第九章 图形的相似章末复习（含答案） 2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第九章 图形的相似章末复习（含答案） 2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 480.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
第九章 图形的相似章末复习
考点一 平行线分线段成比例
1.(常州中考)小明按照以下步骤画线段AB 的三等分点：
画法 图形
(1)以A 为 端 点 画 一 条射线： (2)用圆规在射线上依次截取 S 条等长线段 AC,CD,DE、连接BE; (3)过点C,D 分别画 BE 的平行线、交线段 AB 于点M、N、M,N 就是线段AB的三等分点.
这一画图过程体现的数学依据是 ( )
A.两直线平行，同位角相等
B.两条平行线之间的距离处处相等
C.垂直于同一条直线的两条直线平行
D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
2.如图,AB∥CD∥EF,AD : DF =3 : 1,BE=12,那么CE 的长为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
3.将含有 30°的三角板 ABC 按如图所示放置，点A 在直线 DE 上，其中 ,分别过点 B,C 作直线 DE 的平行线 FG,HI,点 B 到直线 DE,HI 的距离分别为h ,h ,则h b 的值为 ( )
A.1 B.
C. D.
考点二 相似多边形及黄金分割
4.下列两个图形一定相似的是 ( )
A.两个菱形 B.两个正方形
C.两个矩形 D.两个梯形
5.已知线段 MN 的长为2 厘米,P 是线段MN的黄金分割点，那么较长的线段 MP 的长是 厘米.
考点三 相似三角形的判定与性质
6.(贵阳中考改编)如图,在△ABC 中,D 是AB 边上的点,∠B=∠ACD,AC : AB =1：2，则不正确的是 ( )
A. AC=2AD
B.∠CAB=∠BCD
C. S△BCD=3S△ADC
D.△ADC 与△ACB 的周长比是1:2
7.(陕西中考)如图,DE 是△ABC 的中位线,点 F 在 DB 上,DF =2BF.连接 EF 并延长,与CB 的延长线相交于点M.若 BC=6,则线段CM 的长为 ( )
A. B.7 A. D.8
8.(2024·山东)如图,点 E 为 ABCD 的对角线AC 上一点,AC=5,CE=1,连接 DE 并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF为 ( )
A. B.3 A. D.4
9.如图，在平面直角坐标系中，点A(4，3)，点B 在 x 轴的正半轴上,且 OA=AB,将△OAB 沿x 轴向右平移得到△ECD,AB 与CE 交于点F.若CF :EF=3:1,则点 D 的坐标为 .
10.如图,点 P 是边长为2 的正方形 ABCD 的对角线BD 上的动点，过点 P 分别作 PE⊥BC 于点E,PF⊥DC 于点 F,连接 AP 并延长，交射线 BC 于点 H，交射线 DC 于点M,连接 EF 交AH 于点G,当点 P 在 BD上运动时(不包括 B，D两点)，以下结论：
①MF=MC;
②AH⊥EF;
④EF 的最小值是
其中正确的是 .(把你认为正确结论的序号都填上)
11.如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB,AE⊥CD,垂足为点 E,过点 E 作EF∥BC,交 AC 于点 F,G 为 BC 的中点,连接FG.求证：
12.【基础巩固】
(1)如图1,在△ABC 中,D,E,F 分别为AB,AC,BC 上的点,DE∥BC,BF=CF,AF 交DE 于点G,求证:DG=EG;
【尝试应用】
(2)如图2,在(1)的条件下.连接CD. CG.若CG⊥DE. CD=6,AE=3,求 的值：
【拓展提高】
(3)如图 3,在 ABCD 中,∠ADC=45°,AC 与 BD 交于点 O,E 为 AO 上一点,EG∥BD 交AD 于点G,EF⊥EG 交BC 于点 F.若∠EGF = 40°, FG 平分∠EFC,FG=10,求 BF 的长.
考点四 相似三角形的实际应用
13.(南充中考)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小非同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为 ( )
A.6.4m B.8 m
C.9.6m D.12.5m
14.(2024·北京中学模拟)如图，小军、小珠之间的距离为4.6m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.6m ,已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.6m ，则路灯的高为 m.
15.如图是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格.数学兴趣小组测量善导塔的高度 AB，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离塔底 B 点45 m远的D 处竖立一根高1.5m 的标杆CD，小明在F 处蹲下，他的眼睛所在位置 E、标杆的顶端C 和塔顶点 A 三点在一条直线上.已知小明的眼睛到地面的距离 EF =0.8 m，DF=1 m,AB⊥BM,CD⊥BM,EF⊥BM,点 B,D,F,M 在同一直线上.
