丽头顶的距离是6 cm,求旗杆 DE 的高度.
能力提升
8.如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框 AB 在地面上的影长DE=3m，窗户下檐到地面的距离BC=5m ,EC=4m,那么窗户的高AB 为( )
A.2.75m B.3.25 m
C.3.5m D.3.75 m
9.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB 绕固定点O 旋转到位置 DC，已知栏杆 AB的长为3.5m ,OA 的长为3m,C 点到 AB 的距离为0.3m ,支柱OE 的高为0.6m ,则栏杆 D端离地面的距离为 m.
10.(2024·泰安宁阳县期末)某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度.采用以下方法：如图，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点 F 处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点 E 处，然后沿着直线BF 后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端 A.再用皮尺分别测量 BF，DF、EF，观测者目高(CD)的长.利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知 CD⊥BD于点 D,EF⊥BD 于点 F. AB⊥BD 于点 B,BF=6米,DF=2米,EF=0,55米,CD=1.65米,求这棵树的高度(AB 的长).
11.如图，一条河的两岸 BC 与 DE 互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是 10 m，在与河岸 DE 的距离为 16 m 的 A 处(AD⊥DE)看对岸 BC,看到对岸 BC 上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸 DE 上两个景观灯的灯杆遮住.河岸 DE 上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸 BC 上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度.
12.[教材 P114 方法 3 变式]数学实践小组想利用镜子测量池塘边一棵树的高度 AB.测量的部分步骤如下：①如图，树与地面垂直，在地面上的点 C 处放置一块镜子，小明站在 BC 的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点 A 时，测得小明到镜子的距离 CD=2米，小明的眼睛 E 到地面的距离ED=1.5米；②将镜子从点 C 沿 BC 的延长线向后移动 10 米到点 F 处，小明向后移动到点 H 处时，小明的眼睛 G 又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离 FH=3米.请计算树的高度 AB.
素养培优
13.张红武和学习小组的同学们想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵树的高度，经讨论之后大家决定用以下方法进行测量：首先准备一矩形的笔记本和一根笔直的长约 30 cm 的木条.测量时，如图，由一位同学把笔记本拿在手里(笔记本封面所在平面在竖直平面内)，另一位同学沿笔记本 DA 边观察树的顶端，调整角度之后使树的顶端 M 与 DA 边在一条直线上.这时让木条的一端与点 A 重合.用手捏住这一端，并使木条自然下垂，这时木条与 BC 边交于点 E.经测量点 A 到地面的距离为1.2m ，笔记本的长 AD=20 cm，宽AB=14 cm，BE=8 cm.一位同学从点 A 的正下方走向树的底部共走了 21 步，若该同学每一步的长为 40 cm，请求出这棵树(MN)的高度.
1. C
2.12 解析:如图,CD⊥CE,CF⊥DE,则∠DCF+∠ECF=90°,∠ECF+∠E=90°,∴∠DCF=∠E.
∵∠CFD=∠CFE=90°,
∴△CDF∽△ECF,
即CF =EF·DF=18×8=144,
∴CF=12(米).
3.四丈五尺 解析：设竹竿的长度为x 尺.
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，标杆的影长五寸=0.5尺，
∴由相似原理可知 解得x=45.
即竹竿的长为四丈五尺，
4.5
5.解:如图,过点 D 作DF⊥MN 于点F,交AB 于点E,
则AE=MF=CD=1.6m,DE=AC=2m,EF=AM=98 m,
∴BE=AB-AE=1.4m,DF=DE+EF=100m.
由题意,得BE∥FN,∴△DBE∽△DNF,∴B=DE.
∴MN=FN+FM=70+1.6=71.6(m).
则楼房的高为71.6m .
6.4.5
7.解:由题意,得AB=166-6=160(cm),BC=40 cm,CD=5m=500 cm,∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC∽△EDC,∴△B==00,|即
解得 DE=2 000,2 000 cm=20 m,
故旗杆 DE 的高度为20 m.
8. D 解析:方法一:由题意,得BE∥AD,
∴∠A=∠CBE,∠D=∠CEB,
∴△CBE∽△CAD,
解得AB=3.75,
∴窗户的高AB 为3.75 m.故选 D.
方法二:由题意,得BE∥AD,
即
得AB=3.75.
∴窗户的高 AB 为 3.75 m.故选 D.
9.2.4 解析:如图,过 D 作DG⊥AB于G,过 C 作 CH⊥AB 于 H,则DG∥CH,
∴△ODG∽△OCH,
由题意,得CD=AB=3.5m,OD=OA=3m,CH=0.3m,
∴OC=CD-OD=0.5m,
∴DG=1.8.
∵OE=0.6m,
∴栏杆D 端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m).
10.解：过点 E 作水平线交AB 于点G,交CD 于点H,如图.
∵DB 是水平线,CD⊥BD,EF⊥BD,AB⊥BD.
