9.6黄金分割 同步练习（含答案） 2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

9.6黄金分割
基础夯实
1.(山西中考)神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的 比约为0.618.这体现了数学中的 ( )
A.平移 B.旋转
C.轴对称 D.黄金分割
2.已知线段AB=2,点 P 是线段AB 的黄金分割点(AP>BP),则线段AP 的长为( )
A. B. C. D.
3.若 P 是线段 AB 上一点(AP>BP),且满足 则称点 P 是线段AB 的黄金分割点.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”.如图，一片树叶的叶脉AB 长度为 10 cm,P 为 AB 的黄金分割点(AP>BP),求叶柄 BP 的长度.设 BP =x cm，则符合题意的方程是 ( )
A. B.
C. x(10-x)=10 D.
4.(2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点 A，B 分别在习字格的边MN，PQ上,且AB∥NP, “晋”字的笔画“、”的位置在AB 的黄金分割点 C 处，且 若NP=2cm ,则 BC 的长为 cm.(结果保留根号)
5.九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图(如图1)比较美观，通过手绘(如图 2)、测量、计算发现点 E 是 AD 的黄金分割点，即 DE≈0.618AD.延长 HF 与 AD 相交于点 G,则EG≈ DE.(精确到0.001)
能力提升
6.在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为 2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01 m.参考数据: ( )
A.0.73m B.1.24 m
C.1.37 m D.1.42 m
7.宽与长的比是 (约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形，如图，作正方形ABCD，分别取 AD,BC 的中点 E,F,连接 EF;以点 F为圆心，FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G;作 GH⊥AD,交 AD 的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是 ( )
A.矩形 ABFE B.矩形EFCD
C.矩形 EFGH D.矩形 DCGH
8.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置(如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618).若车头与倒车镜的水平距离为1.91 m，则该车车身总长为 m.
9.古希腊的毕达哥拉斯在 2 500 年前曾经大胆断言，一条线段(AB)的某一部分(AC)与另一部分(BC)之比，如果正好等于另一部分(BC)同整个线段(AB)的比(即. AB)，那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段(AB)的点 C 称为线段AB 的“黄金分割点”，如图所示，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长 20 m 的舞台 AB 上，主持人从 A 点向 B 点走多少米，他的站台最得体 (取
素养培优
10. 如图,在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,且DB=DC=AC,已知∠ACE=108°,BC=2.
(1)求∠B 的度数;
(2)我们把有一个内角等于 36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比
①写出图中所有黄金三角形，选一个说明理由；
②求 AD 的长;
③在直线 AB 或 BC 上是否存在点 P(点 A,B 除外)，使△PDC 是黄金三角形 若存在，在图中画出点 P，简要说明画出点 P 的方法(不要求证明)；若不存在，说明理由.
1. D 2. D 3. A 4.( -1)5.0.618 6. B 7. D 8.5
9.解：设主持人从A 点向 B 点走 x m到达C 点时，他的站台最得体.
∴AC=x m,BC=AB-AC=(20-x)m.
①当AC整理得
解得 (不合题意，舍去)；②当AC>BC时,
整理得
解得 (不合题意，舍去)、
综上所述，主持人从A 点向 B 点走 S m或12m时，他的站台最得体.
10.解:(1)∵BD=DC=AC,
∴∠B=∠DCB,∠CDA=∠A.
设∠B=x,则∠DCB=x,∴∠CDA=∠A=2x.
又∠ACE=108°,
∴∠B+∠A=108°,
∴x+2x=108°,解得.
∴∠B=36°.
(2)①图中的黄金三角形有三个:△BDC,△ADC,△BAC.
选△BDC,理由如下:
∵DB=DC,∠B=36°,
∴△DBC 是页金三角形.(选其他三角形，理由合理即可)
②∵△BAC 是黄金三角形,∠B=36°,
∴BA=BC=2,BD=AC= -1.
③存在，有三个符合条件的点 P ，P ,P .
i，以CD 为底边的黄金三角形：作CD 的垂直平分线分别交直线AB，BC 得到点P ,P .
il，以CD 为腰的黄金三角形：以点C 为圆心，CD为半径作弧与BC 的交点为点P .