方案二：如图 2，小华拿着一把长为 22 cm的直尺CD 站在离善导塔45 m的地方(即点 E 到AB 的距离为45 m).他把手臂向前伸，尺子竖直，CD∥AB，尺子两端恰好遮住善导塔(即 A,C,E 在一条直线上,B,D,E在一条直线上)，已知点 E 到直尺CD 的距离为30cm.
请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度AB.
考点五 位似
16.如图，正方形 ABCD 的两边BC，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形 A'B'C'D'与正方形ABCD 是以AC 的中点O'为中心的位似图形，已知 若点 A′的坐标为(1，2),则正方形 A'B'C'D'与正方形ABCD 的相似比是 ( )
A. B. C. D.
17.由12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB =∠BOC=∠COD=…=∠LOM =30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB 位似的三角形的面积为 （ ）
A. B.
C. D.
18.如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3,1),B(1,2),C(4,3).以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC 放大为原来的2 倍得到△A B C ,作出△A B C ,并写出A ,B ,C 的坐标.
1. D 2. A
3. B 解析:如图,设CA 交FG 于点M.
∵∠CAB=30°,∠BAD=15°,
∴∠DAC=∠BAD+∠CAB=45°.
∵FG∥DE,∴∠CMB=∠DAC=45°,
∴三角形 BCM 为等腰直角三角形,∴CB=CM.
在 Rt△ABC 中,设BC 的长为x,则CM=BC=x.
∵HI∥FG∥DE,
4,B 5.( -1) 6. B
7. C 解析:∵DE 是△ABC 的中位线,
∴△DEF∽△BMF,
故选C.
8. B 解析:如图,延长DF 和AB,交于G点.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AB,DC=AB,即DC∥AG,
∵AC=5,CE=1,∴AE=AC-CE=5-1=4,
又∵EF=DE,DC=AB,
∴△BGF∽△AGE,
∵AE=4,∴BF=3,故选B.
9.(14,0) 10.②③④
11.证明:如图,延长AE交BC于 H.
∵CD 平分∠ACB,AE⊥CD,
∴∠ACE=∠HCE,∠AEC=∠HEC=90°.
∵∠ACE=∠HCE,CE=CE,∠AEC=∠HEC=90°,
∴△ACE≌△HCE(ASA),
∵EF∥BC,∴∠AEF=∠AHC,∠AFE=∠ACH,
即AC=2AF,
∴F是AC的中点.
又∵G是BC的中点,∴FG是△ABC 的中位线,
12.(1)证明:∵DE∥BC,
∴△AGD∽△AFB,△AGE∽△AFC,
∵BF=CF,∴DG=EG.
(2)解:∵DG=EG,CG⊥DE,∴CE=CD=6.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
(3)解:如图,延长GE 交AB 于 M,连接 MF,过点 M 作MN⊥BC于N。
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴OB=OD,∠ABC=∠ADC=45°.
∵MG∥BD,同(1)可得ME=GE.
∵EF⊥EG,∴FM=FG=10.
在 Rt△GEF 中,∵∠EGF=40°,
∵FG平分∠EFC,∴∠GFC=∠EFG=50°.
∵FM=FG,EF⊥GM,∴∠MFE=∠EFG=50°,
∵∠ABC=45°,∴BN=MN=5,
13. B 解析:如图所示,由图可知AB⊥BD,CD⊥DE,CF⊥BD,
∴∠FCB=∠FCD=90°,∠ABC=∠CDE=90°.
∵根据镜面的反射性质，知∠ACF=∠ECF,
∴∠ACB=∠ECD,
∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10 m，
∴AB=1.6m,BC=2m,CD=10m,∴ =
∴DE=8m.故选 B.
14.4 解析:如图,∵CD∥AB∥MN,
∴△CDE∽△ABE,△MNF∽△ABF,
解得AB=4.即路灯的高为4m .
15.解：选择方案一：
如图1,过点E作EH⊥CD,垂足为 H,延长EH 交AB 于点G.
由题意,得EG⊥AB,EF=DH=BG=0.8 m,EH=DF=1m,EG=BF=BD+DF=45+1=46(m),
∴∠CHE=∠AGE=90°.
∵CD=1.5m,∴CH=CD-DH=1.5-0.8=0.7(m).
∵∠CEH=∠AEG,∴△CEH∽△AEG、
∴AB=AG+BG=32.2+0. S=33(m),
∴善导塔的高度AB 为33 m.
选择方案二：
如图2,过点E 作EM⊥CD,垂足为M,延长EM 交AB 于点 N.
∵CD∥AB,∴EN⊥AB.
由题意,得CD=22 cm=0.22 m,EM=30 cm=0.3m ,EN=45 m.
∵CD∥AB,∴∠EDC=∠EBA,∠ECD=∠EAB,
∴△ECD∽△EAB,∴B=CD,
解得AB=33.
∴善导塔的高度AB 为33 m.
(答案不唯一)
16. B 17. C
18.解:如图,△A B C 即为所求.