∴四边形 HDFE,EFBG 都是矩形,
∴DH=EF=GB=0.55米,EH=DF=2米,EG=FB=6米,
∴CH=CD-DH=1.65-0.55=1.1(米)。
又根据题意,得∠CHE=∠AGE=90°,∠CEH=∠AEG。
∴△CHE∽△AGE。
即
解得AG=3.3,
∴AB=AG+GB=3.3+0.55=3.85(米).
答：这棵树的高度为3.85米.
11.解:由题意,得AD⊥DE,DE∥BC,DE=20m,BC=50 m,AD=16 m,
∴AB⊥BC,△ADE∽△ABC,
∴BD=AB-AD=40-16=24(m),
答：这条河的宽度为24 m.
12.解:设AB=x米,BC=y米.
由题意,得∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC∽△EDC,
由题意,得∠ABF=∠GHF=90°,∠AFB=∠GFH,
∴△ABF∽△GHF,
解得y=20.
把y=20代入 中,得x=15.
∴树的高度AB 为15米.
13.解:如图,根据题意,可知 NP=
21×0.4=8.4m,AB= 0.14 m.
BE=0.08m,AP=1.2m.
由题意,得BF∥MQ,
∴△EPF∽△APQ.
∵∠B=∠APF,∠AEB=∠PEF,
∴△EPF∽△EBA,
∴△APQ∽△EBA,
即
解得 PQ=2.1.
∵AP∥MN,∴△APQ∽△MNQ……=∞,
解得MN=6.
答:这棵树(MN)的高度为 6m .
基础夯实
知识点一 利用阳光下的影子测量物体的高度
1.宁宁和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为 2.1m.若宁宁比爸爸矮0.3m ，则她的影长为 ( )
A.1.3m B.1.65 m C.1.75 m D.1.8m
2.(2024·临沂模拟)如图,在同一天测量某棵树在太阳光照射下的影长，A时测其影长为8 米，B时测其影长为18米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米.
知识点二 利用标杆测量物体的高度
3.[古代数学](2024·菏泽期末)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何 ”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆(如图所示)，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为 .
4.如图，路灯A 与地面的距离AB=8m，身高1.6 m 的小明与路灯底部的距离 BD =20 m,则小明影子长 DE= m.
5.(2024·潍坊潍城区期末)小亮运用《数书九章》中测量塔高的方法测量一幢楼房的高度.如图，MN 表示楼房的高，AB 表示一根直杆顶端B 到地面的高，CD 表示小亮的眼睛到地面的高，MN，AB，CD 在同一平面内，点C，A，M 在同一条直线上.已知AM=98 m,AB=3m,CD=1.6m ,CA=2m ,小亮从点 D 远眺楼顶N，视线恰好经过直杆的顶端B，请帮小亮求出楼房的高.
知识点三 利用镜子的反射测量物体的高度
6.如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图.在点 P处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端 C 处,若 AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=1.5m ,BP=2m ,PD=6m ,则该古城墙的高度CD 是 m.
7.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位
置为 B，测得脚掌中心位置 B 到镜面中心C的距离是 40 cm，镜面中心 C 距离旗杆底部D 的距离为5m ，如图，已知小丽同学的身高是1.66 m，眼睛位置 A 距离小丽头顶的距离是6 cm,求旗杆 DE 的高度.
能力提升
8.如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框 AB 在地面上的影长DE=3m，窗户下檐到地面的距离BC=5m ,EC=4m,那么窗户的高AB 为( )
A.2.75m B.3.25 m
C.3.5m D.3.75 m
9.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB 绕固定点O 旋转到位置 DC，已知栏杆 AB的长为3.5m ,OA 的长为3m,C 点到 AB 的距离为0.3m ,支柱OE 的高为0.6m ,则栏杆 D端离地面的距离为 m.
10.(2024·泰安宁阳县期末)某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度.采用以下方法：如图，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点 F 处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点 E 处，然后沿着直线BF 后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端 A.再用皮尺分别测量 BF，DF、EF，观测者目高(CD)的长.利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知 CD⊥BD于点 D,EF⊥BD 于点 F. AB⊥BD 于点 B,BF=6米,DF=2米,EF=0,55米,CD=1.65米,求这棵树的高度(AB 的长).
11.如图，一条河的两岸 BC 与 DE 互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是 10 m，在与河岸 DE 的距离为 16 m 的 A 处(AD⊥DE)看对岸 BC,看到对岸 BC 上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸 DE 上两个景观灯的灯杆遮住.河岸 DE 上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸 BC 上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度.