A (6,2),B (2,4),C (8,6).
考点一 平行线分线段成比例
1.(常州中考)小明按照以下步骤画线段AB 的三等分点：
画法 图形
(1)以A 为 端 点 画 一 条射线： (2)用圆规在射线上依次截取 S 条等长线段 AC,CD,DE、连接BE; (3)过点C,D 分别画 BE 的平行线、交线段 AB 于点M、N、M,N 就是线段AB的三等分点.
这一画图过程体现的数学依据是 ( )
A.两直线平行，同位角相等
B.两条平行线之间的距离处处相等
C.垂直于同一条直线的两条直线平行
D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
2.如图,AB∥CD∥EF,AD : DF =3 : 1,BE=12,那么CE 的长为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
3.将含有 30°的三角板 ABC 按如图所示放置，点A 在直线 DE 上，其中 ,分别过点 B,C 作直线 DE 的平行线 FG,HI,点 B 到直线 DE,HI 的距离分别为h ,h ,则h b 的值为 ( )
A.1 B.
C. D.
考点二 相似多边形及黄金分割
4.下列两个图形一定相似的是 ( )
A.两个菱形 B.两个正方形
C.两个矩形 D.两个梯形
5.已知线段 MN 的长为2 厘米,P 是线段MN的黄金分割点，那么较长的线段 MP 的长是 厘米.
考点三 相似三角形的判定与性质
6.(贵阳中考改编)如图,在△ABC 中,D 是AB 边上的点,∠B=∠ACD,AC : AB =1：2，则不正确的是 ( )
A. AC=2AD
B.∠CAB=∠BCD
C. S△BCD=3S△ADC
D.△ADC 与△ACB 的周长比是1:2
7.(陕西中考)如图,DE 是△ABC 的中位线,点 F 在 DB 上,DF =2BF.连接 EF 并延长,与CB 的延长线相交于点M.若 BC=6,则线段CM 的长为 ( )
A. B.7 A. D.8
8.(2024·山东)如图,点 E 为 ABCD 的对角线AC 上一点,AC=5,CE=1,连接 DE 并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF为 ( )
A. B.3 A. D.4
9.如图，在平面直角坐标系中，点A(4，3)，点B 在 x 轴的正半轴上,且 OA=AB,将△OAB 沿x 轴向右平移得到△ECD,AB 与CE 交于点F.若CF :EF=3:1,则点 D 的坐标为 .
10.如图,点 P 是边长为2 的正方形 ABCD 的对角线BD 上的动点，过点 P 分别作 PE⊥BC 于点E,PF⊥DC 于点 F,连接 AP 并延长，交射线 BC 于点 H，交射线 DC 于点M,连接 EF 交AH 于点G,当点 P 在 BD上运动时(不包括 B，D两点)，以下结论：
①MF=MC;
②AH⊥EF;
④EF 的最小值是
其中正确的是 .(把你认为正确结论的序号都填上)
11.如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB,AE⊥CD,垂足为点 E,过点 E 作EF∥BC,交 AC 于点 F,G 为 BC 的中点,连接FG.求证：
12.【基础巩固】
(1)如图1,在△ABC 中,D,E,F 分别为AB,AC,BC 上的点,DE∥BC,BF=CF,AF 交DE 于点G,求证:DG=EG;
【尝试应用】
(2)如图2,在(1)的条件下.连接CD. CG.若CG⊥DE. CD=6,AE=3,求 的值：
【拓展提高】
(3)如图 3,在 ABCD 中,∠ADC=45°,AC 与 BD 交于点 O,E 为 AO 上一点,EG∥BD 交AD 于点G,EF⊥EG 交BC 于点 F.若∠EGF = 40°, FG 平分∠EFC,FG=10,求 BF 的长.
考点四 相似三角形的实际应用
13.(南充中考)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小非同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为 ( )
A.6.4m B.8 m
C.9.6m D.12.5m
14.(2024·北京中学模拟)如图，小军、小珠之间的距离为4.6m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.6m ,已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.6m ，则路灯的高为 m.
15.如图是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格.数学兴趣小组测量善导塔的高度 AB，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离塔底 B 点45 m远的D 处竖立一根高1.5m 的标杆CD，小明在F 处蹲下，他的眼睛所在位置 E、标杆的顶端C 和塔顶点 A 三点在一条直线上.已知小明的眼睛到地面的距离 EF =0.8 m，DF=1 m,AB⊥BM,CD⊥BM,EF⊥BM,点 B,D,F,M 在同一直线上.
方案二：如图 2，小华拿着一把长为 22 cm的直尺CD 站在离善导塔45 m的地方(即点 E 到AB 的距离为45 m).他把手臂向前伸，尺子竖直，CD∥AB，尺子两端恰好遮住善导塔(即 A,C,E 在一条直线上,B,D,E在一条直线上)，已知点 E 到直尺CD 的距离为30cm.
请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度AB.
考点五 位似
16.如图，正方形 ABCD 的两边BC，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形 A'B'C'D'与正方形ABCD 是以AC 的中点O'为中心的位似图形，已知 若点 A′的坐标为(1，2),则正方形 A'B'C'D'与正方形ABCD 的相似比是 ( )
A. B. C. D.
17.由12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB =∠BOC=∠COD=…=∠LOM =30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB 位似的三角形的面积为 （ ）
A. B.
C. D.
18.如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3,1),B(1,2),C(4,3).以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC 放大为原来的2 倍得到△A B C ,作出△A B C ,并写出A ,B ,C 的坐标.
1. D 2. A
3. B 解析:如图,设CA 交FG 于点M.
∵∠CAB=30°,∠BAD=15°,
∴∠DAC=∠BAD+∠CAB=45°.
∵FG∥DE,∴∠CMB=∠DAC=45°,
∴三角形 BCM 为等腰直角三角形,∴CB=CM.
在 Rt△ABC 中,设BC 的长为x,则CM=BC=x.
∵HI∥FG∥DE,
4,B 5.( -1) 6. B
7. C 解析:∵DE 是△ABC 的中位线,
∴△DEF∽△BMF,
故选C.
8. B 解析:如图,延长DF 和AB,交于G点.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AB,DC=AB,即DC∥AG,
∵AC=5,CE=1,∴AE=AC-CE=5-1=4,
又∵EF=DE,DC=AB,
∴△BGF∽△AGE,
∵AE=4,∴BF=3,故选B.
9.(14,0) 10.②③④
11.证明:如图,延长AE交BC于 H.
∵CD 平分∠ACB,AE⊥CD,
∴∠ACE=∠HCE,∠AEC=∠HEC=90°.
∵∠ACE=∠HCE,CE=CE,∠AEC=∠HEC=90°,
∴△ACE≌△HCE(ASA),
∵EF∥BC,∴∠AEF=∠AHC,∠AFE=∠ACH,
即AC=2AF,
∴F是AC的中点.
又∵G是BC的中点,∴FG是△ABC 的中位线,
12.(1)证明:∵DE∥BC,
∴△AGD∽△AFB,△AGE∽△AFC,
∵BF=CF,∴DG=EG.
(2)解:∵DG=EG,CG⊥DE,∴CE=CD=6.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
(3)解:如图,延长GE 交AB 于 M,连接 MF,过点 M 作MN⊥BC于N。
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴OB=OD,∠ABC=∠ADC=45°.
∵MG∥BD,同(1)可得ME=GE.
∵EF⊥EG,∴FM=FG=10.
在 Rt△GEF 中,∵∠EGF=40°,
∵FG平分∠EFC,∴∠GFC=∠EFG=50°.
∵FM=FG,EF⊥GM,∴∠MFE=∠EFG=50°,
∵∠ABC=45°,∴BN=MN=5,
13. B 解析:如图所示,由图可知AB⊥BD,CD⊥DE,CF⊥BD,
∴∠FCB=∠FCD=90°,∠ABC=∠CDE=90°.
∵根据镜面的反射性质，知∠ACF=∠ECF,
∴∠ACB=∠ECD,
∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10 m，
∴AB=1.6m,BC=2m,CD=10m,∴ =
∴DE=8m.故选 B.
14.4 解析:如图,∵CD∥AB∥MN,
∴△CDE∽△ABE,△MNF∽△ABF,
解得AB=4.即路灯的高为4m .
15.解：选择方案一：
如图1,过点E作EH⊥CD,垂足为 H,延长EH 交AB 于点G.
由题意,得EG⊥AB,EF=DH=BG=0.8 m,EH=DF=1m,EG=BF=BD+DF=45+1=46(m),
∴∠CHE=∠AGE=90°.
∵CD=1.5m,∴CH=CD-DH=1.5-0.8=0.7(m).
∵∠CEH=∠AEG,∴△CEH∽△AEG、
∴AB=AG+BG=32.2+0. S=33(m),
∴善导塔的高度AB 为33 m.
选择方案二：
如图2,过点E 作EM⊥CD,垂足为M,延长EM 交AB 于点 N.
∵CD∥AB,∴EN⊥AB.
由题意,得CD=22 cm=0.22 m,EM=30 cm=0.3m ,EN=45 m.
∵CD∥AB,∴∠EDC=∠EBA,∠ECD=∠EAB,
∴△ECD∽△EAB,∴B=CD,
解得AB=33.
∴善导塔的高度AB 为33 m.
(答案不唯一)
16. B 17. C
18.解:如图,△A B C 即为所求.
A (6,2),B (2,4),C (8,6).