12.[教材 P114 方法 3 变式]数学实践小组想利用镜子测量池塘边一棵树的高度 AB.测量的部分步骤如下：①如图，树与地面垂直，在地面上的点 C 处放置一块镜子，小明站在 BC 的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点 A 时，测得小明到镜子的距离 CD=2米，小明的眼睛 E 到地面的距离ED=1.5米；②将镜子从点 C 沿 BC 的延长线向后移动 10 米到点 F 处，小明向后移动到点 H 处时，小明的眼睛 G 又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离 FH=3米.请计算树的高度 AB.
素养培优
13.张红武和学习小组的同学们想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵树的高度，经讨论之后大家决定用以下方法进行测量：首先准备一矩形的笔记本和一根笔直的长约 30 cm 的木条.测量时，如图，由一位同学把笔记本拿在手里(笔记本封面所在平面在竖直平面内)，另一位同学沿笔记本 DA 边观察树的顶端，调整角度之后使树的顶端 M 与 DA 边在一条直线上.这时让木条的一端与点 A 重合.用手捏住这一端，并使木条自然下垂，这时木条与 BC 边交于点 E.经测量点 A 到地面的距离为1.2m ，笔记本的长 AD=20 cm，宽AB=14 cm，BE=8 cm.一位同学从点 A 的正下方走向树的底部共走了 21 步，若该同学每一步的长为 40 cm，请求出这棵树(MN)的高度.
1. C
2.12 解析:如图,CD⊥CE,CF⊥DE,则∠DCF+∠ECF=90°,∠ECF+∠E=90°,∴∠DCF=∠E.
∵∠CFD=∠CFE=90°,
∴△CDF∽△ECF,
即CF =EF·DF=18×8=144,
∴CF=12(米).
3.四丈五尺 解析：设竹竿的长度为x 尺.
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，标杆的影长五寸=0.5尺，
∴由相似原理可知 解得x=45.
即竹竿的长为四丈五尺，
4.5
5.解:如图,过点 D 作DF⊥MN 于点F,交AB 于点E,
则AE=MF=CD=1.6m,DE=AC=2m,EF=AM=98 m,
∴BE=AB-AE=1.4m,DF=DE+EF=100m.
由题意,得BE∥FN,∴△DBE∽△DNF,∴B=DE.
∴MN=FN+FM=70+1.6=71.6(m).
则楼房的高为71.6m .
6.4.5
7.解:由题意,得AB=166-6=160(cm),BC=40 cm,CD=5m=500 cm,∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC∽△EDC,∴△B==00,|即
解得 DE=2 000,2 000 cm=20 m,
故旗杆 DE 的高度为20 m.
8. D 解析:方法一:由题意,得BE∥AD,
∴∠A=∠CBE,∠D=∠CEB,
∴△CBE∽△CAD,
解得AB=3.75,
∴窗户的高AB 为3.75 m.故选 D.
方法二:由题意,得BE∥AD,
即
得AB=3.75.
∴窗户的高 AB 为 3.75 m.故选 D.
9.2.4 解析:如图,过 D 作DG⊥AB于G,过 C 作 CH⊥AB 于 H,则DG∥CH,
∴△ODG∽△OCH,
由题意,得CD=AB=3.5m,OD=OA=3m,CH=0.3m,
∴OC=CD-OD=0.5m,
∴DG=1.8.
∵OE=0.6m,
∴栏杆D 端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m).
10.解：过点 E 作水平线交AB 于点G,交CD 于点H,如图.
∵DB 是水平线,CD⊥BD,EF⊥BD,AB⊥BD.
∴四边形 HDFE,EFBG 都是矩形,
∴DH=EF=GB=0.55米,EH=DF=2米,EG=FB=6米,
∴CH=CD-DH=1.65-0.55=1.1(米)。
又根据题意,得∠CHE=∠AGE=90°,∠CEH=∠AEG。
∴△CHE∽△AGE。
即
解得AG=3.3,
∴AB=AG+GB=3.3+0.55=3.85(米).
答：这棵树的高度为3.85米.
11.解:由题意,得AD⊥DE,DE∥BC,DE=20m,BC=50 m,AD=16 m,
∴AB⊥BC,△ADE∽△ABC,
∴BD=AB-AD=40-16=24(m),
答：这条河的宽度为24 m.
12.解:设AB=x米,BC=y米.
由题意,得∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC∽△EDC,
由题意,得∠ABF=∠GHF=90°,∠AFB=∠GFH,
∴△ABF∽△GHF,
解得y=20.
把y=20代入 中,得x=15.
∴树的高度AB 为15米.
13.解:如图,根据题意,可知 NP=
21×0.4=8.4m,AB= 0.14 m.
BE=0.08m,AP=1.2m.
由题意,得BF∥MQ,
∴△EPF∽△APQ.
∵∠B=∠APF,∠AEB=∠PEF,
∴△EPF∽△EBA,
∴△APQ∽△EBA,
即
解得 PQ=2.1.
∵AP∥MN,∴△APQ∽△MNQ……=∞,
解得MN=6.
答:这棵树(MN)的高度为 6m .